數(shù)學建模習題解答 楊啟帆

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第一章第5題

一個男孩和一個女孩分別在離家2km和1km且方向相反的兩所學校里上學，每天同時放學后分別以2km/h和1km/h的速度步行回家。一只小狗以6km/h的速度由男孩奔向女孩，又從女孩處跑向跑回男孩處，如此來回的奔跑，直至回到家中。問小狗總共奔波了多少路程？

解：由于男孩、女孩與小狗跑的時間一樣，所以把時間設為t，則有2t+1t=3，得到t=1h。所以小狗跑了6km/h*1h=6km。第一章10題

一位探險家必需穿過一片寬度為800km的沙漠，他僅有的交通工具是一輛每升汽油可行駛10km的吉普車．吉普車的油箱可裝10升汽油。另外吉普車上可攜帶8個可裝5升汽油的油桶，也就是說，吉普車最多可帶50升汽油(最多能在沙漠中連續(xù)行駛500km)。現(xiàn)假定在探險家出發(fā)地的汽油是無限充足的．問這位保險家應怎樣設計他的旅行才能通過此沙漠？他要通過沙漠所需的汽油最少是多少升？為了穿越這片800km寬的沙漠，他總共需要行駛多少公里路程?？偣惨ㄙM多少升的汽油?思路：

1、若沙漠只有500公里或者更短，這時很簡單，一次搞定。

2、若沙漠有550km，怎么辦？需要保證的是：車到了離沙漠終點還有500km的地方，能恰恰加滿油且不會有多余。方案可為：600-550＝50，從起點處加5*3(升)＝15升油，開出50km，設一加油站，存下5升，剩下5升剛好使得汽車返回起點。再在起點處加滿50升油，到加油站時，只乘45升了，把存放在那兒的5升油加上。則可跑出沙漠。（這樣共加油15＋50＝65，總路程為150+500＝650km）

3、再看2的狀況，符合這種狀況的沙漠的最大距離是多少呢：答案是500*（1+1/3）公里。即在起點準備100升油，第一次裝50升，跑了500/3公里后存放50*1/3升油，然后返回起點，這時車里的油也正好用完，然后再在起點處裝50升，跑了550/3公里后，車內(nèi)剩下（50*2/3）升油，再加上存放的50*1/3升油，恰好為50升油，則可跑出沙漠。

4。當沙漠的距離超過了500*（1+1/3）km（但又超過得不多）又當如何？這時我們可以把前面的500*（1+1/3）km看成一段整體，需要保證的是：在距離沙漠終點500*（1+1/3）km處恰恰有100升油（由3的分析可知）。怎么來保證呢，我們假設沙漠的距離只比500*（1+1/3）多了1公里，由于汽車的容量是50升，所以100升油最少從起點運3次油才能滿足。除了3次裝油，還有兩次折回，所以來回正好有5次，這5次能保證的距離是500/5，所以這時我們又把沙漠的距離延伸到了：500*（1+1/3+1/5），起點應當儲存150升油。

5。當沙漠的距離超過了500*（1+1/3+1/5）km，要保證在距離沙漠終點500*（1+1/3+1/5）km的地方有150升油。

綜上所述：總有某一個值k,使得

fdis=500*（1+1/3+1/5+…+1/(2k-1)）800，應當在起點準備多少油呢？這時多了一小段出來，按情形2的分析，在起點準備的油應當是：（(800-fdis)/油耗）*來回次數(shù)+k*50。

經(jīng)計算：fdis=766.66,k=3,故應準備的油應為：（(800–766.66)/10）*7+3*50＝173.338。第一章11題

假使你有一個3L的桶和5L的桶，問如何才能確鑿地稱出4L的水？假使你要的不是4L而是別的數(shù)量，你又該怎么辦？

解：確鑿稱出4L水的方法：先把3L的桶裝滿水，倒入5L的桶中，再把3L的桶裝滿，

又倒入5L的桶中直到倒?jié)M，此時3L的桶中還剩下1L；再將5L桶中的水倒掉，將3L桶中剩下的1L倒入5L桶中，再用3L桶裝滿水倒入5L桶中即可得到4L水。

