上高縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江西省上高縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析上高二中2021屆高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理科)試題1。下列說法中正確的是（)A.先把高二年級的名學(xué)生編號：到，再從編號為到的學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生,其編號為，然后抽取編號為的學(xué)生,這種抽樣方法是分層抽樣法B.線性回歸直線不一定過樣本中心C.若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的值越接近于D。若一組數(shù)據(jù),，，的平均數(shù)是,則該組數(shù)據(jù)的方差也是【答案】D【解析】【分析】A是系統(tǒng)抽樣，B選項線性回歸直線一定過樣本中心，C選項若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，D選項若一組數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)是，求出，則該組數(shù)據(jù)的方差即可求解。【詳解】A選項：先把高二年級的名學(xué)生編號：到，再從編號為到的學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生，其編號為，然后抽取編號為的學(xué)生，這種抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法，所以該選項不正確;B選項：線性回歸直線一定過樣本中心，所以該選項不正確；C選項：若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于,所以該選項不正確；D選項：若一組數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)是，,解得，則該組數(shù)據(jù)的方差是，所以該選項正確。故選:D【點睛】此題考查抽樣方法，回歸直線,相關(guān)關(guān)系的辨析，求平均數(shù)和方差，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)概念和公式,準確計算。2.甲、乙兩名同學(xué)參加校園歌手比賽,7位評委老師給兩名同學(xué)演唱比賽打分情況的莖葉圖如圖（單位:分），則甲同學(xué)得分的平均數(shù)與乙同學(xué)得分的中位數(shù)之差為（）A.1 B。2C。3 D.4【答案】B【解析】【分析】由莖葉圖直接求出甲的平均數(shù)和乙的中位數(shù)，由此得出結(jié)果。【詳解】由莖葉圖得：甲的平均數(shù)乙的中位數(shù)為83即甲的平均數(shù)與乙的中位數(shù)之差為85-83=2故選：B?！军c睛】本題考查了對莖葉圖得認識，以及平均數(shù)和中位數(shù)的求法。3.下列命題中錯誤的是（）A。命題“若，則”的逆否命題是真命題B.命題“，”的否定是“,”C.若為真命題，則為真命題D.在中,“”是“”的充要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)原命題與其逆否命題的真假性一致可以判定A,根據(jù)特稱命題的否定形式可判定B，若為真命題，則為不一定真命題，在中，“"是“”的充要條件，即可得出選項?！驹斀狻緼選項：命題“若，則"是真命題，所以其逆否命題是真命題，該選項正確;B選項：根據(jù)特稱命題否定法則，命題“，”的否定是“，"，所以該選項正確；C選項：若為真命題，可能一真一假,則為可能為假命題，所以該選項錯誤;D.在中,“”是“”的充要條件證明如下：在中，若，則，又由正弦定理：可得；反之若，則，則有故在中，“”是“”的充要條件,D選項正確.故選:C【點睛】此題考查四個命題間的關(guān)系,含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷，寫出特稱命題的否定，充分條件與必要條件的判斷，綜合性比較強。4.已知，，若，則點的坐標為（）A。 B。 C. D。【答案】D【解析】設(shè)點為，又∴，∵，∴即,D點坐標故選D5.設(shè)兩圓、都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1）,則兩圓心的距離=A.4 B。 C.8 D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：依題意設(shè)兩圓方程分別為，分別將代入得，所以，圓心距。考點：圓與圓的位置關(guān)系.6。已知橢圓:的右焦點為,過點作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率為（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】由題意畫出圖形，可得，兩邊平方后結(jié)合隱含條件得答案．【詳解】如圖，由題意可得，，則2b2＝c2,即2(a2﹣c2）＝c2，則2a2＝3c2,∴,即e．故選D．【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．7.已知兩條直線,兩個平面,給出下面四個命題：①，;②,,；③,；④，，其中正確命題的序號是（)A.①④ B.②④ C。①③ D.②③【答案】A【解析】依據(jù)線面垂直的判定定理可知命題①是正確的；對于命題②，直線還有可能是異面,因此不正確;對于命題③，還有可能直線,因此③命題不正確；依據(jù)線面垂直的判定定理可知命題④是正確的，故應(yīng)選答案A。8。執(zhí)行如圖所示流程圖,若輸出的，則輸入整數(shù)的最小值是(）A.3 B。