數(shù)學高考沖刺模擬試卷含答案

高考模擬測試數(shù)學試題

（滿分：150分考試時間：120分鐘）

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題

5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結(jié)果.

1.已知集合4=k忖<2},8={1,3,5,7},則Ap|B=

2.（2+x）4的二項展開式中產(chǎn)的系數(shù)為

3"—2"

3.lim

〃一＞83"+1

（01G\fx=1

4.若線性方程組的增廣矩陣為，.，解為，，，則q-G=_________

ci)[y=i

5.在直角坐標系xoy中，角a的始邊為X正半軸，頂點為坐標原點，若角4的終邊經(jīng)過點

(-3,4),則sin(a+萬)=

6.3位同學被推薦擔任進博會3個指定展館服務志愿者，每人負責1個展館，每個展館只需

1位同學，則共有種不同的安排方法.

、,2

7.已知雙曲線=l的左，右焦點為￡、F2,過耳的直線/與雙曲線M的左、右

支分別交于點A8.若AA8&為等邊三角形，則AABF?的邊長為

8.在復平面內(nèi)，復數(shù)Z1,z?所對應的點分別為Z：Z2（對于下列四個式子：

⑴*=團；⑵區(qū)勾=聞憶|；（3）能J］遇『；⑷|能?圖卜］能H嵬其

中恒成立的是（寫出所有恒成立式子的序號）

9.設x,ywR,a>0,/?>0,若優(yōu)=〃=3,<7+28=2指，則'的最大值為

10.已知公差不為0的等差數(shù)列{4}的前幾項和為S“，若火,工,$6{—10,0},則S,,的最

小值為一

11.已知點A8在拋物線「：y2=4x上，點M在「的準線上，線段M4、MB的中點均在拋

物線r上，設直線與y軸交于點N（O,〃），則時的最小值為一.

12.設曲線C與函數(shù)/（x）=*x2（o〈x<〃2）的圖像關于直線y=對稱，若曲線C?仍

然為某函數(shù)的圖像，則實數(shù)俄的取值范圍為

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選

項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.’J<1”是“a>1”的（）

a

A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充

分也不必要條件

14.給定一組數(shù)據(jù)15,17,14,10,12,17,17,16,14,12,設這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,中位數(shù)為一,

眾數(shù)為c,則（）

A.a>b>cB.c>b>a

Cc>a>bD.b>c>a

15.已知平面a經(jīng)過圓柱旋轉(zhuǎn)軸，點A3是在圓柱。。2的側(cè)面上，但不在平面a

上，則下列4個命題中真命題的個數(shù)是（）

①總存在直線/,/ua且/與A3異面；

②總存在直線1,1ua且/_LAB；

③總存在平面分,/3匚￡且尸_La；

④總存在平面△A6u￡且尸//a.

A.1B.2C.3D.4

TTM7T

16.若函數(shù)f（x）=3sincox+4cos<x<—,co>0）的值域為[4,5],則cos的取值范

圍為（）

A.[―,-]B.

255255

C.D.

255255

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位

置寫出必要的步驟.

17.在直三棱柱ABC-A4G中，ACLBC,AC^BC=CCt=2.

c

⑴求四棱錐A-3CG4體積v；

(2)求直線AB,與平面AC￡A所成角的正切值.

18,已知三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a力,c,a=4,cosB=-：

(1)若sinA=2sinC,求AABC的面積；

(2)設線段A3的中點為O,若CD=M，求AABC外接圓半徑的值.

19.隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購買了家用汽車，使用汽車共需支出三筆費用；

購置費、燃油費、養(yǎng)護保險費，某種型號汽車，購置費共20萬元；購買后第1年燃油費共2

萬元，以后每一年都比前一年增加0.2萬元.

(1)若每年養(yǎng)護保險費均為1萬元，設購買該種型號汽車〃("eN*)年后共支出費用為S“萬

元，求S”的表達式；

(2)若購買汽車后的前6年，每年養(yǎng)護保險費均為1萬元，由于部件老化和事故多發(fā)，第7年

起，每一年的養(yǎng)護保險費都比前一年增加10%,設使用〃(〃eN*)年后養(yǎng)護保險年平均費

用為C,,當"=〃。時，Q最小，請你列出〃>6時C”的表達式，并利用計算器確定〃。的值

(只需寫出〃。的值)

20已知函數(shù)

⑴求證：函數(shù)f(x)是/?上的減函數(shù)；

⑵己知函數(shù)/(x)的圖像存在對稱中心(a,b)的充要條件是g(x)=/(x+a)-b的圖像關

于原點中心對稱，判斷函數(shù)/3)的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該對稱中心的坐

標，若不存在，說明理由；

⑶若對任意玉都存在々€口二］及實數(shù)加，使得/(I一小)+/(占々)=1,求實數(shù)

”的最大值.

