42不定積分基本公式和運算法則直接積分法

·復習1原函數的定義。2不定積分的定義.3不定積分的性質。4不定積分的幾何意義.·引入在不定積分的定義、性質以及基本公式的基礎上,我們進一步來議論不定積分的計算問題，不定積分的計算方法主要有三種：直接積分法、換元積分法和分部積分法?！ぶv解新課第二節(jié)不定積分的基本公式和運算直接積分法一基本積分公式因為求不定積分的運算是求導運算的逆運算，所以有導數的基本公式相應地能夠獲得積分的基本公式以下：12345678

導數公式(kx)k12(x)x1(x)x21(lnx)xx1x()1(ex)ex(ax)axlna(sinx)cosx

微分公式d(kx)kdxd(1x2)xdx211d(x)x2dxd(lnx)1dxxd(x1xdx)1d(ex)exdxd(ax)axdxlnad(sinx)cosxdx

積分公式kdxkxC（k0）xdx1x2C212dx1Cxx1lnxCdxxxdxx1C(1）1exdxexCaxdxaxClnacosxdxsinxC9

(cosx)sinxd(cosx)sinxdx

sinxdxcosxC1102212(tanx)secxdxd(tanx)secxdxdxtanxC2secxdxcosx11(cotx)csc2x21xdxcsc2xdxcotxCd(cotx)cscxdxsin212(secx)secxtanxd(secx)secxtanxdxsecxtanxdxsecxC13(csc)xcscxcotxd(csc)xcscxcotxdxcscxcotxdxcscxC14(arctanx)12d(arctanx)12dx12dxarctanxCxx1x1115(arcsinx)1d(arcsinx)1dx1dxarcsinxC1x2x211x2以上十五個公式是求不定積分的基礎，一定熟記，不單要記右端的結果，還要熟習左端被積函數的的形式。求函數的不定積分的方法叫積分法。例1。求以下不定積分。（1）1dx（2)xxdxx2解：（1）12dx＝x2dxx21C1Cx21x（2）xxdx＝352x2Cx2dx5此例表示，對某些分式或根式函數求不定積分時,可先把它們化為x的形式，而后應用冪函數的積分公式求積分。二不定積分的基本運算法例法例1兩個函數代數和的積分，等于各函數積分的代數和，即[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx法例1關于有限多個函數的和也建立的．2法例2被積函數中不為零的常數因子可提到積分號外，即kf(x)dxkf(x)dx（k0）例2求(2x31ex)dx解(2x31ex)dx=2x3dx+dx—exdx=1x4xexC。2注此中每一項的不定積分固然都應該有一個積分常數，可是這里其實不需要在每一項后邊加上一個積分常數，因為隨意常數之和還是隨意常數，所以這里只把它的和C寫在末端，此后仿此。注查驗解放的結果能否正確，只把結果求導,看它的導數能否等于被積函數就行了.如上例因為(1x4xexC)=2x31ex，所以結果2是正確的。三直接積分法在求積分的問題中,能夠直接按基本積分公式和兩個基天性質求出結果（如上例）但有時,被積函數常需要經過適合的恒等變形（包含代數和三角的恒等變形)再利用積分的性質和公式求出結果，這樣的積分方法叫直接積分法.例3求以下不定積分。(1）(x1)(x1)dx（2）x21xx21dx解：（1）第一把被積函數(x1)(x1)化為和式,而后再逐項積x3分得(x1)dx(xxx111)(x)dxxxxxdxxdx51x22x2x2x52

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dx1dxx。注:（1）求函數的不定積分時積分常數C不可以扔掉，不然就會出現概念性的錯誤。（2)等式右端的每個不定積分都有一個積分常數,因為有限個隨意常數的代數和還是一個常數，所以只需在結果中寫一個積分常數C即可。查驗積分計算能否正確，只需對積分結果求導，看它能否等于被積函數。若相等,積分結果是正確的,不然是錯誤的。（2）x21x212(12)dx2dxx2dxx2x111dx2dxx2arctanxC。x21上例的解題思路是想法化被積函數為和式，而后再逐項積分，是一種重要的解題方法，須掌握。x33x22x42x21x42dx。練習1x2dx，222dx，31xx(x1)答案11x23x2ln|x|4C，2arctanx1C，2xx31x3xarctanxC3例4求以下不定積分。（1）tan2xdx(2）sin2xdx24解:（1）tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdxtanxxC（2）sin2xdx1cosxdx1x1sinxC2222上例的解題思路也是想法化被積函數為和式，而后再逐項積分,可是它實現化和是利用三角式的恒等變換。練習1cot2xdx2cos2xdx3cos2xdx1(x2cosx-sinx答案1cotxxC2sinx)C23sinx-cosxC例5設f2x2x,求.(sin)cosf(x)解：因為f(sin2x)cos2x1sin2x，所以f(x)1x，故知f(x)是1x的原函數,所以f(x)(1x)dxxx2C．2小結基本積分公式，不定積分的性質,直接積分法。練習求以下不定積分。（1）(12)dx（2）(12)dx，2sinx2xsin2xxcos（3）(t1)2dt，（4）(232)dt,（5)(6xx6)dx，t1t21t（6）x41cotx)dx，（cos2x，1dx，（7）csc(cscx8)sin2xdxx25tt2dt,（10）(tan2xxx2ex(9)(cossin)1)dx,(11）e(3)dx。221x2答案1x2cosx2ln|x|C，2tanx-cotxC,31t22tln|t|C，42arcsint3arctanC，256x1x7C，61x3xC，ln6737cotxcscxC,8cotx2C，9tcostC，10tanx2xC，11(3e)x2arc