現(xiàn)代控制理論第二章

現(xiàn)代控制理論第二章第1頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

狀態(tài)空間分析法是現(xiàn)代控制理論的主要分析方法，其直接將系統(tǒng)的微分方程或差分方程化為描述系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)關(guān)系的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型——狀態(tài)方程，運(yùn)用矩陣方法求解狀態(tài)方程，直接確定其動(dòng)態(tài)響應(yīng)，研究系統(tǒng)狀態(tài)方程的解法及分析解的性質(zhì)是現(xiàn)代控制理論的主要任務(wù)之一。

本章重點(diǎn):

討論狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出狀態(tài)方程的求解公式。

第2頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.1齊次狀態(tài)方程的解1、線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)1）自由運(yùn)動(dòng)：線性定常系統(tǒng)在沒(méi)有控制作用，即u＝0時(shí)，由初始狀態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)自由運(yùn)動(dòng)。齊次狀態(tài)方程的解：2）強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)：線性定常系統(tǒng)在控制u作用下的運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。非齊次狀態(tài)方程的解：第3頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、齊次狀態(tài)方程的解：指數(shù)函數(shù)一階標(biāo)量微分方程已知狀態(tài)方程求第4頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日仿照標(biāo)量微分方程：向量代入微分方程：對(duì)求導(dǎo)：兩式相等必有：第5頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日仿照標(biāo)量微分方程：向量代入第6頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述了狀態(tài)向量由初始狀態(tài)向任意時(shí)刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移的內(nèi)在特性。第7頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿(mǎn)足初始狀態(tài)的解是：滿(mǎn)足初始狀態(tài)的解是：線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程：已知：令：則有：1、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的含義線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第8頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日說(shuō)明1：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必須滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣初始條件：2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿(mǎn)足狀態(tài)方程本身：說(shuō)明2：對(duì)于線性定常系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)本身。說(shuō)明3：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的物理意義：從時(shí)間角度看，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣使?fàn)顟B(tài)向量隨著時(shí)間的推移不斷地作坐標(biāo)變換，不斷地在狀態(tài)空間中作轉(zhuǎn)移，故稱(chēng)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第9頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)證明：推論：狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有可逆性第10頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明：

轉(zhuǎn)移至的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為證明：狀態(tài)轉(zhuǎn)移可以分段進(jìn)行！第11頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，求解：性質(zhì)4

性質(zhì)2第12頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明：證明：第13頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日證明：非奇異線性變換

非奇異矩陣另一組狀態(tài)變量新的系統(tǒng)矩陣新的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第14頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3、幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)（1）設(shè)，即A為對(duì)角陣且具有互異元素時(shí)，有第15頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）若A能通過(guò)非奇異變換為對(duì)角陣時(shí)，即第16頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則有

（3）設(shè)A為約旦陣，即第17頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日4、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算

直接求解法：根據(jù)定義

標(biāo)準(zhǔn)型法求解：對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

拉氏反變換法第18頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日求出的解不是解析形式，適合于計(jì)算機(jī)求解。1）根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義求解：對(duì)所有有限的t值來(lái)說(shuō)，這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)都是收斂的。第19頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：求解系統(tǒng)狀態(tài)方程解：第20頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2）標(biāo)準(zhǔn)型法求解：思路：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)：對(duì)A進(jìn)行非奇異線性變換，得到：得到：有二種標(biāo)準(zhǔn)形式：對(duì)角線矩陣、約旦矩陣第21頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日其中：P為使A化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣。（1）當(dāng)A的特征值為兩兩相異時(shí)：對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的步驟：

1）先求得A陣的特征值。

2）求對(duì)應(yīng)于的特征向量，并得到P陣及P的逆陣。

3）代入上式即可得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的值。第22頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日如果A為友矩陣，且有個(gè)互異實(shí)特征值第23頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解:1)特征值例：已知矩陣試計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第24頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2)計(jì)算特征向量：

3)構(gòu)造變換陣P：第25頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

則有：第26頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）當(dāng)A具有n重特征根：約旦標(biāo)準(zhǔn)型

其中：P為使A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異變換矩陣。求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的步驟：此時(shí)的步驟和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型情況相同：求特征值、特征向量和變換陣P。需要說(shuō)明的是：對(duì)于所有重特征值，構(gòu)造約當(dāng)塊，并和非重特征值一起構(gòu)成約當(dāng)矩陣。根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)，求得。第27頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例已知矩陣試計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解:1)特征值第28頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2)計(jì)算特征向量和廣義特征向量。第29頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日得：3)計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：第30頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第31頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3）用拉氏變換法求解：齊次狀態(tài)方程：初始狀態(tài)為：兩邊取拉氏變換得：整理得：拉氏反變換得：兩種方法的關(guān)系？第32頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日兩種方法的關(guān)系？狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第33頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例用拉氏反變換法計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：解：第34頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則有：第35頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：求以下矩陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[解]：

1）直接算法（略）第36頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2）用拉氏變換法求解：第37頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第38頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3）用標(biāo)準(zhǔn)型法求解：得：，具有互異特征根，用對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型法。且A為友矩陣先求特征值：第39頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第40頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解求一、積分法零初態(tài)響應(yīng)第41頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日初始時(shí)刻非零：第42頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、拉氏變換法拉氏反變換取拉氏變換第43頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日拉氏變換卷積定理第44頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程中試求解該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：積分法第45頁(yè)，共50頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第46頁(yè)，共5