2023高考全國2卷理科數(shù)學(xué)帶答案

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理科數(shù)學(xué)試題第1頁（共11頁）

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2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

本試卷共23題，共150分，共4頁。考試終止后，將本試卷和答題卡一并交回。

本卷須知：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫明白，將條形碼確鑿粘貼在

條形碼區(qū)域內(nèi)。

2．選擇題必需使用2B鉛筆填涂；非選擇題必需使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡明白。

3．請依照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必需用黑色字跡的簽字筆描黑。

5．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮

紙刀。

一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1．12i12i

+=-A．43i55--B．43i55-+C．34i55--D．34i55

-+2．已知集合22{(,)|3,,Axyxyxy=+≤∈∈ZZ}，則A中元素的個數(shù)為

A．9

B．8

C．5

D．4

3．函數(shù)2

ee()xx

fxx--=的圖象大致為

4．已知向量a，b滿足||1=a，1?=-ab，則(2)?-=aab

A．4

B．3

C．2

D．0

5．雙曲線2222

1(0,0)xyabab-=

A

．y=

B

．y=C

．y=D

．y=6．在ABC△

中，cos

2C=1BC=，5AC=，則AB=A

．B

C

D

．

理科數(shù)學(xué)試題第2頁（共11頁）

7．為計算11111123499100S=-+-++-，設(shè)計了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入

A．1ii=+

B．2ii=+

C．3ii=+

D．4ii=+

8．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和〞，如30723=+．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是

A．112

B．114

C．115

D．118

9．在長方體1111

ABCDABCD-中，1ABBC==，1AA1AD與1

DB所成角的余弦值為

A．15

B

C

D．2

10．若()cossinfxxx=-在[,]aa-是減函數(shù)，則a的最大值是A．π4B．π2C．3π4

D．π11．已知()fx是定義域為(,)-∞+∞的奇函數(shù)，滿足(1)(1)fxfx-=+．若(1)2f=，則(1)(2)(3)(50)ffff++++=

A．50-

B．0

C．2

D．50

12．已知1F，2F是橢圓22

221(0)xyCabab

+=

：的左，右焦點，A是C的左頂點，點P在過A的直線上，12PFF△為等腰三角形，12120FFP∠=?，則C的離心率為A．23B．12C．13

D．14

二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。

13．曲線2ln(1)yx=+在點(0,0)處的切線方程為__________．14．若,xy滿足約束條件250,230,50,xyxyx+-??-+??-?

≥≥≤則zxy=+的最大值為__________．

15．已知sincos1αβ+=，cossin0αβ+=，則sin()αβ+=__________．

理科數(shù)學(xué)試題第3頁（共11頁）

16．已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為78

，SA與圓錐底面所成角為45，若SAB△

的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________．

三、解答題：共70分。解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，

每個試題考生都必需作答。第22、23為選考題。考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17．（12分）

記nS為等差數(shù)列{}na的前n項和，已知17a=-，315S=-．

（1）求{}na的通項公式；

（2）求nS，并求nS的最小值．

18．（12分）

下圖是某地區(qū)2000年至2023年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖．

為了預(yù)計該地區(qū)2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2023年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2,,17）建立模型①：

?30.413.5y

t=-+；根據(jù)2023年至2023年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2,,7）建立模型②：?9917.5y

t=+．（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)計值；

（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)計值更可靠？并說明理由．

19．（12分）

設(shè)拋物線24Cyx=：的焦點為F，過F且斜率為(0)kk的直線l與C交于A，B兩點，||8AB=．

（1）求l的方程；

（2）求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

20．（12分）

理科數(shù)學(xué)試題第4頁（共11頁）

如圖，在三棱錐PABC-

中，ABBC==

4PAPBPCAC====，O為AC的中點．（1）證明：PO⊥平面ABC；

（2）若點M在棱BC上，且二面角MPAC--為30?，

求PC與平面PAM所成角的正弦值．

21．（12分）

已知函數(shù)2()exfxax=-．

（1）若1a=，證明：當(dāng)0x≥時，()1fx≥；

（2）若()fx在(0,)+∞只有一個零點，求a．

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假使多做，則按所做的第

一題計分。

22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為2cos,4sin,xθyθ=??=?（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為1cos,2sin,xtαytα=+??=+?

（t為參數(shù)）．（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率．

23．[選修4－5：不等式選講]（10分）

設(shè)函數(shù)()5|||2|fxxax=-+--．

（1）當(dāng)1a=時，求不等式()0fx≥的解集；

（2）若()1fx≤，求a的取值范圍．

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理科數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題

理科數(shù)學(xué)試題第5頁（共11頁）

1．D

2．A3．B4．B5．A6．A7．B8．C9．C10．A11．C12．D

二、填空題

13．2yx=

14．915．12-16

．

三、解答題

17．解：

（1）設(shè){}na的公差為d，由題意得13315ad+=-．

由17a=-得d=2．

所以{}na的通項公式為29nan=-．

（2）由（1）得228(4)16nSnnn=-=--．所以當(dāng)n=4時，nS取得最小值，最小值為?16．

18．解：

（1）利用模型①，該地區(qū)2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)計值為

?30.413.519226.1y

=-+?=(億元)．利用模型②，該地區(qū)2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)計值為

