2023高考廣東數(shù)學(xué)理科試卷含詳細(xì)解答(全word版)

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如題!

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）(理科)全解析

廣東佛山南海區(qū)南海中學(xué)錢耀周

一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，總分值40分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．

1

．已知0a2，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a，虛部為1

，則z的取值范圍是（C）A．(1，5)z

B．(1，3)

C．(1D．a(chǎn)21，而0a2，即1a215，1z5

2．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1A．16

B．24

C．36

1

，S420，則S6（D）2

D．48

S426d20，d3，故S6315d48

3．某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表1．已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到二年級(jí)女生的概率是0.19．現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（C）

A．24B．18C．16D．12表1

依題意我們知道二年級(jí)的女生有380人，那么三年級(jí)的學(xué)生的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是500，即總體中各個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例為3:3:2，故在分層抽樣中應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為64

2

168

2xy≤40，

x2y≤50，

4．若變量x，y滿足則z3x2y的最大值是（C）

x≥0，y≥0，

A．90B．80C．70D．40畫出可行域,利用角點(diǎn)法易得答案C.5．將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示A，B，C分別是△GHI三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（A）

G

側(cè)視D

圖1

E

圖2B

E

A．

B．EDE

C．

E

D．

解題時(shí)在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A.

6．已知命題p:所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題q:正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則以下命題中為真命題的是（D）

A．(p)q

B．pq

C．(p)(q)

D．(p)(q)

不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題，從而上述表達(dá)中只有(p)(q)為真命題

如題!

7．設(shè)aR，若函數(shù)ye3x，xR有大于零的極值點(diǎn)，則（B）A．a(chǎn)3

B．a(chǎn)3

ax

ax

C．a(chǎn)

13

D．a(chǎn)

ax

13

f'(x)3ae，若函數(shù)在xR上有大于零的極值點(diǎn)，即f'(x)3ae0有正根。當(dāng)有

f'(x)3aeax0成立時(shí),顯然有a0,此時(shí)x

為a3.

13

由x0我們馬上就能得到參數(shù)a的范圍ln()，

aa

8．在平行四邊形ABCD中，若AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F．

ACa，BDb，則AF（B）

12

b

33

此題屬于中檔題.解題關(guān)鍵是利用平面幾何知識(shí)得出DF:FC1:2,然后利用向量的加減法則易

A．

B．

C．

D．a(chǎn)

得答案B.

二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每題5分，總分值30分．（一）必做題（9~12題）

9．閱讀圖3的程序框圖，若輸入m4，n6，則輸出a，i

（注：框圖中的賦值符號(hào)“〞也可以寫成“〞或“:〞）要終止程序的運(yùn)算，就必需通過(guò)n整除a的條件運(yùn)算，而同時(shí)m也整除a，那么a的最小值應(yīng)為m和n的最小公倍

數(shù)12，即此時(shí)有i3。10．已知(1kx)（k是正整數(shù)）的展開(kāi)式中，x的系數(shù)小于120，則k．

(1kx)按二項(xiàng)式定理展開(kāi)的通項(xiàng)為Tr1C(kx)Ckx844

我們知道x的系數(shù)為C6k15k，即15k120，也即k8，

4

4

4

11ab4221

ab3311

ab24

268

26

r

6

2r

r6

r2r

圖3

而k是正整數(shù)，故k只能取1。

11．經(jīng)過(guò)圓x2xy0的圓心C，且與直線xy0垂直的直線方程是．

易知點(diǎn)C為(1,0)，而直線與xy0垂直，我們?cè)O(shè)待求的直線的方程為yxb，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入馬上就能求出參數(shù)b的值為b1，故待求的直線的方程為xy10。

2

2

12．已知函數(shù)f(x)(sinxcosx)sinx，xR，則f(x)的最小正周期是f(x)sinxsinxcosx

2

1cos2x12

sin2x,此時(shí)可得函數(shù)的最小正周期T。222

如題!

二、選做題（13—15題，考生只能從中選做兩題）

13．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為cos3，

4cos≥0，0≤，則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為

2

cos3

(0,0)

解得我們通過(guò)聯(lián)立解方程組,即兩曲線的交點(diǎn)為)。4cos26

6

14．（不等式選講選做題）已知aR，若關(guān)于x的方程xxa是．方程即a

2

π

1

a0有實(shí)根，則a的取值范圍4

11

ax2x[0,],利用絕對(duì)值的幾何意義(或零點(diǎn)分段法進(jìn)行求解)可得實(shí)數(shù)a44

的取值范圍為0,4

15．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA2．AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB1，則圓O的半徑R．依題意，

我們知道PBAPAC,由相像三角形的性質(zhì)我們有

1

PAPB

,即

2RAB

PAAB2R

2PB21

三、解答題：本大題共6小題，總分值80分．解答須寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

16．（本小題總分值13分）

已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0π)，xR的最大值是1，其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M．

π1

32

（1）求f(x)的解析式；（2）已知，0，且f()（1）依題意有A1，則f(x)將點(diǎn)M(sin(x)，

π2

312，f()，求f()的值．513

1

1

而0，,)代入得sin()，

3232

5

，，故f(x)sin(x)

cosx；3622

（2）依題意有cos

45312

,cos，而,(0,)，sin,sin，

5135132

3124556。f()cos()coscossinsin

51351365

17．（本小題總分值13分）

隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品

如題!