21.城市道路大多是縱橫交錯的矩形網(wǎng)格狀，從甲地到乙地的最短路徑往往不是直線距離,

而是沿著網(wǎng)格走的直角距離，在直角坐標系xoy中，定義點4(百,)1),8(馬,必)的“直角距

離“d(A,B)為:J(AB)=|x,-x2|+|y1-y2|,設M(1,1),N(—1,-1).

y

rr4Tr

T.i.

LL

21

i____

1

-4-2-1O1234x

rrTr

-1

L

-21

T-：3

j.______

-4

⑴寫出一個滿足d(C,M)=d(C,N)的點C的坐標；

⑵過點加(1,1),77(-1,-1)作斜率為2的直線小4,點。、R分別是直線小4上的動點，求

d(Q,R)的最小值；

⑶設尸(x,y),記方程d(P,")+d(P,N)=8的曲線為「，類比橢圓研究曲線「的性質(zhì)(結(jié)

論不要求證明)，并在所給坐標系中畫出該曲線；

答案與解析

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題

5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結(jié)果.

1.已知集合A={X|X<2},8={1,3,5,7},則=

［答案］{1}

［解析］

［分析］直接根據(jù)集合運算求解即可.

［詳解］解：因為A={x|x<2},B={l,3,5,7},所以Ac3={l}

故答案為：{1}

2.（2+x）4的二項展開式中產(chǎn)的系數(shù)為

［答案］24

［解析］

［分析］根據(jù)二項式定理計算即可.

［詳解］解：（2+x）4展開式的通項公式為2』/次=（）』,2,3,4,

故當攵=2時，（2+x>的二項展開式中產(chǎn)的項為&產(chǎn)盤22/,其系數(shù)為24.

故答案為：24

3"—2"

3.lim

〃一>83"+1

［答案H

［解

［分析］由于3w.,進而根據(jù)極限法則求極限即可得答案.

3"+1］+-

3"

［詳解］lim上心-=lim—年4

=lim

〃->83〃+1〃-*811n—>ot>

故答案為：1

<01C.X=1

4.若線性方程組的增廣矩陣為.，解為《，，貝|JC|-G=____________

y=i

f答案］-1

［解析］

x=l

［分析］本題可先根據(jù)增廣矩陣還原出相應的線性方程組，然后將解《，代入線性方程組即

(y=l

可得到C2的值，最終可得出結(jié)果.

［詳解］解：由題意，可知：此增廣矩陣對應的線性方程組為：

「，將解《，代入上面方程組，可得：\

尤+y=c>2［y=1［c2=2

所以q-。2=1-2=-1

故答案為：-1.

5.在直角坐標系無”中，角a的始邊為x正半軸，頂點為坐標原點，若角a的終邊經(jīng)過點

(-3,4),則sin(a+;r)=

4

［答案］一］##-0.8

［解析］

［分析］結(jié)合三角函數(shù)的定義、誘導公式求得正確答案.

44"4

"rW解-ft］2isin?=Q■■,F1—=—5,sin(a+^)=-sina=——5?

4

故答案為：一二

6.3位同學被推薦擔任進博會3個指定展館服務志愿者，每人負責1個展館，每個展館只需

1位同學，則共有種不同的安排方法.

［答案］6

［解析］

［分析］利用排列計算出正確答案.

［詳解］3位同學被推薦擔任進博會3個指定展館服務志愿者，每人負責1個展館，每個展館

只需1位同學，則共有&=6種不同的安排方法.

故答案為：6

7.已知雙曲線一.=1的左，右焦點為《、F2,過￡的直線/與雙曲線M的左、右

支分別交于點A8.若AABF?為等邊三角形，則^ABF2的邊長為

［答案］4

［解析］

［分析］根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義求解即可.

［詳解］解：如圖，設“8用的邊長為r,|A制=〃?，

因為工為等邊三角形，所以|明=M閭=忸閭=r,

由雙曲線的方程知a==后，

所以由雙曲線的定義得iMlTMl=2,忸耳|一|愿|=2,

即r+加一/*=2/-加=2,解得「=4，m=2.

所以AABK的邊長為4.