?9917.59256.5y

=+?=(億元)．（2）利用模型②得到的預(yù)計值更可靠．

理由如下：

（ⅰ）從折線圖可以看出，2000年至2023年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線

30.413.5yt=-+上下．

這說明利用2000年至2023年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢．2023年相對2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2023年至2023年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2023年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2023年至2023年的數(shù)據(jù)建立的線性模型?9917.5y

t=+可以較好地描述2023年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)計值更可靠．

（ⅱ）從計算結(jié)果看，相對于2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到

理科數(shù)學(xué)試題第6頁（共11頁）

的預(yù)計值226．1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)計值的增幅比較合理．說明利用模型②得到的預(yù)計值更可靠．

以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．

19．解：

（1）由題意得(1,0)F，l的方程為(1)(0)ykxk=-．

設(shè)1221(,),(,)AyxyxB，

由2(1),4ykxyx

=-??=?得2222(24)0kxkxk-++=．2

16160k?=+，故122224kxkx++=．所以1222

44||||||(1)(1)xkABAFBFkx+=+=+++=．由題設(shè)知22448kk

+=，解得1k=-（舍去），1k=．因此l的方程為1yx=-．

（2）由（1）得AB的中點坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為2(3)yx-=--，即5yx=-+．

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為00(,)xy，則

00220005,(1)(1)16.2

yxyxx=-+???-++=+??解得003,2xy=??=?或0011,6.xy=??=-?因此所求圓的方程為22(3)(2)16xy-+-=或22(11)(6)144xy-++=．

20．解：

（1）由于4APCPAC===，O為AC的中點，所以O(shè)PAC⊥

，且OP=連結(jié)OB

．由于2ABBCAC==

，所以ABC△為等腰直角三角形，且OBAC⊥，122

OBAC==．

理科數(shù)學(xué)試題第7頁（共11頁）

由222OPOBPB+=知POOB⊥．

由,OPOBOPAC⊥⊥知PO⊥平面ABC．

（2）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OBuuur的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz-．

由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),OBACPAP-=uuur取

平面PAC的法向量(2,0,0)OB=uuur．

設(shè)(,2,0)(02)Maaa-≤，則(,4,0)AMaa=-uuur．

設(shè)平面PAM的法向量為(,,)xyz=n．

由0,0APAM?=?=uuuruuurnn

得20(4)0

yaxay?+=??+-=??

，可取,)aa=--n，

所以cos,OB=

uuurn

．由已知得|cos,|OB=uuurn．

．解得4a=-（舍去），43

a=．

所以4()333=--n

．又(0,2,PC=-uuur

，所以cos,4

PC=uuurn．所以PC與平面PAM

所成角的正弦值為

4

．

理科數(shù)學(xué)試題第8頁（共11頁）

21．解：

（1）當(dāng)1a=時，()1fx≥等價于2(1)e10xx-+-≤．

設(shè)函數(shù)2()(1)e1xgxx-=+-，則22()(21)e(1)exxgxxxx--=--+=--．當(dāng)1x≠時，()0gx，所以()gx在(0,)+∞單調(diào)遞減．

而(0)0g=，故當(dāng)0x≥時，()0gx≤，即()1fx≥．

（2）設(shè)函數(shù)2()1exhxax-=-．

()fx在(0,)+∞只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)()hx在(0,)+∞只有一個零點．（i）當(dāng)0a≤時，()0hx，()hx沒有零點；

（ii）當(dāng)0a時，()(2)exhxaxx-=-．

當(dāng)(0,2)x∈時，()0hx；當(dāng)(2,)x∈+∞時，()0hx．

所以()hx在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,)+∞單調(diào)遞增．故24(2)1e

ah=-是()hx在[0,)+∞的最小值．

理科數(shù)學(xué)試題第9頁（共11頁）

①若(2)0h，即2

e4

a，()hx在(0,)+∞沒有零點；②若(2)0h=，即2

e4

a=，()hx在(0,)+∞只有一個零點；③若(2)0h，即2

e4

a，由于(0)1h=，所以()hx在(0,2)有一個零點，由（1）知，當(dāng)0x時，2exx，所以

33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa

=-=--=-．故()hx在(2,4)a有一個零點，因此()hx在(0,)+∞有兩個零點．

綜上，()fx在(0,)+∞只有一個零點時，2

e4

a=．22．．解：

（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為22

1416

xy+=．當(dāng)cos0α≠時，l的直角坐標(biāo)方程為tan2tanyxαα=?+-，當(dāng)cos0α=時，l的直角坐標(biāo)方程為1x=．

（2）將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程22(13cos)4(2cossin)80ttααα+++-=．①

由于曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為1t，2t，則120tt+=．又由①得1224(2cossin)13costtααα

++=-+，故2cossin0αα+=，于是直線l的斜率tan2kα==-．

23．解：

（1）當(dāng)1a=時，24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx+≤-??=-≤??-+?

理科數(shù)學(xué)試題第10頁（共11頁）

可得()0fx≥的解集為{|23}xx-≤≤．

（2）()1fx≤等價于|||2|4xax++-≥．

而|||2||2|xaxa++-≥+，且當(dāng)2x=時等號成立．故()1fx≤等價于|2|4a+≥．由|2|4a+≥可得6a≤-或2a≥，所以a的取值范圍是(,6][2,)-∞-+∞．

21（12分）

已知函數(shù)2()exfxax=