時變電磁場課件

第四章時變電磁場本章內(nèi)容4.1麥克斯韋的兩個假設(shè)4.2麥克斯韋方程組與波動方程4.3時變電磁場的邊界條件4.4時間簡諧場4.5時變電磁場的能量和能流4.6動態(tài)矢量位和標量位4.1麥克斯韋的兩個假設(shè)感應(yīng)電場假設(shè)

感應(yīng)電場的概念經(jīng)典電磁場感應(yīng)電場的產(chǎn)生原因有兩種:（1）恒定磁場的運動回路在恒定磁場中，當導(dǎo)體回路的某一部分以速度v運動時，運動導(dǎo)體產(chǎn)生的感應(yīng)電場為回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為這種感應(yīng)電動勢是由于導(dǎo)體回路的某一部分運動而產(chǎn)生的，所以也稱為動生電動勢。（2）時變場的靜止回路一般情況下，討論靜止的媒質(zhì)，即v=0，得寫成微分形式例4.1.1如圖4.1.2所示，無限長直導(dǎo)線通以電流i(t)=Imsinωt，導(dǎo)電線框以v速度向右運動。當線框運動到圖示位置時，求此時的感應(yīng)電動勢。解：在通電直導(dǎo)線的右側(cè)空間一點P；到通電直導(dǎo)線的距離為r，則該點的磁感應(yīng)強度的大小為方向為沿線框所在平面向里。例4.1.2如圖4.1.3所示，在一個圓形區(qū)域上磁感應(yīng)強度的大小相同，方向沿紙面向里，磁感應(yīng)強度大小的變化率為常數(shù)且大于0，求空間任意一點產(chǎn)生的感應(yīng)電場。解:由對稱性可知，在距離圓心為r的圓周上任意一點產(chǎn)生的感應(yīng)電場都是相同的，則根據(jù)圖4.1.例4.1.2用圖有（1）當r＜R時所以（2）當r＞R時所以由于為正值，所以Ei的方向與磁力線的右手螺旋方向相反。2.位移電流假設(shè)

位移電流假設(shè)認為：雖然在極板之間不存在傳導(dǎo)電流，但是由于極板間存在著變化的電場，這種變化的電場即認為是傳導(dǎo)電流ID，其量值與傳導(dǎo)電流相等。位移電流密度JD，實際上就是電位移矢量對時間的變化率在一個空間，如果同時存在傳導(dǎo)電流和位移電流，則安培環(huán)路定理可推廣為上式就是適合于時變場情況的全電流形式，也稱為全電流定律的積分形式。所謂全電流指的是傳導(dǎo)電流加上位移電流。全電流定律還存在微分形式，對上式應(yīng)用斯托克斯定理，則得

全電流定律指出，不僅傳導(dǎo)電流產(chǎn)生磁場，位移電流即變化的電場也會產(chǎn)生磁效應(yīng)，換句話說，不僅傳導(dǎo)電流是磁場的源，位移電流也是磁場的源，這是一個全新的概念，是麥克斯韋對電磁學的巨大貢獻。例4.1.4圓形電容器構(gòu)成的平行板電容器如圖4.1.5所示，其間充滿介質(zhì)，其電導(dǎo)率為σ，介電常數(shù)為ε，磁導(dǎo)率為μ。假定邊緣效應(yīng)可以忽略，平行板間的電場是均勻的，且所加的電壓為u=Umsinωt。試求電容器中任一點的磁感應(yīng)強度B。解:忽略邊緣效應(yīng)，兩極板間可以看做均勻電場E=u/d,所以有圖4.1.5由對稱性可知，距離圓形電容器中軸線為r的P點的磁感應(yīng)強度的大小處處相等，磁感應(yīng)強度的方向為圓周切線方向且與位移電流構(gòu)成右手關(guān)系，如圖4.1.5所示。應(yīng)用全電流定律公式中l(wèi)選取以r為半徑的周周，S是l為邊界構(gòu)成的平面，則有所以得4.2麥克斯韋方程組與波動方程

