九年級中考復(fù)習(xí)-二次函數(shù)與圓的提高類綜合練習(xí)(含答案解析)

二次函數(shù)與圓的綜合習(xí)題類型一圓的基本性質(zhì)應(yīng)用例1：如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x-52）2+98與⊙M交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上，點(diǎn)（1）求a值及A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P（m，n）是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)∠CPD為銳角時，請求出m的取值范圍；（3）點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)，⊙M沿CD所在直線平移，點(diǎn)C，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C′，D′，順次連接A，C′，D′，E四點(diǎn)，四邊形AC′D′E（只要考慮凸四邊形）的周長是否存在最小值？若存在，請求出此時圓心M′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（1，0），B（4，0）．（2）m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．M′（17582【解析】解：（1）∵拋物線y=a（x-52）2+9∴-2=a（0-52）2+9∴a=-12∴y=-12（x-52）2+當(dāng)y=0時，-12（x-52）2+∴x1=4，x2=1，∵A、B在x軸上，∴A（1，0），B（4，0）．（2）由（1）可知拋物線解析式為y=-12（x-52）2+∴C、D關(guān)于對稱軸x=52∵C（0，-2），∴D（5，-2），如圖1中，連接AD、AC、CD，則CD=5，∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），∴AC=5，AD=25，∴AC2+AD2=CD2，∴∠CAD=90°，∴CD為⊙M的直徑，∴當(dāng)點(diǎn)P在圓外部的拋物線上運(yùn)動時，∠CPD為銳角，∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．如圖2中，將線段C′A平移至D′F，則AF=C′D′=CD=5，∵A（1，0），∴F（6，0），作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E′，連接EE′正好經(jīng)過點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，∵拋物線頂點(diǎn)（52，9∴E′（52，-41連接E′F交直線CD于H，∵AE，C′D′是定值，∴AC′+ED′最小時，四邊形AC′D′E的周長最小，∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥E′F，則當(dāng)點(diǎn)D′與點(diǎn)H重合時，四邊形AC′D′E的周長最小，設(shè)直線E′F的解析式為y=kx+b，∵E′（52，-41∴可得y=4128x-123當(dāng)y=-2時，x=19041∴H（19041，-2），∵M(jìn)（5∴DD′=5-19041=15∵52-1541=∴M′（17582針對訓(xùn)練1．已知二次函數(shù)y＝ax2－2ax＋c(a＜0)的圖像與x軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線BC與它的對稱軸交于點(diǎn)F，且CF：FB＝1：3．(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若△COB的內(nèi)心I在對稱軸上，求這個二次函數(shù)的關(guān)系式；(3)在(2)的條件下，Q(m，0)是x軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，與直線BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N，連接CN，將△CMN沿直線CN翻折，M的對應(yīng)點(diǎn)為M′，是否存在點(diǎn)Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)B(4，0)，A(－2，0)；(2)y=-38x2+34x+3；(3)存在，Q(2【解析】（1）如圖所示：對稱軸為：直線x=-∴OE=1，∵OC∥EF，∴CFFB∴EB=3，由對稱性得：BE=AE=3，∴A(?2,0),B(4,0)；(2)如圖，⊙I是△OBC的內(nèi)切圓，過點(diǎn)I作∴OD=設(shè)CD=x在Rt△OCB中，OB=4，OC即x+12+∴OC∴C(0,3)，∴c=3，把A(?2,0),C(0,3)代入拋物線y=ax2-2ax+c中得：c=3解得：a=-∴拋物線的解析式為：y=-38x2+(3)如圖,由題意∠M′CN=∠NCB，∵M(jìn)N∥OM′，∴∠M′CN=∠CNM,∴∠CNM=∠NCB，∴MN=CM，∵直線BC解析式為y=-∴M(m,-34∵sin∠∴mCM∴CM=①當(dāng)N在直線BC上方時,-3解得：m=23∴Q(23②當(dāng)N在直線BC下方時,-解得m=223∴Q(223綜上所述：點(diǎn)Q坐標(biāo)為(23，0)或Q(222．對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P，Q和圖形G，給出如下定義：點(diǎn)P，Q都在圖形G上，且將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到點(diǎn)Q，則稱點(diǎn)P，Q是圖形G的一對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．例如，點(diǎn)P（1，2）和點(diǎn)Q（2，1）是直線y＝﹣x+3的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)．（1）請寫出反比例函數(shù)y＝6x的圖象上的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)的坐標(biāo)：（2）拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣1）．點(diǎn)A，B是拋物線y＝x2+bx+c的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直線AB與x軸交于點(diǎn)D（1，0）．