8.在復平面X，"內(nèi)，復數(shù)所對應的點分別為Z「Z2,對于下列四個式子：

,?..............................................uuu-2|Uur,2|Uutruuw,.uutr,,uuur,

0Z0Z

⑴z：=M；(2)|Z1-Z2|=|ZI|-|Z2|；(3)<9Z,=［0Z||；(4)^Z,-2|=|i|"l^l.其

中恒成立的是(寫出所有恒成立式子的序號)

［答案］(2)(3)

［解析］

［分析］結(jié)合復數(shù)運算對四個式子進行分析，由此確定正確答案.

［詳解］4=l+i,z；=2i,忖|=2,所以⑴錯誤.

|UUUUULfl||UUUIlUUlU|

Z,(1,1),Z2(1,-1).|oz,-OZ2|=0,|oz,|-|oz2|=2,所以⑷錯誤.

設4-a+bi,z2=c+6fi,Z](o,/?),Z2(c,t/),

|z,-z1\-\ac-bd+(^ad+A?c)i|=^ac-bdy+(ad+Z?c)'

^■Ja2c2+b2d2+a2d2+b2c2■

222222222222

\z}\-\z2\=yja+h->]c+d=y]ac+bd+ad+bc，所以(2)正確.

西2=|西『=/+〃，所以⑶正確.

故答案為：(2)(3)

9.設匕)，€??,。>08>0,若優(yōu)=//=3,4+26=2遍，則,+'的最大值為

xy

［答案］1

［解析］

［分析］由指對互化對數(shù)換地公式得'+'=1083。。，再根據(jù)基本不等式得。。6(0,3］,進

%y

而得』+L=log3必w(O,l］.

xy

1,1,,

［詳解］解：因為優(yōu)=,'=3，所以x=log〃3,y=10gz,3,所以(=log3a,］=log3b,

11,,

—+—=log3ab

xy

因為4+2%=26，所以2次;4(心絲)2=6,故〃8e(0,3］,

所以，+'=log3abe(0』］

尤V

11

故一+一的最大值為1.

xy

故答案為：1.

10.已知公差不為0的等差數(shù)列{凡}的前〃項和為s.，若g,Ss，S7G{-10,0},則S,的最

小值為____________

［答案］-12

［解析］

［分析］對處的值進行分類討論，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和最值的求法求得S”的最小值.

［詳解］S“取得最小值，則公差d>0,%=-1°或4=0，

(1)當%=0/〉0鳥=^1^*7=7。4=0,§5=5。3=T()

=4+34=0,54+l(W=-10,

=>4=-6,J=2>0,q〃=2/?-8,=2n-8<0=>n<4,

所以5〃的最小值為S4=44+6d=-24+12=-12.

⑵當％=-1（），d>0,S7=色鏟_*7=7%=-70，不合題意.

綜上所述：。4=°，$5=-10,S7=0,S,的最小值為—12.

故答案為：-12

11.已知點A8在拋物線「:V=4x上，點M在「的準線上，線段M4、MB的中點均在拋

物線「上，設直線AB與y軸交于點N（0,〃），貝I］時的最小值為.

［答案］2夜

［解析］

［分析］設4（千，x）,3哈,巴）,A/（T,㈤，進而根據(jù)題意得到，必是方程

y2-2my-m2-8=0的兩個實數(shù)根，故X+%=2根,/％=一/一8,進而得

L：y-x=2（x-￡），再根據(jù)直線A3與y軸交于點N（0,〃）得〃=-彳-二，最后結(jié)合對

m42m

勾函數(shù)求解即可.

［詳解］解：設4},凹）,8（￥，%）,加（-1,，〃）

所以AM的中點坐標為,絲土耳）,

82

由于Per,所以（絲$o2=4x江心，即y：一2mM一加2—8=0；

28

22

同理得y2-2my2-m-S=0,

)'|2—2/ny,_ITT_8=0?,

所以2，即%，%是方程y-2my—n?—8=0的兩個實數(shù)根,

y2—2my2—m—8=0

2

所以M+%=2m,xy2=-m-8,

k-—4-2

所以‘2L_21X+%“2，故加：y-y=—(x-

44m

由于直線AB與y軸交于點N(0,〃)

所以〃一y=--(0->即〃=—----,

m42m

因為對勾函數(shù)y=］+：的取值范圍是（-oo,—2,\/2Jo+<x>^,

所以=2夜，

故答案為：2G

12.設曲線C與函數(shù)/(x)=1gx2(04x4m)的圖像關于直線y=Kx對稱，若曲線。仍

然為某函數(shù)的圖像，則實數(shù)〃?的取值范圍為

［答案1(0,2］

［解析］

［分析］設/是/(犬)=*》2(0〈》芭加)在點”(見*加)處的切線，進而根據(jù)題意得直線/

關于y=氐對稱后的直線方程必為x=。，曲線。才能是某函數(shù)的圖像，進而得/的方程

為/:y鳴…)+如nr,再聯(lián)立方程即可得加=2,進而得答案.

