模糊控制論-理論基礎(chǔ)

1/102目錄2.1引言2.2模糊集合論基礎(chǔ)2.4模糊控制系統(tǒng)的組成2.5模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)2.6模糊PID控制器2.7模糊控制器的應(yīng)用2.3模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成第一頁，共101頁。2/102模糊控制的發(fā)展歷史1965年，L.A.Zadeh提出模糊集理論；1972年，L.A.Zadeh提出模糊控制原理；1974年，應(yīng)用于蒸汽機(jī)和鍋爐控制中；80年代：污水處理、汽車、交通管理模糊芯片、模糊控制的硬件系統(tǒng)；90年代：家電、機(jī)器人、地鐵；21世紀(jì)：更為廣泛的應(yīng)用。第二頁，共101頁。3/102模糊控制的特點(diǎn)無需知道被控對象的數(shù)學(xué)模型與人類思維的特點(diǎn)一致模糊性經(jīng)驗(yàn)性構(gòu)造容易魯棒性好第三頁，共101頁。4/102主要內(nèi)容模糊控制的理論基礎(chǔ)模糊集合論基礎(chǔ)模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成模糊控制系統(tǒng)模糊控制系統(tǒng)的組成模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)模糊PID控制器模糊控制器的應(yīng)用第四頁，共101頁。5/102目錄2.1引言2.2模糊集合論基礎(chǔ)2.4模糊控制系統(tǒng)的組成2.5模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)2.6模糊PID控制器2.7模糊控制器的應(yīng)用2.3模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成第五頁，共101頁。6/1022.2模糊集合論基礎(chǔ)2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合運(yùn)算2.2.3模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì)2.2.4隸屬度函數(shù)的建立2.2.5模糊關(guān)系第六頁，共101頁。7/102經(jīng)典集合19世紀(jì)末德國數(shù)學(xué)家喬?康托(GeorageContor，1845-1918)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。內(nèi)涵和外延都必須是明確的經(jīng)典集合論表示方法特點(diǎn)列舉法定義法歸納法特征函數(shù)法第七頁，共101頁。8/102表示方法列舉法：U=｛1，2，3，4，5，6，7， 8，9，10｝歸納法：U=｛ui+1=ui+1，i=1,2,9，u1=1｝特征函數(shù)法定義法：U=｛u|u為自然數(shù)且u<5｝表示方法第八頁，共101頁。9/102特征函數(shù)法用特征函數(shù)值表示元素屬于集合的程度第九頁，共101頁。10/102隸屬度函數(shù)將特征函數(shù)值擴(kuò)展為上取值的隸屬度μF

（DegreeofMembership），描述思維和語言的模糊性。第十頁，共101頁。11/102模糊集合(FuzzySets)1F={（u,μF(u))|u∈U}（離散域，序偶表示法）論域U中的模糊集F可以用元素u和它的隸屬度μF來表示

（查德表示法）

（連續(xù)域）第十一頁，共101頁。12/102支集(Support)模糊集合F的支集S是一個普通集合，它是由論域U中滿足μF(u)>0的所有u組成的，即第十二頁，共101頁。13/102模糊單點(diǎn)(Singleton)如果模糊集合F的子集在論域U上只包含一個點(diǎn)u0,且μF(u0)=1,則F就稱為模糊單點(diǎn)。即第十三頁，共101頁。14/1022.2模糊集合論基礎(chǔ)2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合運(yùn)算2.2.3模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì)2.2.4隸屬度函數(shù)的建立2.2.5模糊關(guān)系第十四頁，共101頁。15/1022.2.2模糊集合的運(yùn)算考察具有公共論域U的模糊集合A、B之間的各種運(yùn)算關(guān)系，包括以下內(nèi)容：相等、包含空集、全集交、并、補(bǔ)其他第十五頁，共101頁。16/102相等、包含空集、全集對于所有的u∈U，均有μA(u)＝μB(u)。記作A=B。相等對于所有的u∈U，均有μA(u)≤μB(u)。記作AB。包含對于所有的u∈U，均有μA(u)＝0。記作：A＝

。空集對于所有的u∈U，均有μA(u)＝1。全集第十六頁，共101頁。17/102交、并、補(bǔ)如果模糊集合C具有以下性質(zhì)：對于所有的u∈U，均有μC(u)=μA∧μB=min{μA(u),μB(u)}則稱C為A與B的交集，記為C=A∩B

