流體動力學微分形式基本方程

流體動力學微分形式基本方程第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第二篇

流體動力學基本原理及流體工程流體動力學微分形式基本方程流體動力學積分形式基本方程伯努利方程及其應用量綱分析和相似原理流動阻力與管道計算邊界層理論

流體繞過物體的流動

氣體動力學基礎

第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章

流體動力學微分形式基本方程

連續(xù)性方程理想流體運動方程實際流體運動方程第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)退出返回第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日

流體運動須遵循物質運動的某些普遍規(guī)律，如質量、動量和能量守恒定律。這些普遍規(guī)律應用于流體運動就可得到聯(lián)系流體速度、密度、壓力、溫度等參數(shù)之間的關系式，這些關系式稱為流體動力學的基本方程?；痉匠炭梢詫ξ⒃w建立，得到微分形式的基本方程；也可以對控制體建立，通過對控制體和控制面的積分而得到流體參數(shù)間的積分關系式。求解微分形式基本方程或求解對微元控制體建立的積分形式的基本方程，可以給出流場細節(jié)，即空間各點上壓力、溫度、速度、密度等流體參數(shù)的分布。本章討論微分形式的基本方程。

第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第1頁第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第一節(jié)連續(xù)性方程

第2頁圖5.1正六面體流體微團xzydydxdzwxdydz

o在研究流體運動時，對于流體量的處理上必須遵循物質不滅原理。因為流體充滿整個流場，連續(xù)不斷運動，所以在流體力學中物質不滅原理又稱為連續(xù)性原理。反映這個原理的數(shù)學關系式叫做連續(xù)性方程。一、笛卡兒坐標系統(tǒng)的連續(xù)性方程在流場中取一六面體微團，其邊長為，，（圖5.1）。沿方向在單位時間內流入六面體的流體質量為沿方向在單位時間內流出六面體的流體沿方向在單位時間內凈流出質量為六面體的流體質量為第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第一節(jié)連續(xù)性方程第3頁同理可得：沿方向在單位時間內凈流出六面體的流體質量為沿方向在單位時間內凈流出六面體的流體質量為單位時間內凈流出整個六面體的流體質量為另外，流體密度隨時間的變化也影響六面體中流體的質量。設在時刻流體密度為時刻流體密度為，則在單位時間內由于密度變化而使六面體中增加的流體質量為，第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第一節(jié)連續(xù)性方程第4頁根據(jù)連續(xù)流動原理，凈流出六面體的流體質量與六面體中流體的增加量之和為零，六面體中流體的質量是不變的，即式（5.1）就是流體的連續(xù)性方程。將上式展開，并且注意到（5.1）則連續(xù)性方程也可寫成

寫成向量形式 （5.3）

（5.3a）或（5.2）第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第一節(jié)連續(xù)性方程第5頁對于穩(wěn)定流動，，于是式（5.1）變?yōu)?即

（5.4a）（5.4）對于不可壓縮流體，為常數(shù)，則連續(xù)性方程為

（5.5）

（5.5a）即第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第一節(jié)連續(xù)性方程第6頁o圖5.2扇形六面體流體微團zArBdrDCdzdr二、圓柱坐標系統(tǒng)的連續(xù)性方程在圓柱坐標系統(tǒng)中，取一扇形六面體流體微團ABCD，如圖5.2所示。單位時間內流入AB、BC、CA面的流體質量分別為，，單位時間內流出CD、DA、BD面的流體質量分別為，，

第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第一節(jié)連續(xù)性方程第7頁單位時間內，微團中凈流出的流體質量為由于微團中流體密度增加而使微團中增加的流體質量為根據(jù)連續(xù)性原理，微團中流體質量的總變化應等于零，所以

此即圓柱坐標系統(tǒng)的連續(xù)性方程。（5.6）對于不可壓縮流體，為常數(shù)，連續(xù)性方程為

（5.7）第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第二節(jié)理想流體運動方程第1頁圖5.3流體微團在x方向所受的力xzydydxdzpdydzXo運動方程描述流體在運動中所受的力與流動參量之間的關系。理想流體是指無粘性的流體。工程實踐中的流體都是具有粘性的，它們并不是理想的流體，但在很多情況下，流體的粘性力和其他力比起來作用很小，因而可視為理想流體。一、理想流體運動方程的建立建立運動方程的基礎是牛頓第二運動定律。在理想流體流場中取出一微小六面體微團。微團所受的力有表面力（壓力）和體積力（質量力）。六面體在軸方向上所受的表面力和單位質量的體積力如圖5.3所示。設單位質量的體積力為X、Y、Z，則在軸方向根據(jù)牛頓第二運動定律應有第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第2頁化簡得、軸方向力的平衡關系式，于是有同理可推導得到