求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)．（3）⊙T的半徑為3，點(diǎn)M，N是⊙T的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m）（m＞1），請直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+32．【解析】解：（1）∵2×3＝3×2＝6，∴點(diǎn)（2，3），（3，2）是反比例函數(shù)y＝6x故答案為：（2，3），（3，2）．（2）∵拋物線y＝x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝1，∴﹣b2解得：b＝﹣2．∵拋物線y＝x2＋bx＋c與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣1．由關(guān)聯(lián)點(diǎn)定義，可知：點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝x對稱．又∵直線AB與x軸交于點(diǎn)D（1，0），∴直線AB的解析式為y＝﹣x＋1．聯(lián)立直線AB及拋物線解析式成方程組，得：y＝﹣解得：x1=-1y∴A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）由關(guān)聯(lián)點(diǎn)定義，可知：點(diǎn)M，N關(guān)于直線y＝x對稱，∴⊙T的圓心在直線y＝x上．∵⊙T的半徑為3，∴M1M2＝22×2×3＝32∴m的取值范圍為1＜m≤1＋32．.類型二與圓有關(guān)的位置關(guān)系例2．如圖，已知點(diǎn)A（2，0），以A為圓心作⊙A與y軸切于原點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為B，過B作⊙A的切線l．（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點(diǎn)A，拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，如果CO=2BE，求此拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)C作⊙A的切線CD，D為切點(diǎn)，求此切線長；（3）點(diǎn)F是切線CD上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△BFC與△CAD相似時，求出BF的長．【答案】（1）y=34（x-2）（x-6）；（2）CD=23；（3）BF的長為433【解析】（1）∵A（2，0），⊙A與y軸切于原點(diǎn)，∴⊙A的半徑為2．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為為（4，0）．∵點(diǎn)A、C關(guān)于x=4對稱，∴C（6，0）．又CO=2BE，∴E（4，-3）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），（a≠0）；∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)E（4，-3）∴-3=a（4-2）（4-6），解得：a=34∴拋物線的解析式為y=34（2）如圖1所示：連接AD，∵AD是⊙A的切線，∴∠ADC=90°，AD=2，由（1）知，C（6，0）．∵A（2，0），∴AC=4，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=42-22=12，∴CD=23．（3）如圖2所示：當(dāng)FB⊥AD時，連結(jié)AD．∵∠FBC=∠ADC=90°，∠FCB=∠ACD，∴△FBC∽△ADC，∴CFCA=BCDC，即CF4解得：CF=43如圖3所示：當(dāng)BF⊥CD時，連結(jié)AD、過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為F．∵AD⊥CD，∴BF∥AD，∴△BFC∽△ADC，∴BCAC=CFCD，即24∴CF=3．綜上所述，BF的長為433或針對訓(xùn)練1．如圖，拋物線y=x2﹣4x﹣1頂點(diǎn)為D，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求這條拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）經(jīng)過點(diǎn)（0，4）且與x軸平行的直線與拋物線y=x2﹣4x﹣1相交于M、N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)），以MN為直徑作⊙P，過點(diǎn)D作⊙P的切線，切點(diǎn)為E，求點(diǎn)DE的長；（3）上下平移（2）中的直線MN，以MN為直徑的⊙P能否與x軸相切？如果能夠，求出⊙P的半徑；如果不能，請說明理由．【答案】（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-5）；（2）DE=62；（3）能夠相切，理由見解析.【解析】（1）∵y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=（x-2）2-5，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-5）；（2）∵當(dāng)y=4時，x2-4x-1=4，解得x=-1或x=5，∴M坐標(biāo)為（-1，4），點(diǎn)N坐標(biāo)為（5，4），∴MN=6．P的半徑為3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4），連接PE，則PE⊥DE，∵PD=9，PE=3，根據(jù)勾股定理得DE=62；（3）能夠相切．理由：設(shè)⊙P的半徑為r，根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線過點(diǎn)（2+r，r）或（2+r，-r），代入拋物線解析式得：（2+r）2-4（2+r）-1=r，解得r=21+12或r=把（2+r，-r）代入拋物線得：（2+r）2-4（2+r）-1=-r，解得：r=-1+212，或r=2．如圖，⊙P的圓心P（m，n）在拋物線y＝12（1）寫出m與n之間的關(guān)系式；（2）當(dāng)⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切時，求出⊙P的半徑；（3）若⊙P的半徑是8，且它在x軸上截得的弦MN，滿足0≤MN≤215時，求出m、n的范圍．