交集對于所有的u∈U，均有μC(u)=μA∨μB=max{μA(u),μB(u)}

。則稱C為A與B的并集，記為C=A∪B。并集對于所有的u∈U，均有μB(u)=1-μA(u)

則稱B為A的補(bǔ)集，記作補(bǔ)集第十七頁，共101頁。18/102舉例已知模糊子集求第十八頁，共101頁。19/102求解第十九頁，共101頁。20/102代數(shù)積代數(shù)和有界和有界差有界積其它運(yùn)算第二十頁，共101頁。21/1022.2模糊集合論基礎(chǔ)2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合運(yùn)算2.2.3模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì)2.2.4隸屬度函數(shù)的建立2.2.5模糊關(guān)系第二十一頁，共101頁。22/102冪等律結(jié)合律交換律分配律模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì)1第二十二頁，共101頁。23/102同一律零一律吸收律德·摩根律雙重否認(rèn)律模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì)2第二十三頁，共101頁。24/102與經(jīng)典集合性質(zhì)的比較基本性質(zhì)完全相同模糊集運(yùn)算不滿足互補(bǔ)律第二十四頁，共101頁。25/1022.2模糊集合論基礎(chǔ)2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合運(yùn)算2.2.3模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì)2.2.4隸屬度函數(shù)的建立2.2.5模糊關(guān)系第二十五頁，共101頁。26/102是一個關(guān)鍵問題是一個難題具有“模糊性”、經(jīng)驗(yàn)性和主觀性無統(tǒng)一的設(shè)計(jì)方法具有客觀的原則隸屬度函數(shù)的建立第二十六頁，共101頁。27/102隸屬度函數(shù)的設(shè)計(jì)原則1必須是凸模糊集合（呈單峰形）通常是對稱和平衡的要遵從語意順序、避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B第二十七頁，共101頁。28/102隸屬度函數(shù)的設(shè)計(jì)原則2考慮重疊指數(shù)（一般取重疊率為0.2～0.6、或魯棒重疊性）第二十八頁，共101頁。29/102舉例重疊率=0重疊魯棒性=0重疊率=5/35=0.143重疊魯棒性＝5/20=0.25重疊率=10/30=0.333重疊魯棒性=10/20=0.5第二十九頁，共101頁。30/102設(shè)計(jì)方法模糊統(tǒng)計(jì)法例證法專家經(jīng)驗(yàn)法二元對比排序法第三十頁，共101頁。31/102隸屬度函數(shù)的常見形狀1Z函數(shù)第三十一頁，共101頁。32/102隸屬度函數(shù)的常見形狀2S函數(shù)第三十二頁，共101頁。33/102隸屬度函數(shù)的常見形狀3Π函數(shù)第三十三頁，共101頁。34/1022.2模糊集合論基礎(chǔ)2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合運(yùn)算2.2.3模糊集合運(yùn)算的基本性質(zhì)2.2.4隸屬度函數(shù)的建立2.2.5模糊關(guān)系第三十四頁，共101頁。35/102模糊關(guān)系普通關(guān)系：表示元素之間是否關(guān)聯(lián)。模糊關(guān)系：表示兩個論模糊集合之間的關(guān)聯(lián)程度，用其直積空間的隸屬度函數(shù)表示。定義：所謂A，B兩集合的直積

中的一個模糊關(guān)系R，是指以A×B為論域的一個模糊子集，序偶(a,b)的隸屬度為μR(a,b)。第三十五頁，共101頁。36/102多元關(guān)系二元關(guān)系多元關(guān)系：考察n個集合的直積

A1×A2...×An，其隸屬度函數(shù)為：

μR(a1,a2,...,an)第三十六頁，共101頁。37/102模糊集合表示法舉例 考查兩個整數(shù)間的“大得多”的關(guān)系。設(shè)論域U=｛1，5，7，9，20｝。模糊關(guān)系的表示方法1第三十七頁，共101頁。38/102模糊關(guān)系的表示方法2模糊矩陣表示法（適用于二元關(guān)系）其中第三十八頁，共101頁。39/102笛卡爾積算子（算子）A1，A2，...