（5.8）第二節(jié)理想流體運動方程第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第3頁 式中，

稱為單位質量的體積力矢量。（5.8a）（5.8）式就是理想流體的運動方程，它是歐拉于1755年提出的，故又稱歐拉運動方程。它給出了壓力、體積力與慣性力的關系。對于給定的流體（密度已知，或者已知壓力與密度的關系，例如氣體方程），在已知體積力場（即X、Y、Z已知）內，根據(jù)此式和連續(xù)性方程進行積分，可解出任意時刻t，流場中任意位置（x，y，z）的p，wx，wy，wz。但是實際對該式進行解析計算是有困難的，往往需要給定限制條件。最簡單的限制條件是討論沿流線的運動和無旋流場。這兩種情況都是有現(xiàn)實意義的，后面將詳細討論。第二節(jié)理想流體運動方程第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第4頁歐拉方程在圓柱坐標系統(tǒng)中的形式，可以用上述同樣的方法得到，在流場中取微小扇形六面體微團，然后根據(jù)牛頓第二運動定律列出微團的力的平衡方程，從而得到該坐標系統(tǒng)的歐拉運動方程，具體形式如下

（5.9）式中、、分別為單位質量的體積力在r、、z方向的分量。

第二節(jié)理想流體運動方程第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日、p、T，除了用歐拉方程和連續(xù)性方程外，還要增加狀態(tài)方程和能量方程來求解。求解理想流體運動問題主要依靠歐拉方程和連續(xù)性方程。方程是普遍的，但各個問題的初始條件和邊界條件不同，因此對各個具體問題應作具體分析。初始條件是指流體運動開始瞬時所對應的條件。在理想流體力學問題中，所要求的是第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第5頁二、理想流體運動方程的求解對不可壓縮流體的流動，未知量為p、、、連續(xù)性方程就能求解。對可壓縮流體的流動，其未知量有、、、、、、、p、T，因此，在時，這些物理量，故歐拉方程加上的數(shù)值應是給出的，即第二節(jié)理想流體運動方程第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第6頁其中，f1至f6是給定的函數(shù)。對于穩(wěn)定流動，流場中各點的物理量不隨時間改變，所以不存在初始條件。邊界條件是指所求物理量在邊界上的取值。如對靜止的固體壁面，由于流體不能穿過這種壁面，同時流體與邊界壁面間不會形成空隙，則緊貼邊界壁面的那層流體沿壁面法線方向的流體速度分量為零，即，而其切向分量不為零。對移動的固體壁面，該層流體速度的法向分量必須等于固體邊界壁面上相應點的速度的法向分量，即又如根據(jù)作用力和反作用力相等的定律，流體作用于邊界壁面或自由面上外界介質流體質點的力，等于邊界壁面或外界介質作用于該流體上的力，即第二節(jié)理想流體運動方程第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第7頁例題5.1有一穩(wěn)定流場，其速度分布為，試證明它是不可壓縮流動。又假定質量力為重力，z軸垂直向上，，長度單位為m，試計算點M（2，2，5）處的壓力梯度。。解：連續(xù)性方程和運動方程分別為對不可壓縮流動連續(xù)性方程變?yōu)閷⑺俣确植即肷鲜降玫揭虼耍摿鲃訛椴豢蓧嚎s流動。第二節(jié)理想流體運動方程第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第8頁由于質量力為重力，則運動方程為

將給定的A，x，y，z代入，得到第二節(jié)理想流體運動方程第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第三節(jié)實際流體運動方程第1頁一、實際流體運動方程的建立歐拉方程是屬于理想流體的運動方程，理想流體是沒有粘性的。實際流體具有粘性，因此作用在流體微團上的力將更加復雜。現(xiàn)仍取流場中邊長為的微團六面體來分析（圖5.4）。由于流體具有粘性，因而，作用在每個正方形面上的力，除去法向力外還有切向力（剪切力）。而法向力也和理想流體情況不同，它不只是流體的表面力（壓力），而且還有由于剪切變形引起的附加的法線方向的力。用

表示法向應力，用

表示切向應力。則所有作用在微團上沿x軸方向的表面力的合力為、、x軸方向的質量力為第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日

退出返回第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第2頁第三節(jié)實際流體運動方程根據(jù)牛頓第二運動定律列出x軸方向力的平衡式如下