4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為．

（1）求的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即的數(shù)學(xué)期望）；

（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%．假使此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？的所有可能取值有6，2，1，-2；P(6)

12650

0.63，P(2)0.25202300

P(1)

204

0.1，P(2)0.02202300

故的分布列為：

（2）E60.6320.2510.1(2)0.024.34（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

E(x)60.72(10.70.01x)(2)0.014.76x(0x0.29)

依題意，E(x)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03所以三等品率最多為3%18．（本小題總分值14分）

x2y22

設(shè)b0，橢圓方程為221，拋物線方程為x8(yb)．如圖4所示，過(guò)點(diǎn)F(0，b2)作

2bb

x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F1．

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設(shè)A，B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角（1）由x8(yb)得y

2

12

xb，8

當(dāng)yb2得x4，G點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,b2)，y'

1

x，y'|x414

圖4

過(guò)點(diǎn)G的切線方程為y(b2)x4即yxb2，

令y0得x2b，F(xiàn)1點(diǎn)的坐標(biāo)為(2b,0)，由橢圓方程得F1點(diǎn)的坐標(biāo)為(b,0)，

x2

2bb即b1，即橢圓和拋物線的方程分別為y21和x28(y1)；

2

（2）過(guò)A作x軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P,以PAB為直角的RtABP只有一個(gè)，同理以PBA為直角的RtABP只有一個(gè)。

如題!

若以APB為直角，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,

2

x1)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(和，8

11452PAPBx22(x21)2xx1

0。

8644

2

關(guān)于x的二次方程有一大于零的解，x有兩解，即以APB為直角的RtABP有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得ABP為直角三角形。

19．（本小題總分值14分）

1

，x1

設(shè)kR，函數(shù)f(x)1x，F(xiàn)(x)f(x)kx，xR，試探討函數(shù)F(x)的單調(diào)性．

x≥1

1

kx,

F(x)f(x)kx1x

kx,

對(duì)于F(x)

1

k,2x1,(1x)

F'(x)

k,x1,

x1,

x1,

1

kx(

x1)，1x

當(dāng)

k0時(shí)，函數(shù)F(x)在(,1)上是增函數(shù)；

當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)F(x)在(,1上是減函數(shù)，在(1上是增函數(shù)；對(duì)于F(x)k(x1)，

當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)F(x)在1,上是減函數(shù)；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)F(x)在1,1

11

上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。1,224k4k

20．（本小題總分值14分）

如圖5所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，

ABD60，BDC45，PD垂直底面ABCD，PD，E，F(xiàn)分別是PB，CD上的點(diǎn)，

PEDF

，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交PC于G．

EBFC

（1）求BD與平面ABP所成角

的正弦值；（2）證明：△EFG是直角三角形；

PE1

（3）當(dāng)時(shí)，求△EFG的面積．

EB2

且

（1）在RtBAD中，ABD60，ABR,AD

P

圖5

而PD垂直底面ABCD，PA

如題!

PB,

在PAB中，PA2AB2PB2,即PAB為以PAB為直角的直角三角形。設(shè)點(diǎn)D到面PAB的距離為

H,由VPABDVD

PAB有PAABHABADPD,即

H

ADPDHsin;PABDPEPGPEDFPGDF

,而,即,GF//PD,GFBC，

EBGCEBFCGCDC

GFEG,EFG是直角三角形；

PE1EGPE1GFCF2（3）

時(shí),,

EB2

BCPB3PDCD3

(2)EG//BC,即EG

1122

BC2Rcos45R,

GFPDR,333333

114

EGGFRRR2229

EFG的面積SEFG

21．（本小題總分值12分）

設(shè)p，q為實(shí)數(shù)，，是方程xpxq0的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列{xn}滿足x1p，x2pq，

22

xnpxn1qxn2（n3，）．（1）證明：p，q；（2）求數(shù)列

{xn}的通項(xiàng)公式；

4，

（3）若p1，q

1

，求{xn}的前n項(xiàng)和Sn．4

（1）由求根公式，不妨設(shè)

，得

p，q

stp

（2）設(shè)xnsxn1t(xn1sxn2)，則xn(st)xn1stxn2，由xnpxn1qxn2得，

stq

消去t，得spsq0，s是方程xpxq0的根，由題意可知，s1,s2①當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組

2

2

s1s2stp

或的解記為ttstq12

xnxn1(xn1xn2),xnxn1(xn1xn2),

即xnt1xn1、xnt2xn1分別是公比為s1、s2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得xnxn1(x2x1)

n2

,xnxn1(x2x1)

n2

,

如題!

兩式相減，得()xn1(x2x1)

n2

(x2x1)n2

x2p2q,x1p，x222，x1

(x2x1)n22n2n，(x2x1)n22n2n

n