人大附中-華杯賽資料-進位制

進位制我們平常熟悉的十進制：

（2012）10＝2×103＋0×102＋1×101＋2

其他進制轉化為十進制：

（a…bcde）n＝a×nk-1＋……＋b×n3＋c×n2＋d×n＋e

十進制轉化為其他進制：

例1.A，B是兩個自然數，如果A進位制數47和B進位制數74相等，那么A＋B的最小可能值是多少？[答疑編號0518330101]【答案】24

【解答】由已知：4A＋7＝7B＋4，即4A＝7B－3，可見B除以4余1。

又B進制中有7出現，說明B＞7，因此B的最小值是9，相應的計算出A＝15。

所以A＋B最小值是9＋15＝24。

例2.一個十進制的兩位數A，它的十位數字為5，另一個R進制數為B，它的各位數字與A分別相等，而且B在十進制中恰好是A的3倍，那么數A和B在十進制中各是多少？[答疑編號0518330102]【答案】50、150，或者55，165

【解答】設A在十進制中表示是（），

由已知：5×R＋m＝3×（50＋m），即5×R＝150＋2×m，

可見m是5的倍數，因此m＝0或5。

相應的計算出R＝30或32。

所以A和B分別是50、150，或者55，165。

例3.一個自然數的六進制表示與九進制表示均為三位數，并且它們各位數字的排列順序恰好相反，那么此自然數用十進制表示法寫出是多少？[答疑編號0518330103]【答案】212

【解答】設自然數在六進制中表示是（），則在九進制中表示是（）。

則36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a，35a＝3b＋80c，通過對等式的觀察，可以發(fā)現b是5的倍數。又由于b是在六進制中的數，所以，b是0或5。

（1）若b＝0,則上式變?yōu)?5a＝80c，即7a＝16c，a需要是16的倍數，a又小于6。

所以，a＝0。但是a在首位，a又不能等于0。所以，這樣的數字不存在。

（2）若b=5,則上式變?yōu)?a＝3＋16c，a＝5，c＝2。

所以，這個六進制數是（552）6化為十進制是5×62＋5×6＋2＝212。

例4.如果某個自然數可以寫成2的兩個不同次冪（包括零次冪）的和，我們就稱這樣的數為“雙子數”，比如9＝＋，36＝＋，它們都是雙子數。現有一個雙子數是1040。

（1）把1040寫成2的兩個不同次冪（包括零次冪）的和。這樣的寫法唯一嗎？

（2）比1040小的雙子數共有多少個?[答疑編號0518330104]【答案】（1）＋，寫法是唯一的。（2）49

【解答】

（1）1040＝1024＋16＝＋，寫法是唯一的。

（2）若某個雙子數可以表示成的樣子（k＞m），

而且小于1040，則k＜10或者k＝10，m＜4。

當k＜10：則m也小于10，也就是k、m在0到9之間取值，

且不相同，利用排列組合，有=45種。

當k＝10：m＜4：m＝0、1、2或3，4種情況。

因此共有45＋4＝49個。

例5.一副雙色牌中，紅、黑兩種顏色各有10張，分別寫著1、2、4、8、16、……、512.小梁從中任意抽取一些牌，計算抽出的牌面上所有數的和.

（1）若算出的和為183，那么小梁最多可能抽取了多少張牌？

（2）小梁有多少種抽取牌的方法，使得算出的和為23？[答疑編號0518330105]【答案】（1）10（2）24

【解答】

（1）183＝27＋25＋24＋22＋21＋20，其中26、22、21、20是恰有一個顏色選擇，

25、24、23是兩種顏色都可以選擇的。所以，最多可能抽取10張。

（2）23＝0＋23＝1＋22＝2＋21＝……＝23＋0。所以，總共有24種。

例6.有些正整數可以表示成496的不同約數之和，例如36符合條件，因為36可以表示成1＋4＋31；而62本身就是496的約數，那么認為62也符合條件.

（1）請把104寫成496的不同約數之和；

（2）不能寫成496的不同約數之和的最小正整數是多少？[答疑編號0518330106]【答案】（1）104＝62＋31＋8＋2＋1（2）993

【解答】（1）496＝31×16，所以，104＝62＋31＋8＋2＋1

（2）496＝31×16，因此496的約數有1，2，4，8，16，1×31，2×31，

4×31，8×31，16×31。

其所有約數的和為：

1＋2＋4＋8＋16＋1×31＋2×31＋4×31＋8×31＋16×31＝31＋31×31＝992。

對于小于992的任何一個正整數，都可以表示成n＝31×k＋r，其中0≤k，r≤31，

將k和r分別用二進制表示，可知31×k可以表示成1×31，2×31，4×31，8×31，16×31中若干個數之和，r可以表示成1，2，4，8，16中若干個數之和。

因此n＝31×k＋r一定可以表示成496的若干個互不相同的約數之和。

又993比496的所有約數之和還要大，因此它不能寫成496的不同約數之和，

故所求最小正整數就是993。

例7.用a、b、c、d、e分別代表五進制中五個互不相同的數字，如果（ade）5、（adc）5、（aab）5是由小到大排列的連續(xù)正整數，那么（cde）5所表示的整數寫成十進制的表示是多少？[答疑編號0518330107]【答案】108

【解答】通過分析，得到c＝4，d＝1，e＝3。（413）5＝4×52＋1×5＋3＝108。

例8.三個兩位數恰構成公差為6的等差數列，而在五進制的表示中，這三個數的數字和是依次減少的.那么符合這樣要求的等差數列有多少個？[答疑編號0518330108]【答案】6

【解答】將6化成五進制數，就是11.因為這3個數的數字和是依次減少的，這就是說要找到1個五進制數，