即

同樣可得到沿y和z軸方向力的平衡關系式，經化簡得到

（5.10）第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第3頁第三節(jié)實際流體運動方程將彈性力學中的應力應變關系式應用到流體力學中，作如下替換：用流體力學中的變形速率代替彈性力學中的應變；用流體的動力粘度代替固體的剪切模量G；用流體壓力的負值（）代替彈性力學中的平均法向應力。當流體流動停止（靜止流體）或者作勻速運動時，所有剪切應力都將消失，法向應力中只剩下壓力（），而對于存在剪切應力的一般情況，此種壓力仍然存在，并且與坐標方向無關，所以在一般實際流體的運動方程中仍可認為，只有在速度梯度和溫度梯度極高時才有較大偏差。經過上述替換，可以得到實際流體運動時的應力與變形速率的關系如下第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第4頁第三節(jié)實際流體運動方程由式（5.11）的前三式可以看出，粘性流體運動中的法向應力由兩部分組成，即靜壓力p和剪切變形引起的附加的法線方向的應力。將式（5.11）代入式（5.10）可得

（5.11）第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第5頁第三節(jié)實際流體運動方程

式（5.12）就是實際流體的運動方程，或稱納維—斯托克斯（Navier-Stokes）方程。當流體的粘度不變時，式（5.12）可以寫成

（5.12）第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第6頁第三節(jié)實際流體運動方程或者寫成向量形式

（5.13）對于不可壓縮流體，因為，則寫成第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第7頁第三節(jié)實際流體運動方程或者寫成向量形式 （5.14）對于圓柱坐標系統(tǒng)，考慮一扇形六面體微團（以r，r+dr，，+d，z，z+dz六個面為邊界面），按牛頓第二運動定律取力的平衡，可以得到圓柱坐標系統(tǒng)的納維—斯托克斯方程?？紤]粘度為常數(shù)時，其形式如下（推導從略）第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第8頁第三節(jié)實際流體運動方程（5.15）第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第9頁第三節(jié)實際流體運動方程（5.16）式中Fr，F(xiàn)，F(xiàn)z為單位質量的體積力在r，，z方向的分量。第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第10頁第三節(jié)實際流體運動方程對于不可壓縮流體，。對于穩(wěn)定流動，有上述方程顯然便可簡化。二、實際流體運動方程的求解由納維—斯托克斯方程、連續(xù)性方程、狀態(tài)方程、能量方程（熱力學第一定律）和粘度溫度關系式七個方程可以聯(lián)立求解出、、p、、T、七個未知量。求解必須在一定的初始條件和邊界條件下進行，對于穩(wěn)定流動，只需給出邊界條件。由于粘性流體的粘附效應，固體壁面上的流體質點和對應的固體壁面具有相同的速度，即、注意到納維—斯托克斯方程中，慣性項是非線性項，因而求解十分困難。對于理想流體，存在速度勢時，不可壓縮理想流體的流動問題簡化為求解拉普拉斯問題，因而可以由許多簡單的流動疊加成為復雜的流動。但對于粘性流體，由于是非線性問題，就不能用疊加的方法求解。第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第11頁第三節(jié)實際流體運動方程迄今為止，除了一些經典問題以外，一般問題的解析求解仍然是不可能的。近年來數(shù)值計算方法發(fā)展很快，借助于現(xiàn)代計算工具，使工程實際中許多復雜的流體力學問題得以解決，而納維—斯托克斯方程作為計算基礎是十分重要的。例題2求解兩塊固定無限長二維平行平板間不可壓縮流體的穩(wěn)定層流問題（圖5.5）。解：x軸取在兩平板中間，流動沿x方向，故wy=wz=0，對于不可壓縮流體的穩(wěn)定平面流動，納維—斯托克斯方程和連續(xù)性方程為第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第12頁第三節(jié)實際流體運動方程第二、第三式說明壓力p僅是x的函數(shù)，而與y、z無關，最后一式說明wx與x無關，這樣，第一式成為yxohp2lp1圖5.5兩平板內的流動xo第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第13頁第三節(jié)實際流體運動方程上式左邊為x的函數(shù)，右邊是y的函數(shù)，對于不同變量的全微分等式，僅當?shù)仁絻蛇叾嫉扔诔?shù)時才能成立，故有由邊界條件：當時，，得到、則可得到流速分布可見wx沿平板間隙高度方向是拋物線分布的，如圖5.5所示。若板長為l，入口和出口端壓力分別為p1和p2，則流速分布公式可寫成第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期日第五章流體動力學微分形式基本方程

退出返回第14頁第三節(jié)實際流體運動方程流過板寬b的流量為rx