1.麥克斯韋方程組的積分形式：麥克斯韋方程組相應(yīng)的微分形式為例4.2.1在直角坐標系中，已知磁場Hx=0，，式中k′、k為常數(shù)，求磁場的Hz分量。解:本題求解方法很多，其中一種方法是可以直接由麥克斯韋第四方程式求解。因為所研究的是交變電磁場，所以可取積分常數(shù)C為零，于是得例4.2.2將麥克斯韋方程的微分形式分別在直角坐標系中和在圓柱坐標系中寫成八個標量方程。解:在直角坐標系中在圓柱坐標系中得解:波動方程式（1）可以表示為Ex、Ey和Ez三個標量方程的形式，E只有Ey分量，只需將Ey代入Ey的波動方程中4.3時變電磁場的邊界條件

（1）H的邊界條件如圖4.3.1所示，設(shè)介質(zhì)1和介質(zhì)2中界面附近的磁場強度在紙面所在的平面上，H1和H2與法向en的夾角分別為θ1和θ2，在分界面上均勻流過面電流，面電流密度Js，其大小為Js，方向垂直于紙面向里。圖4.3.1求H的邊界條件H的邊界條件為H1t-H2t=Js矢量形式en×（H1-H2）=Js（2）E的邊界條件E的邊界條件E1t-E2t=0矢量形式en×（E1-E2）=0（3）D的邊界條件D的邊界條件D1n-D2n=ρs矢量形式en·（D1-D2）=ρs（4）B的邊界條件B的邊界條件B1n-B2n=0矢量形式en·（B1-B2）=0例4.3.1如圖4.3.3所示，在理想導(dǎo)電壁x=0和x=a限定的區(qū)域（0≤x≤a）中存在如下電磁場（1）判斷該電磁場是否滿足邊界條件；（2）導(dǎo)電壁上的面電流密度是多少？圖4.3.3例4.3.1用圖解（1）如果題中給出的電磁場在邊界上滿足式（4.1.3）則滿足邊界條件，對于x=0的表面，切向場有法向場有所以可見，x=0的表面滿足理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的邊界條件對于x=a的表面：切向場有法向場有所以x=a的表面也滿足理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的邊界條件。（2）由式（4.3.13），H的邊界條件的矢量形式為在x=0表面，法線方向en=ex在x=a表面，法線方向en=-ex，所以式中按照復(fù)數(shù)的運算法則式中同理，可以得Ey和Ez的復(fù)數(shù)形式電場強度E的復(fù)數(shù)形式為由式（4.62）可知E·和E·是一一對應(yīng)的關(guān)系，但是引入復(fù)數(shù)表示法卻使運算大大簡化。因為E（x,y,z,t）是空間坐標（x,y,z）和時間坐標t四維矢量函數(shù)，而E（x,y,t）只是空間坐標（x,y,z）的三維矢量函數(shù)。式（4.1.15）和式（4.1.16）的復(fù)數(shù)場量的上邊仍然用打點標記，實際上瞬時值形式與復(fù)數(shù)形式有明顯的區(qū)別，今后只要是能區(qū)分出復(fù)數(shù)形式，就不再使用打點標記了。例4.4.1把下面的場量的瞬時值轉(zhuǎn)變成復(fù)數(shù)形式或復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)變成瞬時值。例4.4.2已知在空氣中求H·并寫出其瞬時值。解:E寫成復(fù)數(shù)形式為由式（4.4.12）可得4.5時變電磁場的能量和能量流

電磁場是一種物質(zhì)并具有能量，這種能量稱為電磁能量。電磁能量按照一定的分布形式儲存于空間，并隨著時變電磁場的運動變化在空間傳輸，形成電磁波。電磁波的傳播即空間各點電磁能量密度的改變形成電磁能流?？梢耘e出許許多多的例子能夠說明這一點，如人們?nèi)粘Ｉ钪惺褂梦⒉t正是利用微波攜帶的能量給食品加熱的；人們使用的手機也是利用電磁波來發(fā)送和接收信息的。1.坡印廷定理時變電磁場能量守恒與轉(zhuǎn)換的關(guān)系是英國物理學家坡印廷最早提出的，被稱為坡印廷定理，它可以由麥克斯韋方程直接導(dǎo)出。利用麥克斯韋第一、第二方程式，現(xiàn)重寫如下進行推導(dǎo)得上式整理并利用散度定理得式（4.5.2）就是適合一般介質(zhì)的坡印廷定理。下面來看坡印廷定理的物理意義：式（4.5.2）的右邊第一項是體積V內(nèi)電磁能量隨時間的增加率，第二項是體積V內(nèi)轉(zhuǎn)變?yōu)榻苟鸁岬墓β省Ｄ敲大w積V內(nèi)這個電磁能量每秒的增加量和轉(zhuǎn)變?yōu)榻苟鸁岬墓β适菑哪睦飦淼哪?？根?jù)能量守恒原理，它是從包圍體積V的閉合曲面S外流入的。所以-∮S（E×H）·dS是通過閉合曲面S流入體積V的功率。2.坡印廷矢量