【答案】（1）n＝12m2；（2）⊙P的半徑為2；（3）14≤m≤4或﹣4≤m≤﹣14【解析】解：（1）∵點(diǎn)P（m，n）在拋物線y＝12∴n＝12（2）當(dāng)點(diǎn)P（m，12由⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切知m＝12解得：m＝0（舍）或m＝2，∴⊙P的半徑為2；當(dāng)點(diǎn)P（m，12由⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切知﹣m＝12解得：m＝0或m＝﹣2，∴⊙P的半徑為2；（3）如圖，作PK⊥MN于點(diǎn)K，連接PM，當(dāng)MN＝215時，MK＝12MN＝15∵PM＝8，則PK＝PM2-當(dāng)MN＝0時，PK＝8，∴7≤PK≤8，即7≤n≤8，∵n＝12∴7≤12解得：14≤m≤4或﹣4≤m≤﹣14．類型三構(gòu)造圓與隱形圓例3：已知：如圖1，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1,0)，B(3,0)(1)求拋物線解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若直線l過點(diǎn)D，P為直線l上的動點(diǎn)，當(dāng)以A、B、P為頂點(diǎn)所作的直角三角形有.且只有三個時，求直線l的解析式；(3)如圖2，E為OB的中點(diǎn)，將線段OE繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°)，連接E'B、【答案】（1）(1,-4)；（2）y=-3x+3【解析】(1)∵拋物線y=x2+bx∴y∵y∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)．(2)過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個點(diǎn)Q．以AB為直徑的⊙G如圖所示：以AB為直徑作⊙G，作QD與⊙G相切，則QG⊥∵A(-1,0)，∴AB∴QG又∵DG∴sin∠GDQ∴sin∠GQE∴GE∴QE∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1-3設(shè)l的解析式為y=kx+b，則k+∴直線l的解析式為y=-由圖形的對稱性可知：當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)(1+3,-1)時，直線l與則k+解得：k=3，∴直線l的解析式為y=綜上所述，直線l的解析式為y=-3x(3)如圖所示：取M使OM=34∵OC=3，OE'=∴OE．又∵∠MOE∴△OME'∽．∴ME∴E∴當(dāng)M、E'、B在一條直線上時，E∴E'B針對訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若P為y軸上的一個動點(diǎn)，連接PD，求12（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有

個；②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．【答案】（1）拋物線解析式為y=32x2﹣32x﹣3，頂點(diǎn)坐標(biāo)（12，﹣938）；（2）12PB+PD的最小值為3【解析】（1）方法一：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，B（0，-）代入解得∴∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為方法二：也可以用三點(diǎn)式設(shè)代入三點(diǎn)或者頂點(diǎn)式設(shè)代入兩點(diǎn)求得。如圖，過P點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，由題意已知∠ABO=30°.∴∴要使最小，只需要D、P、E共線，所以過D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn).由題意易知，∠ADE=∠ABO=30°，,①若A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，分兩種情況，由題意知，AB=2，若AB為邊菱形的邊，因為M為拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，即分別以A、B為頂點(diǎn)，AB的長為半徑作圓與對稱軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，這樣的M點(diǎn)有四個，如圖若AB為菱形的對角線，根據(jù)菱形的性質(zhì)，作AB的垂直平分線與對稱軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn).綜上所述，這樣的M點(diǎn)有5個，所以對應(yīng)的N點(diǎn)有5個.②如圖，作AB的垂直平分線，與y軸交于F點(diǎn)。由題意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°∴以F為圓心，AF的長為半徑作圓交對稱軸于M和M'點(diǎn)，則∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1∴∠FAO=30°，AF==FM=FM'，OF=，過F點(diǎn)作FG⊥MM'于G點(diǎn)，已知FG=∴，又∵G∴M（，M'∴方法二：設(shè)M，M到點(diǎn)F的距離d=AF=也可求得．2．如圖，拋物線y＝﹣12x2（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為第二象限拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P到直線BC的距離為d，求d與m的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+5（2）d＝24m2﹣5【解析】（1）∵直線y＝﹣x+5經(jīng)過點(diǎn)B、C，∴B（5，0），C（0，5），把B、C坐標(biāo)代入y＝﹣12x2+bx+c得到：c解得b=∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣12x2+3（2）如圖1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．∵P（m，﹣12m2+3∵PF∥AB，∴點(diǎn)F的縱