設y（y?[0,8]）表示要的任意L的水，a表示得到y(tǒng)L水所要用到3L桶的次數(shù)，b表示得到y(tǒng)L水所要用到5L桶的次數(shù)。則可以得到如下模型：

y?3a?5b，a，b為整數(shù)。

例如1、y=1L時，a=2，b=-1，表示3L的桶用了兩次裝滿，5L的桶用3L桶中的水裝滿一次并且倒掉。

2、y=2L時，a=-1，b=1。3、y=3L時，a=1，b=0。

4、y=4L時，a=3，b=-1，表示3L的桶用了三次裝滿，5L的桶用3L桶中的水裝滿一次并且倒掉。

5、y=5L時，a=0，b=1。6、y=6L時，a=2，b=0。（注，此時5L的桶有用來中間存貯）7、y=7L時，a=-1，b=2。8、y=8L時，a=1，b=1。

第一章第13題

其次章1題

第i個前初的兔子對數(shù)為fi

f0?1,f1?1，f2?f0?f1?2，f3?f2?f1?3，f4?f2?f3?5f5?f4?f3?8，f6?f4?f5?13，f7?f6?f5?21，f8?f6?f7?34

f9?f8?f7?55，f10?f8?f9?89，f11?f10?f9?144（對）

（理解：第i個月的兔子=第i-1個月的兔子+第i-2個月的兔子，fi?fi?1?fi?2）其次章2題

這相當于一根棒的兩端甲A，乙B，設初始位置甲A(0,0),棒長為R,乙的初始坐標為（D,0）,順時針運動，設甲的切向速度為v1,乙的徑向速度為v2,則有轉速w=v1/R,設x軸正方向單位向量為i,y正方向為j,則有乙的合速度為

v1*(i*cos(wt)+j*sin(wt))+V2*(j*cos（wt）-isin(wt)），即有乙坐標的參數(shù)方程為

x=D+[V1*cos(wt)-v2*sin（wt）]*ty=[V1*sin(wt)+v2*cos（wt）]*t,這就是乙的運動路線了

其次章3題最小二乘法

設y?ax?b，讓總偏差最小，總偏差記為?，?????y??ax?b???iii?1162，要求?達到最小

16??16??2?yi??axi?b??????xi???2???yi??axi?b????xi?0?ai?1?i?1??16??2?yi??axi?b???0???bi?1

a?16?yixi??yi?xi16??xi???yi?xii?1i?1i?1i?1162i?116i?116161616，b??xi?yixi??yi??xi?i?1i?1i?1i?1161616162??2x?16x???i??i?i?1?i?1?16216

?yxi?116ii?12584?12325?12848?13377?13708?13950?14229?14630?14880?15288?

15299?15168?15582?15840?16200?16728?232566??x?ii?1162?20449?21025?21316?21609?22201?22500?23409?23716?24025?2433624649?25281?25600?26244?26896?378220a?16?232566?2458?151116?378220??2458?2?0.7194

b?2458?232566?378220?1511?2458?2?16?378220??16.073

y?0.7194x?16.073

數(shù)學建模2.10

將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，桌子四條腿的連線呈長方形，不允許將

桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉，是否總能設法使其四條腿同時落地？若桌子四條腿共圓，結果又如何？解：對于此題，假使不用任何假設很難證明，結果很可能是否定的。因此對于問題一和問題三我們都這樣假設（1）地面為連續(xù)曲面

（2）方桌的四條腿長度一致

（3）相對于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的（4）方桌的腿只要有一點接觸地面就算著地。

那么，總可以讓桌子的三條腿是同時接觸到地面。問題一

現(xiàn)在，我們來證明：假使上述假設條件成立，那么答案是確定的。以長方桌的中心為坐標原點作直角坐標系如下圖，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、B,C、D的初始位置在與x軸平行，再假設有一條在x軸上的線ab,則ab也與A、B，C、D平行。當方桌繞中心0旋轉時，對角線ab與x軸的夾角記為?。

簡單看出，當四條腿尚未全部著地時，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令

f(?)為A、B離地距離之和，g(?)為C、D離地距

離之和，它們的值由?唯一確定。由假設（1），f(?),g(?)均為?的連續(xù)函數(shù)。又由假設（3），三條腿總能同時著地，故f(?)g(?)=0必成立（??）。不妨設

f(0)?0,g(0)?0g（若g(0)也為0，則初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉），