312

［詳解］解：設/是/*)=*/(0＜》《相)在點加(犯哈加2)處切線，

因為曲線C與函數(shù)/(X)=*X2(04X?M的圖像關于直線丫=底對稱，

所以直線/關于y=后對稱后的直線方程必為％=。，曲線C才能是某函數(shù)的圖像，

如圖所示直線y=Gx與x=。的角為所以/的傾斜角為］，

所以/的方程為I:y=^-(x-m)+^-m

312

3

y-3(x-/71)d——-m2

故聯(lián)立方程得《，BPx2-4x+4m-nr=0，

V3

y-9

12x~

所以△=16-16m+4〃/=0，解得加=2

所以加的取值范圍為（0,2］

故答案為：（0,2］.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選

項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.“工<1”是“4>1”的（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充

分也不必要條件

［答案］B

［解析］

［分析］

先利用分式不等式的解法將4<1解得。>1或再利用充分條件和必要條件的定義判

a

斷.

［詳解］因為,<1,

a

所以--1<0,

a

所以匕@<0,

a

即〃（4一1）〉（），

解得〃>1或a<0,

所以“』<1''是"〃>1''的必要不充分條件.

a

故選：B

14.給定一組數(shù)據(jù)15,17,14,10,12,17,17,16,14,12,設這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為。，中位數(shù)為b,

眾數(shù)為c,則（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.b>c>a

［答案］B

［解析］

［分析］求得平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，由此確定正確選項.

[W]10,12,12,14,14,15,16,17,17,17,

10+12+12+14+14+15+16+17+17+17

10

中位數(shù)上生=14.5,

2

眾數(shù)c=17,

所以c>匕>a

故選：B

15.已知平面a經(jīng)過圓柱0Q的旋轉(zhuǎn)軸，點A8是在圓柱的側(cè)面上，但不在平面a

上，則下列4個命題中真命題的個數(shù)是()

①總存在直線/,/ua且/與AB異面；

②總存在直線/,/ua且/，A3；

③總存在平面氏A3u￡且尸_Lc；

④總存在平面月,ABu￡且6//a.

A.1B.2C.3D.4

［答案］C

［解析］

［分析］根據(jù)空間位置關系可直接判斷.

［詳解］解：由己知得直線AB與平面?？赡芷叫?，也可能相交，

所以一定存在直線/,/ua且/與異面，故①正確；

一定存在直線/,/ua且/LAB，故②正確；

一定存在平面4，ABu/7且尸，a,故③正確；

當直線A3與平面a相交時，不存在存在平面尸，ABu/3豆BHa,故④錯誤；

所以4個命題中真命題的個數(shù)是3個.

故選：C

rrmjr

16.若函數(shù)/(%)=3sincox+4cosd?x(0<x<y,69>0)的值域為［4,5］,則cos的取值范

圍為(

［答案］A

［解析］

471

［分析］由題知f(x)=5sin(＜yx+^),tanP=-,0＜/?＜—,再結(jié)合函數(shù)值值域得

IT皆(f)TTW乃-2萬，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可得答案

［詳解］解/'(X)=3sincox+4coscox=5sin(ox+6),(0<xW—,0>0)

tan/?=3,sin/?=—,cos/?=—,

令/=cox+0,則g(t)=5sin/,

TTTTfi)TT

因為?⑷〉0,所以/+〈尸＜］,

因為函數(shù)/(X)的值域為［4,5］,則g0r—￡)=4,g(］)=5

LL,、l九一(O7t八八rn"八(071.八八

所以一w-----卜。&兀一。，即—B4—＜乃一2/?,

2323

因為()＜］一夕2￡＜乃，函數(shù)y=cosx單調(diào)遞減，

jr41697

cos(——/?)=sin〃=—,cos(^--2/?)=-cos2/?=sin2/?-cos2△=五一石=石

所以cos”的取值范圍為［―,-］

3255

故選：A

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)解答下列各題必須在答題紙的相應位

置寫出必要的步驟.