7 C.15 D.31【答案】C【解析】【分析】模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的，的值，當時，此時不滿足條件，退出循環(huán)輸出的值為,則結(jié)合選項可得輸入的整數(shù)的最大值為。【詳解】模擬執(zhí)行程序框圖，可得,滿足條件，此時；滿足條件，此時；滿足條件，此時；滿足條件，此時；由題意,此時不滿足條件，應(yīng)退出循環(huán)輸出的值為，則結(jié)合選項可得輸入的整數(shù)的最小值為。故選:C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，判斷循環(huán)退出的條件是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題。9.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于(）A. B. C. D。2【答案】B【解析】【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可?！驹斀狻坑扇晥D可得，該幾何體為如圖所示的四棱錐，其中底面為矩形，,，易知該幾何體的體積為.故選:B。【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，畫出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10。過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點,點是原點，若;則的面積為（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【詳解】試題分析：拋物線焦點為，準線方程為，由得或所以，故答案為C．考點：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系．11.如圖，在棱長為的正方體中，為的中點,為上任意一點，,為上兩動點，且的長為定值,則下面四個值中不是定值的是（）A。點到平面的距離 B.直線與平面所成的角C。三棱錐的體積 D.二面角的大小【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面，可判斷A；直線與平面所成的角的正弦值為點到平面的距離除以線段的長度，結(jié)合A選項可判斷正弦值不是定值；根據(jù)面積為定值,結(jié)合A選項可判斷該選項不正確；二面角的兩個半平面為，棱為，是一個確定的圖形，所以二面角的大小為定值.【詳解】根據(jù)正方體的性質(zhì)，，平面，平面，平面，為上任意一點，點到平面的距離為定值，記作，可判斷A不正確；記直線與平面所成的角，不是定值，所以正弦值不是定值,所以B正確；根據(jù)正方體的性質(zhì)，平面，平面，，所以三棱錐的體積，是定值，所以C不正確；二面角的兩個半平面為，棱為，是一個確定的圖形,所以二面角的大小為定值，所以D不正確。故選:B【點睛】此題考查正方體中空間角和空間距離的求法，關(guān)鍵在于準確找出其中的平行與垂直關(guān)系，進行準確辨析.12。已知雙曲線的右焦點為,直線經(jīng)過點且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的右支交于不同兩點,，若，則該雙曲線的離心率為（）A。 B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】首先可以根據(jù)題意寫出直線的方程，然后令并聯(lián)立直線與雙曲線方程,得出兩點的縱坐標之和以及縱坐標之積，再然后通過即可列出方程并解得的值，最后根據(jù)離心率計算公式即可得出結(jié)果．【詳解】由題意得直線方程為，不妨取，則，且.將代入，得.設(shè)，，則，。由，得，所以，得,解得，所以，故該雙曲線的離心率為，故選A．【點睛】本題考查雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線與離心率的相關(guān)性質(zhì)，考查雙曲線與直線的相關(guān)性質(zhì)，考查方程思想，考查運算求解能力，是中檔題．13.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一抽樣問題：“今有北鄉(xiāng)若干人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人,而北鄉(xiāng)需遣一百零八人，問北鄉(xiāng)人數(shù)幾何?”其意思為：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，這三面要征調(diào)300人，而北面征調(diào)108人（用分層抽樣的方法），則北面共有__________人．”【答案】8100【解析】因為共抽調(diào)300人，北面抽掉了108人,所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽樣比為，所以北面共有人，故填8100.14.在平面直角坐標系中，若拋物線的焦點恰好是雙曲線的焦點,則的值為___________.【答案】【解析】【分析】求出雙曲線的焦點坐標，根據(jù)拋物線的焦點坐標形式即可求解【詳解】由題：雙曲線的焦點坐標,拋物線標準形式,焦點坐標，所以，解得。故答案為：【點睛】此題考查求雙曲線的焦點坐標，根據(jù)拋物線的交點坐標求拋物線方程中的參數(shù)值,屬于簡單題目，易錯點在于拋物線的標準形式?jīng)]弄清楚導(dǎo)致焦點坐標寫錯.15。將邊長為的正方形沿對角線折起,使得平面平面，在折起后形成的三棱錐中，給出下列四個命題：①；②異面直線與所成的角為;③二面角余弦值為；④三棱錐的體積是.其中正確命題的序號是___________.（寫出所有正確命題的序號）【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)線面垂直證明①,建立空間直角坐標系，利用空間向量求解②，可用射影面積法求③,求出底面積和高得④.