于是問題歸結為：

已知f(?),g(?)均為?的連續(xù)函數(shù)，f(0)?0,g(0)?0且對任意?有

f(?0)g(?0)?0，求證存在某一?0，使f(?0)g(?0)?0。

g(?)?0。??f()?()g??證明：當θ=π時，AB與CD互換位置，故f(?)?0，作h()，

顯然，h(?)也是?的連續(xù)函數(shù)，h(0)?f(0)?g(0)?0而h(?)?f(?)?g(?)?0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在?0，0??0??，使得h(?0)?0，即f(?0)?g(?0)。又由于f(?0)g(?0)?0，故必有f(?0)?g(?0)?0，證畢。

問題二

現(xiàn)在，我們來證明：假使上述假設條件成立，那么答案是確定的。以圓桌的中心為坐標原點作直角坐標系如下圖，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、C的初始位置在y軸上，而B、D則在y軸上。當方桌繞中心0旋轉時，B、D與x軸的夾角記為?。

簡單看出，當四條腿尚未全部著地時，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，我們令f'(?0)為A、C離地距離之

g'(?)為B、和，D離地距離之和，它們的值由?唯一確定。由假設（1），f('?)0,g'(?)均為?的連續(xù)函數(shù)。又由假設（3），三條腿總能同時著地，故f'(?0)g(?)=0必成立（??）。不妨設f'(0)?0,g'(0)?0g（若g'(0)也為0，則初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉），于是問題歸結為：

已知f'(?0),g'(?)均為?的連續(xù)函數(shù)，f'(0)?0,g'(0)?0且對任意?有

f'(?0)g'(?0)?0，求證存在某一?0，使f'(?0)g'(?0)?0。

證明：當θ=

???π時，AC與BD互換位置，故f'()?0，g'()?0。作

222h'(?)?f'(??)g?'(，)顯然，h'(?)也是?的連續(xù)函數(shù)，h'(0)?f'(0)?g'(0)?0而h'()?f'()?g'()?0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在?0，0??0?，使得

2222????即f'(?0)?g'(?0)。又由于f'(?0)g'(?0)?0，故必有f'(?0)?g'(?0)?0，h'(?0)?0，證畢。

其次章第11題

一輛汽車停于A處并垂直于AB方向，此汽車可轉的最小圓半徑為R，求不倒車而A到B的最短路徑.(1)|AB|>2R,要求汽車到達B點時停車方向與在A點時的方向一致。（2）|AB|>=2R,汽車到達B點時停車方向與A點時的方向相反。解：

(1)若|AB|>2R，且汽車要求到達B點時方向與在A點時方向一致

(2)若|AB|>=2R且要求汽車到達B點時方向與A點時方向相反

分別以半徑R作過A點的圓O,作過B點的圓O,再作兩圓公切線CD則

當CD為0，即AB=2R時，距離最短

第三章其次題

大氣壓強P可用對海拔高度H的變化率dp/dh與p成正比來建模，且位于海平面的壓強為1013mbar，位于海拔高度20km的壓強為90mbar。1.解初值問題

微分方程dp/dh=kp

初值條件p=p0,h=0

得到通過h表示p的表達式，根據(jù)海拔-壓強的給定數(shù)據(jù)確定p0和k的值。

2.在海拔高度h=50km處大氣壓強是多少？3.在海拔高度是多少公里處大氣壓強等于900mbar？解：1dp/dh=kpdp/p=kdh

lnp=kh+c

根據(jù)題意解得：

C=6.9206，k=-0.1215Lnp=-0.1215*h+6.9206

(2)當h=50時，解得p=2.329。（3）當p=900時，h=0.97KM。

第三章第3題

3..在某化學反應中，物質(zhì)的數(shù)量隨著時間的改變率與其當前的數(shù)量成正比。例如，δ-糖蛋白內(nèi)酯變成葡萄糖酸，當時間t以小時為單位時，化學反應方程式是