17.在直三棱柱ABC-A中，AC±BC,AC^BC=CCt=2.

c

⑴求四棱錐A-BCG瓦的體積V；

(2)求直線AB|與平面AC￡4所成角的正切值.

8

I答案］⑴3

⑵在

2

［解析］

［分析］(1)根據(jù)題意得AC，平面,進而根據(jù)體積公式計算即可；

⑵由題可證4G，平面ACCA，進而N4AG是直線AB】與平面ACC4所成角，再計

算即可得答案.

［小問1詳解］

解：因為直三棱柱ABC—44cl中，CG，平面ABC,

所以CG^AC,CC,±BC

因為AC_LBC,BCcCC1=C,

所以AC，平面BCGg，

因為AC=BC=CC］=2,所以SBCC、B1=4

t1o

所以四棱錐A—BCC隹的體積V=§xS8CG曠AC=§x4x2=:

［小問2詳解］

解：因為直三棱柱ABC—44a中，CG，平面ABC,

所以CG

因為AC_LBC,ACICC,=C,

所以BC_L平面ACGA,

因為在直三棱柱ABC—A4G中，BC"B￡,

所以gG，平面ACC/，

故連接AG，AB{,則ZB|AG是直線AB|與平面ACG4所成角,

所以tanN4A￡=/=4=也，

1'AQ2夜2

所以直線A4與平面ACGA所成角的正切值為Y2.

2

18.已知三個內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為a,4c,a=4,cosB=-,

4

(1)若sinA=2sinC,求△ABC的面積；

(2)設線段AB的中點為。，若CD=屈,求AABC外接圓半徑的值.

［答案

⑵也

5

［解析］

［分析］(1)由題知a=2c,進而根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知得。=2幾，sin3=姮，再根

4

據(jù)三角形面積公式計算即可；

(2)在△88中由余弦定理得c=2,進而在AABC中，b=2限,再根據(jù)正弦定理求解

即可.

［小問1詳解］

解：因為sinA=2sinC,所以a=2c,

因為a=4,cosB=-』,

4

所以c=2,

因為8w（O,乃），所以sin3=JI二商/="，

4

所以AABC的面積為S&ABC=；acsinB=gx4x=-J］5-

［小問2詳解］

解：因為線段A8的中點為。，CD=M，a=4,cosB=」，

4

-CD2^-+16-191

所以在△BCD中，由COSB=3----------=-4--------=__1,解得c=2（c=-6

cc八4c4

舍），

所以在△ABC中，b1=a2+c2—2accos5=24，即/?=2^6，

因為8￡(0,4)，所以sin8=JF=嬴7萬=丫幺，

4

CDb2V68加

所以由正弦定理得AABC外接圓半經(jīng)R滿足sin§-J后—5

丁

所以AABC外接圓半徑R=勺叵

5

19.隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購買了家用汽車，使用汽車共需支出三筆費用；

購置費、燃油費、養(yǎng)護保險費，某種型號汽車，購置費共20萬元；購買后第1年燃油費共2

萬元，以后每一年都比前一年增加0.2萬元.

(1)若每年養(yǎng)護保險費均為1萬元，設購買該種型號汽車〃(“eN*)年后共支出費用為S“萬

元，求S“的表達式；

(2)若購買汽車后的前6年，每年養(yǎng)護保險費均為1萬元，由于部件老化和事故多發(fā)，第7年

起，每一年的養(yǎng)護保險費都比前一年增加10%,設使用〃(〃eN*)年后養(yǎng)護保險年平均費

用為c“，當〃=小時，G最小，請你列出〃>6時c”的表達式，并利用計算器確定〃。的值

(只需寫出〃。的值)

川

［答案］(1)S“=一+—■+20,〃wN*

“1010

八、「10xl.l"-5-543一

(2)Cn=-----------N*;〃o=7

n

［解析］

［分析］(1)根據(jù)題意，購買該車后，每年的燃油費構(gòu)成等差數(shù)列，首項為2,公差為0.2,進

而得n(nsN*)年后燃油的總費用是幺+上”，進而結(jié)合題意可得sn=—+—+20；

10101010

(2)由題知從第七年起，養(yǎng)護保險費滿足等比數(shù)列，首項為1.1,公比為1.1,進而得

〃(〃eN*,〃>6)年后，養(yǎng)護保險費為5,再求平均值即可得答案，最后利用計

算器計算可得〃o=7.