，An的笛卡爾積是在積空間U1×U2×...×Un中的一個模糊集，其隸屬度函數(shù)為：直積（極小算子）用μmin

表示

代數(shù)積：用μAP表示第三十九頁，共101頁。40/102例2-9考慮如下模糊條件語句 如果C是慢的，則A是快的。 其中C，A分別屬于兩個不同的論域U，V。其隸屬度函數(shù)分別為：

A=快=0/0+0/20+0.3/40+0.7/60+1/80+1/100；

C=慢=1/0+0.7/20+0.3/40+0/60+0/80+0/100。求它們的直積和代數(shù)積。第四十頁，共101頁。41/102直積第四十一頁，共101頁。42/102代數(shù)積第四十二頁，共101頁。43/102模糊關(guān)系的合成背景： 已知：IFATHENB，IFBTHENC

求：IFATHENC定義：如果R和S分別為笛卡爾空間U×V和V×W上的模糊關(guān)系，則R和S的合成是定義在笛卡爾空間U×V×W上的模糊關(guān)系，并記為RoS。其隸屬度函數(shù)的計(jì)算方法有兩種。第四十三頁，共101頁。44/102模糊關(guān)系的合成的隸屬度函數(shù)計(jì)算上確界（Sup）算子下確界（Inf）算子：第四十四頁，共101頁。45/102例2-10已知某家中子女與父母的長像相似關(guān)系R： 父母與祖父母的相似關(guān)系S：求：家中孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度。R父母子0.20.8女0.60.1S祖父祖母父0.50.7母0.10第四十五頁，共101頁。46/102解第四十六頁，共101頁。47/102合成算子Sup-min的特性1分配率第四十七頁，共101頁。48/102結(jié)合律包含轉(zhuǎn)置運(yùn)算不滿足交換律合成算子Sup-min的特性2第四十八頁，共101頁。49/102目錄2.1引言2.2模糊集合論基礎(chǔ)2.4模糊控制系統(tǒng)的組成2.5模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)2.6模糊PID控制器2.7模糊控制器的應(yīng)用2.3模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成第四十九頁，共101頁。50/102模糊邏輯模糊邏輯是研究含有模糊概念或帶有模糊性的陳述句的邏輯。是不確定性推理的主要方法之一。是經(jīng)典數(shù)理邏輯的推廣。第五十頁，共101頁。51/1022.3.1二值邏輯2.3.2模糊邏輯的基本運(yùn)算2.3.3模糊語言邏輯2.3.4模糊邏輯推理2.3.5模糊關(guān)系方程的解2.3模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成第五十一頁，共101頁。52/102二值邏輯命題P中的元素可以賦予一個二元真值T(P)。在二元邏輯中，T(P)或者為1（真）或者為0（假）。設(shè)U是所有命題構(gòu)成的論域，則T就是從這些命題（集合）中的元素u到二元值（0，1）的一個映射：T:u∈U→(0,1)第五十二頁，共101頁。53/102名稱符號意義析取“∨”“或”的意思合取“∧”“與”的意思否定“－”是對原命題的否定蘊(yùn)涵“→”表示“如果...那么...”等價(jià)“”表示兩個命題的真假相同，是“當(dāng)且僅當(dāng)”的意思命題聯(lián)結(jié)詞第五十三頁，共101頁。54/1022.3模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成2.3.1二值邏輯2.3.2模糊邏輯的基本運(yùn)算2.3.3模糊語言邏輯2.3.4模糊邏輯推理2.3.5模糊關(guān)系方程的解第五十四頁，共101頁。55/102模糊命題模糊命題是普通命題的推廣。模糊命題的真值不是絕對的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隸屬于“真”。所以真值的運(yùn)算也就是隸屬度函數(shù)的運(yùn)算。第五十五頁，共101頁。56/102模糊邏輯補(bǔ)用來表示對某個命題的否定.，模糊邏輯合取模糊邏輯析取基本運(yùn)算1第五十六頁，共101頁。57/102模糊邏輯蘊(yùn)含如P是真的，則Q也是真的，模糊邏輯等價(jià)模糊邏輯限界積各元素分別相減部分作為限界差?；具\(yùn)算2第五十七頁，共101頁。58/102模糊邏輯限界和模糊邏輯限界差各元素分別相加，比1小的部分作為限界和。各元素分別相減部分作為限界差?；具\(yùn)算3第五十八頁，共101頁。59/102冪等律交換律結(jié)合律吸收律P∨P=P， P∧P=PP∨Q=Q∨P，P∧Q=Q∧PP∨(Q∨R)=(P∨Q)∨R,P∧(Q∧R)=(P∧Q)∧RP∨(P∧Q)=P，P∧(P∨Q)=P分配律P∨(Q∧R)=(P∨Q)∧(P∨R),