【詳解】取中點，連接，，所以平面,平面,所以，①正確；因為，所以就是二面角的平面角，平面平面，所以,以中點為原點,為坐標軸的正方向,建立空間之間坐標系，如圖所示:，，根據(jù)向量夾角的取值范圍可得：異面直線與所成的角為,所以②錯誤;已經(jīng)證得，所以平面，，就是到平面的距離，根據(jù)射影面積法可求得二面角余弦值為,所以③正確;三棱錐的體積是,所以④不正確。故答案為:①③【點睛】此題考查根據(jù)平面圖形折疊而成的物體中求角度和距離，關(guān)鍵在于弄清折疊前后的變化關(guān)系，利用基本方法求解。16.在四面體中，，,，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】作出圖形根據(jù)所在小圓面找出球心，建立等量關(guān)系求解.【詳解】由題：,所以所在小圓面的圓心就是線段的中點,取球心O,根據(jù)球的幾何性質(zhì)有平面，平面,所以平面平面，二面角的大小為，所以二面角的大小為，，，所以是邊長為3等邊三角形，連接，，所以二面角的平面角為在線段上取,根據(jù)正三角形四心合一，可得平面,，設(shè)球的半徑為，則，所以，所以該外接球的體積故答案為：【點睛】此題考查根據(jù)幾何體求外接球的大小，關(guān)鍵在于根據(jù)題意尋找出與球心和半徑有關(guān)的幾何關(guān)系.17。已知，圓:，直線：。（1）當為何值時，直線與圓相切；(2)當直線與圓相交于、兩點,且時，求直線的方程?！敬鸢浮浚?）；（2）和.【解析】【分析】（1）直線與圓相切，求出圓心到直線的距離，與半徑相等，得出關(guān)于的方程,求解，即可得出結(jié)論；（2），根據(jù)垂徑定理，可得圓心到直線的距離為，得到關(guān)于的方程，求解，即可得出結(jié)論;【詳解】將圓的方程配方得標準方程為，則此圓的圓心為，半徑為2。（1）若直線與圓相切，則有，化簡得，.（2)當直線與圓相交于、兩點，時圓的半徑為，根據(jù)垂徑定理圓心到直線的距離為，,整理得解得：或,∴直線的方程是和?！军c睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，要注意圓的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，屬于中檔題。18。已知命題P：實數(shù)m滿足，其中；命題q：方程表示雙曲線．（1）若，且p真q真，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2)【解析】【分析】（1）計算得到命題p：;命題:,得到不等式計算得到答案。（2)是的充分不必要條件,則q是p的充分不必要條件,得到計算得到答案.【詳解】（1）命題p：由題得，又，解得，命題，解得.若,命題P為真時；,p真且真,，解得m的取值范圍是．(2)是的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件,實數(shù)a的取值范圍是?！军c睛】本題考查了根據(jù)命題的真假求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力。19。某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表),得到了散點圖（如下圖)。表中，（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（3）若單位時間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為，【答案】(1)選取更合適;（2）；（3）時，煤氣用量最小.【解析】【分析】（1）根據(jù)散點圖的特點,可得更適合；（2）先建立關(guān)于的回歸方程,再得出關(guān)于的回歸方程;（3)寫出函數(shù)關(guān)系,利用基本不等式得出最小值及其成立的條件?！驹斀狻?1）選取更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型;（2）由公式可得：，，所以所求回歸直線方程為：；（3）根據(jù)題意，設(shè)，則煤氣用量，當且僅當時，等號成立，即時，煤氣用量最小?！军c睛】此題考查根據(jù)題意求回歸方程，利用線性回歸方程的求法得解，結(jié)合基本不等式求最值.20。已知動點到定直線：的距離比到定點的距離大2.（1）求動點的軌跡的方程；（2）在軸正半軸上,是否存在某個確定的點，過該點的動直線與曲線交于，兩點,使得為定值。如果存在，求出點坐標；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）【解析】分析:（1）利用拋物線定義即可求得拋物線方程;（2）假設(shè)存在滿足條件的點M(m，0）（m＞0），直線l：x=ty+m，有,y2﹣8ty﹣8m=0，設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2),利用韋達定理弦長公式，化簡求解即可．詳解：(1）設(shè)點的坐標為，因為動點到定直線：的距離比到定點的距離大2,所以且，化簡得，所以軌跡的方程為。（2)假設(shè)存在滿足條件的點(），直線：，有,設(shè)，，有，,，，，據(jù)題意,為定值，則，于是，則有解得，故當時,為定值，所以.點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定點、定值顯現(xiàn)。21。如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，,為的中點,在線段上.(1）為何值時，平面？(2)設(shè)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1)或時，證明見解析；(2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，討論的坐標表示即可求解;（2)求出兩個半平面的