［小問1詳解］

解：根據(jù)題意，購買后第1年燃油費共2萬元，以后每一年都比前一年增加0.2萬元，

所以購買該車后，每年的燃油費構(gòu)成等差數(shù)列，首項為2,公差為0.2,

所以購買該種型號汽車第eN*)年的燃油費用為an=0.2〃+1.8,

所以購買該種型號汽車eN*)年后燃油的總費用是“@2'+L8+2)=二十上〃，

21010

因為每年養(yǎng)護保險費均為1萬元，所以購買該種型號汽車eN*)年后養(yǎng)護費用共〃萬元,

C192"229〃”一

所以S”=---1---〃+〃+20=---1-----F20,〃€N*.

“10101010

［小問2詳解］

解：當〃>6時，由于每一年的養(yǎng)護保險費都比前一年增加10%,

所以從第七年起，養(yǎng)護保險費滿足等比數(shù)列，首項為1.1,公比為1.1,

所以從第七年起，第〃("eN*,n>6)年的養(yǎng)護保險費用為1.I"”,〃eN*,

所以購買該種型號汽車n(neN*,〃>6)年后，養(yǎng)護保險費為

I.lx(l-l.r6)

6+=10x1.1—5,

1-1.1

所以當〃>6時，使用〃N*)年后，養(yǎng)護保險費的年平均費用為

n

經(jīng)計算器計算得%=7時，C.最小.

20.已知函數(shù)/(x)eR).

(1)求證：函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)；

(2)已知函數(shù)f(x)的圖像存在對稱中心(a,份的充要條件是g(x)=/(x+a)-b的圖像關

于原點中心對稱，判斷函數(shù)/(x)的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該對稱中心的坐

標，若不存在，說明理由；

(3)若對任意不田1,川，都存在々€［1,會及實數(shù)加，使得/(I-煙。+/(玉々)=1,求實數(shù)

〃的最大值.

［答案］⑴證明見解析

(2)存在,

(3)2

［解析］

［分析］(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;

(2)假設函數(shù)f(x)的圖像存在對稱中心(a,切，進而根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為

1—2萬=0

(1-26)(2"+"+2m)+2—2b-2b?2?a=0恒成立,進而得.c八C八，解方程

2-2b-2b-2~a=0

即可得答案；

■11「3"

(3)根據(jù)題意得1-加內(nèi)+西工2=。，進而結(jié)合己知條件得以m-\,m一一c1,-，所以

nJ［_2_

1,3、1RC

->(m--)min=不，故〃M2.

n22

［小問1詳解］

解：設對于任意實數(shù)不，w，x,<x2,

則小)_______1_(2”+1)-(2”+1)2-2,，

人“3尸八刈一藥-赤丁(2%+1)(2*+1)_(2,，+1)(2”+1)'

因為看,超eR,玉<々，所以2迎一2為>0,(2為+1)(2*+1)>0,

所以〃石)-/(/)>0,即〃n)>/(工2)

所以函數(shù)/(X)是R上的減函數(shù)

［小問2詳解］

解：假設函數(shù)的圖像存在對稱中心S，份，

則g(x)=/(x+。)—〃=W——。的圖像關于原點中心對稱,

2+1

由于函數(shù)的定義域為R,

所以g(_*)+g(%)=一〃+—8=0恒成立，

即(1一2b)(2x+a+2~x+a)+2-2。一262?"=0恒成立,

1-2b=Q

所以《解得a=0,b=-,

2—2b—2b=02

所以函數(shù)/(x)的圖像存在對稱中心(°，3)

I小問3詳解]

'3一

解：因為對任意外€口〃],都存在々G及實數(shù)用，使得了(I一，叫)+/(玉々)=1，

1

所以+=1,即2~叼+再為_i,

+12^+1

mx.-11

所以1一〃%+玉工2=0,即x2=---------=m------

萬玉

11

因為所以m---em-\,m——

n

31\e1,2,

因為々eh-所以m-1,m-

n一2

m-1>1m>2

所以《13,即

m——<—

n21〃2

131

所以一2(根一二)“面二二，所以幾＜2,即實數(shù)〃的最大值為2.

n22

21.城市道路大多是縱橫交錯的矩形網(wǎng)格狀，從甲地到乙地的最短路徑往往不是直線距離,

而是沿著網(wǎng)格走的直角距離，在直角坐標系雙”中，定義點4M,乂),3(々,必)的“直角距

離，，d(A,B)為:J(AB)=|x,-x2|+|y1-y2|,設-1).

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