P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧R)基本定律1第五十九頁，共101頁。60/102雙否律交換律常數(shù)運(yùn)算法則注意互補(bǔ)律在模糊邏輯中不成立基本定律2第六十頁，共101頁。61/1022.3模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成2.3.1二值邏輯2.3.2模糊邏輯的基本運(yùn)算2.3.3模糊語言邏輯2.3.4模糊邏輯推理2.3.5模糊關(guān)系方程的解第六十一頁，共101頁。62/102模糊語言邏輯模糊語言邏輯是由模糊語言構(gòu)成的一種模擬人思維的邏輯。針對自然語言的模糊性；涉及概念：語言值語言變量語言算子第六十二頁，共101頁。63/102語言值語言中與數(shù)值有直接聯(lián)系的詞，如長、短、大、小等，可以再加上語言算子（如很、非常、較、偏等）而派生出來的詞組?？梢杂媚：龜?shù)來表示。所謂模糊數(shù)，指至少有一個元素u的隸屬度值為1的模糊子集。舉例：［個子高］=0.2/150+0.4/160+0.6/170+0.8/180+1/190+1/200第六十三頁，共101頁。64/102語言變量用一個五元素的集合（X，T(X)，U，G，M）來表征。第六十四頁，共101頁。65/102語言算子語氣算子模糊化算子判定化算子第六十五頁，共101頁。66/102語氣算子表示語言中對某一個單詞或詞組的確定性程度。包括強(qiáng)化算子和淡化算子強(qiáng)化算子，如“很”、“非?！钡鹊阕樱纭拜^”、“稍微”等Hλ(A)=Aλ

（A為語言值）第六十六頁，共101頁。67/102如“大概”、“近似于”、“大約”等。把原來的概念模糊化。記模糊化算子為F。則模糊化變換可表示為F(A)，并且它們的隸屬度函數(shù)關(guān)系滿足：其中，μR(x,c)是表示模糊程度的一個相似變換函數(shù)，通?？扇≌龖B(tài)分布曲線，即：模糊化算子第六十七頁，共101頁。68/102判定化算子肯定化處理，例如“傾向于”、“大半是”等。記判定化算子為P，則判定化變換可表示為P(A)，并且它們的隸屬度函數(shù)關(guān)系滿足：當(dāng)取α=1/2時，P1/2可用來表示“傾向于”。第六十八頁，共101頁。69/1022.3模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成2.3.1二值邏輯2.3.2模糊邏輯的基本運(yùn)算2.3.3模糊語言邏輯2.3.4模糊邏輯推理2.3.5模糊關(guān)系方程的解第六十九頁，共101頁。70/102模糊邏輯推理不確定性推理方法的一種方法還在發(fā)展之中，比較典型的有扎德（Zadeh）方法、瑪達(dá)尼（Mamdani）方法、鮑德溫（Baldwin）方法、耶格（Yager）方法、楚卡莫托（Tsukamoto）方法。最常用的是瑪達(dá)尼極大極小推理法。第七十頁，共101頁。71/102常見種類近似推理（常識性推理）廣義肯定式推理廣義否定式推理模糊條件推理多輸入推理多輸入多規(guī)則推理第七十一頁，共101頁。72/1021.近似推理：廣義肯定式推理前提1：如果x

是A，則y

是B前提2：如果x

是A＇，結(jié)論：y是隸屬度函數(shù)的計(jì)算第七十二頁，共101頁。73/102模糊關(guān)系矩陣R的計(jì)算采用Mamdani推理法模糊蘊(yùn)含最小運(yùn)算法模糊蘊(yùn)含積運(yùn)算法第七十三頁，共101頁。74/102廣義否定式推理前提1：如果x