dy??0.6ydt

假使當t=0時，有δ-糖蛋白內(nèi)酯100g，那么一小時后還剩下多少？

解:假設δ-糖蛋白內(nèi)酯可以全部轉變成葡萄糖酸，y為當前δ-糖蛋白內(nèi)酯的量（y?0），t為時間，由題意：

dy??0.6ydt

dy??0.6dty兩邊積分，得lny??0.6t?c

y?e?0.6t?c

?0.6t?cy?e因此，

由t=0時，y=100得出c=ln100

?0.6t?ln100y?e則，

所以，當t=1時，則

y?e?0.6?ln100?100e?0.6

即一小時后還剩下δ-糖蛋白內(nèi)酯100e?0.6g。

第三章13題

為了勉勵購買100（單位）某貨物的買主，商家銷售部門用連續(xù)打折的方法促銷，以購貨數(shù)量x（單位）決定所售貨物的單價p(x)（即單價p(x)是購貨數(shù)量的函數(shù)）。假定折扣降價速率為每單位降價0.01美元，又假設購買100（單位）該貨物的單價是p(100)?20.09美元。

（1）通過解如下問題求p(x)：

微分方程：

dp1??pdx100初值條件：p(100)?20.09

（2）求10（單位）該貨物的單價p(10)和90（單位）的單價p(90)。

（3）商家的收入是用r(x)?xp(x)來計算的。假使銷售部門問你：這樣打折扣是否會出現(xiàn)如下狀況，即售出100（單位）的貨物的收入比售出90（單位）貨物的

收入還要少，你會怎么回復他們。

（4）試證明：當x?100時商家的收入r達到最大。

解答：（1）由微分方程可得方程為p(x)?ce所以求得方程為p(x)=54.61e?x100?x100，再由初值條件，可得c?54.61。

。

（2）當為10單位時，即x=10,所以p(10)=

54.61e110；當為90單位時，p(90)=

54.61e910。

（3）當售出90（單位）時r(90)=90p(90)=90

54.61e910;

當售出100（單位）時p(100)=100p(100)=100

54.61e110。

由計算可知，r(90)?r(100)。所以不會出現(xiàn)售出100（單位）的貨物的收入比

售出90（單位）貨物的收入還要少的狀況。

我的回復：不會出現(xiàn)售出100（單位）的貨物的收入比售出90（單位）貨物的收入還要少的狀況，但是即使會有這樣的狀況，這樣雖然從某種意義上來看，我們公司在當售出100（單位）的貨物相對于售出90（單位）貨物要賺的少，有損于我公司，但是我們的促銷方法便是如此，商家以誠信為本，我們不會由于有這樣的狀況來改變我們的促銷方式，來欺騙各位商家銷售部門。

（4）令r'(x)?54.61e?x100?x54.61100?xe?0，解得x=100；100?x?x54.6110054.6110054.61?1e?xe??e?0，故當再將x=100代入r''(x)得r''(x)??5010000100x=100時r(x)取到最大值，即r(100)=100

54.61e110=4941.3171399778。

第五章1題

模型假設：某工廠每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x個，B產(chǎn)品y個，獲利為z元。模型建立：

maxz?0.3?x?0.15?y

?0?x?600??0?y?1200?x?y?1000?模型求解：得到結果??x?600，z?0.3?600?0.15?400?240

?y?400結論：該廠應當生產(chǎn)A產(chǎn)品600件，每天生產(chǎn)B產(chǎn)品400個才能得到最大的利潤，最大的利潤為240元。數(shù)學建模參考答案與評分標準

1.請簡述數(shù)學建模的一般步驟。

答：建立數(shù)學模型的過程大致可以分為以下幾個步驟：（1）了解問題背景。（2）提出合理的假設。（3）建立數(shù)學模型。（4）模型的求解。

（5）模型的分析與檢驗。（6）模型的應用

數(shù)學建模的流程圖為：

2.取一根很長的繩子，它的長度恰好能緊貼地球（假設地球為一數(shù)學意義上嚴格的的球體）表面繞赤道一周。假使把繩子再接長15米，將其懸在空中繞赤道一周（即繩子上的每一點到地面的距離均相等），問：2.26米的姚明是否可以從繩子的下方自由地直立行走？

答：初看好像不可以，地球這么大，半徑6000多公里，你現(xiàn)在的繩子只多了15米而已，不可能讓繩子懸空2米多的！但假使認真分析，其實是完全可以的！

由于H=15/2PI≈2.39米大于2.26米。

3.將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉，問是否總能設法使其四條腿同時落地？

答：假設

（1）地面為連續(xù)曲面

（2）方桌的四條腿長度