定義S=E×H為坡印廷矢量，它是代表電磁能流密度矢量，代表在閉合曲面上任意一點單位面積通過的功率，也稱為時變電磁場的功率流密度。S的單位是W/m2（瓦/米2）。E和H都是瞬時值，因此坡印廷矢量也為瞬時值S（t）。坡印廷矢量是時變電磁場中一個重要的物理量。只要知道空間任一點的E和H，就可以知道該點的電磁能量流的大小和方向。例4.5.1一同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間為空氣，內(nèi)、外導(dǎo)體均為理想導(dǎo)體，流過的直流電流為I，內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U。求同軸線的傳輸功率和坡印廷矢量。解：根據(jù)高斯定理，以r為半徑、長度為L做一個閉合圓柱面S，S包圍的電荷為q，解:根據(jù)高斯定理，以r為半徑、長度為L做一個閉合圓柱面S，S包圍的電荷為q，則E=q/2πrL通過內(nèi)、外導(dǎo)體間任一橫截面的功率為3.時諧場的復(fù)坡印廷矢量坡印廷失量表示的是瞬時電磁功率流密度。在時諧場中，計算瞬時電磁功率流密度更有實際意義。下面是對于時諧場通過玻印廷矢量的瞬時值計算其時間平均值。坡印廷矢量的瞬時值為S（t）=E（t）×H（t），對于時諧場，場矢量可以用實數(shù)表示，按照式（4.4.10）的定義方程從而可得坡印廷矢量的瞬時值為對S（t）在一個周期T=2π/ω求平均值定義S·為復(fù)坡印廷矢量式（4.5.5）中Sav稱為平均坡印廷矢量為了書寫簡便，今后的應(yīng)用都去掉“·”，即注意式（4.5.8）和式（4.5.9）是按照復(fù)數(shù)的有效值方法定義出來的，如果按照最大值的定義方法，應(yīng)該再乘以1/2.例4.12已知在無源自由空間中，時諧電磁場的電場強度復(fù)矢量為求:（1）磁場強度復(fù)矢量；（2）復(fù)坡印廷矢量和平均坡印廷矢量；（3）坡印廷矢量的瞬時值。解（1）無源空間J=0，ρ=0由麥克斯韋第二方程的復(fù)數(shù)形式得4.6動態(tài)矢量位和標量位在分析靜態(tài)場時，引入電位φ和矢量磁位A，并給出電場強度E和φ的關(guān)系以及磁感應(yīng)強度B和A之間的關(guān)系這使得在分析靜電場和恒定磁場時，問題在很大程度上得到簡化，那么分析時變電磁場時，也可以引入一些輔助的位函數(shù)使分析簡化，這些輔助的位函數(shù)就是以下引入的動態(tài)矢量位和標量位。1.動態(tài)矢量位和標量位在時變電磁場情況下，仍然有因此可以引入動態(tài)矢量位A，有動態(tài)矢量位A有時也簡稱為矢量位，單位是Wb/m（韋伯/米）。把式（4.78）代入麥克斯韋第二方程中，得大家知道，一個無旋的矢量可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，因此可以引入動態(tài)標量位φ，有即動態(tài)標量位φ有時也簡稱為標量位，單位是V（伏）。那么如果建立關(guān)于動態(tài)矢量位A和動態(tài)標量位φ的方程求出A和φ，根據(jù)時變場的位與場的關(guān)系式（4.6.1）和式（4.6.2），就可以求出B和E。2.位函數(shù)的微分方程把式（4.6.1）和式（4.6.2）代入到麥克斯韋第一方程式，得然后再把恒等式代入上式，得要建立關(guān)于A的微分方程，但是式（4.6.3）中不僅包含A，還包含動態(tài)標量位φ。由式（4.6.1）和式（4.6.2）可知，滿足這兩個關(guān)系式的A和φ并不是唯一的，那么就可以找到既可以滿足式（4.6.1）和式（4.6.2），也可以使式（4.6.3）簡化的一個特殊關(guān)系式，即這樣式（4.80）簡化