是A，則y是B前提2：如果y

是B＇，結(jié)論：x

是隸屬度函數(shù)的計(jì)算其中：

（Zadeh推理法）第七十四頁，共101頁。75/102例2-14考慮如下邏輯條件語句：如果“轉(zhuǎn)角誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于15°”，那么“快速減少方向角”；其隸屬度函數(shù)定義為：

A=轉(zhuǎn)角誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于15°=0/15+0.2/17.5+0.5/20+0.8/22.5+1/25B=快速減少方向角

=1/-20+0.8/-15+0.4/-10+0.1/-5+0/0。求：當(dāng)A＇=轉(zhuǎn)角誤差大約在20°時，方向角應(yīng)該怎樣變化？第七十五頁，共101頁。76/102步驟1定義A＇=轉(zhuǎn)角誤差大約在20°的隸屬度函數(shù)=0.1/15+0.6/17.5+1/20+0.6/22.5+0.1/25則問題化為 已知

μA(x)=[0,0.2,0.5,0.8,1], μB(y)=[1,0.8,0.4,0.1,0]

當(dāng)μA＇(x)=[0.1,0.6,1,0.6,0.1]時,

求解B＇。第七十六頁，共101頁。77/102步驟2由瑪達(dá)尼（Mamdani）推理法計(jì)算出關(guān)系矩陣：第七十七頁，共101頁。78/102步驟3計(jì)算代數(shù)積算子

直積算子第七十八頁，共101頁。79/102代數(shù)積算子第七十九頁，共101頁。80/102直積算子問題：如何比較兩種算子？第八十頁，共101頁。81/1022.模糊條件推理如果x

是A，則

y是B，否則y

是C。其邏輯表達(dá)式為：模糊關(guān)系R：隸屬度函數(shù)：推理結(jié)論第八十一頁，共101頁。82/1023.多輸入模糊推理前提1：如果A

且B

，那么C前提2：現(xiàn)在是A＇且B＇結(jié)論：

基于瑪達(dá)尼推理，則模糊關(guān)系矩陣為：第八十二頁，共101頁。83/102例2-16已知、時，問、時，第八十三頁，共101頁。84/102解第八十四頁，共101頁。85/102第八十五頁，共101頁。86/102推理簡化（削頂法）推理形式可等價(jià)為

可得隸屬度關(guān)系如下：α是指模糊集合A與A＇交集的高度。第八十六頁，共101頁。87/102削頂法圖示第八十七頁，共101頁。88/1024.多輸入多規(guī)則推理如果A1

且B1

，那么C1

否則如果A2

且B2

，那么C2

： 否則如果An

且Bn

，那么Cn

已知A＇

且B＇，那么C＇=？

在這里，An

和A＇、Bn

和B＇、Cn

和C＇分別是不同論域X、Y、Z上的模糊集合。第八十八頁，共101頁。89/102推理方法推理結(jié)果可表示為其中第八十九頁，共101頁。90/102推理過程圖示第九十頁，共101頁。91/1022.3模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成2.3.1二值邏輯2.3.2模糊邏輯的基本運(yùn)算2.3.3模糊語言邏輯2.3.4模糊邏輯推理2.3.5模糊關(guān)系方程的解第九十一頁，共101頁。92/102模糊關(guān)系方程已知A和B，有以下關(guān)系：

求關(guān)系矩陣R；A∈F(U×V)、B∈F(U×W)、

R∈F(V×W)，分別為笛卡爾空間U×V、U×W、V×W上的模糊關(guān)系矩陣，有

A=(aij)m×n

、B=(Bij)m×s

、R=(rij)n×s,第九十二頁，共101頁。93/102問題分解用分塊矩陣的形式表示，有

其中，則原問題可化為s個簡單的模糊矩陣方程：第九十三頁，共101頁。94/102問題的分解考察設(shè)合成算子

取，需要考慮以下問題：第九十四頁，共101頁。95/102問題的分解具體有以下兩類問題：等式問題：

(ai1∧r1)=bi,（ai2∧r2)=bi,..., （ain∧rn)=bi,不等式問題：(ai1∧r1)bi,（ai2∧r2)bi,...,（ain∧rn)bi第九十五頁，共101頁。96