正弦定理教案全

本文格式為Word版，下載可任意編輯——正弦定理教案全1.1.1正弦定理

教學(xué)要求：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的摸索，把握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題.

教學(xué)重點：正弦定理的摸索和證明及其基本應(yīng)用.

教學(xué)難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù).教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系？是否可以把邊、角關(guān)系確鑿量化？

2.在?ABC中，角A、B、C的正弦對邊分別是a,b,c，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？

結(jié)論★：。

二、講授新課：

探究一：在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對角的正弦的關(guān)系嗎？

直角三角形中的正弦定理：sinA=

acsinB=

bcsinC=1即

c=

abc.??sinAsinBsinC探究二：能否推廣到斜三角形？（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）

當?ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)三角函

ab.同理，a?c?sinAsinCsinAsinB考如何作高？），從而a?b?c.

sinAsinBsinC數(shù)的定義，有CD?asinB?bsinA,則

（思

探究三：你能用其他方法證明嗎？1．證明一：（等積法）在任意斜△ABCCabOBD當中

S△ABC=1absinC?1acsinB?1bcsinA.

222兩邊同除以1abc即得：

2a=b=csinAsinBsinC.

Ac1

2．證明二：（外接圓法）如下圖，∠A＝∠D，∴同理

b=2R，csinBsinCaa??CD?2R，

sinAsinD＝2R.

3．證明三：（向量法）過A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB邊

同乘以單位向量j得…..

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

asinA?bsinB?csinC=2R

[理解定理]1公式的變形：

(1)a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC(2)sinA?

abc,sinB?,sinC?,2R2R2R

2.正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?bsinA；

sinB(4)(3)a:b:c?sinA:sinB:sinCabaccb?,?,?sinAsinBsinAsinCsinCsinB②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?asinB。

b一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.

3.利用正弦定理解三角形使,經(jīng)常用到:

①A?B?C??②sin(A?B)?sinC,cos(A?B)?sinC③S?abc?absinC三、教學(xué)例題：

12例1已知在?ABC中，c?10,A?45,C?30,求a,b和B.

00分析已知條件→探討如何利用邊角關(guān)系→示范格

2

式→小結(jié)：已知兩角一邊解：?c?10,A?45,C?30

00∴B?1800?(A?C)?1050

accsinA10?sin450???102由得a?0sinAsinCsinCsin30bccsinB10?sin1050?由得b???20sin750?56?520sinBsinCsinCsin30評述：此類問題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易把握，假使已知兩角和兩角所夾的邊，也是先利用內(nèi)角和180°求出第三角，再利用正弦定理.

例2?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C

accsinA6?sin4503解：??,?sinC???sinAsinCa220??C?180?,?C?600或1200

csinB6sin750?當C?60時，B?75,b???3?1，0sinCsin6000csinB6sin150?當C?120時，B?15,b???3?10sinCsin6000?b?3?1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

練習(xí)：P4——1.2題例3在?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C

bccsinB1?sin6001解：∵?,?sinC???

sinBsinCb23?b?c,B?600,?C?B,C為銳角，?C?300,B?900

∴a?

b2?c2?2

3

?ABC中，a?四、小結(jié)：

五、課后作業(yè)1在△ABC中，

2,A?1350,b?3,求B

abc???k,則sinAsinBsinCk為(2A)

A2RBRC4RD1R(2R為△

ABC外接圓半徑)

2在?ABC中，已知角B?45，c?2?2,b?43，則角A的值是3A.15?B.75?C.105?D.75?或15?3、在△ABC

4、在?ABC中，若B?60?，b?76,a?14，則A=。5、在△ABC中,若A?30?,B?60?,則a:b:c?1:3:2中，AB?6,A?30?,B?120?,則三角形ABC的面積

為935、在?ABC中，已知a?3,b?2,B?45?，解三角形。

六、心得反思

4

1.1.1正弦定理學(xué)案

學(xué)習(xí)目標：

①發(fā)現(xiàn)并把握正弦定理及其證明方法；②會用正弦定理解決三角形中的簡單問題。預(yù)習(xí)自測

1.正弦定理的數(shù)學(xué)表達式

2.一般地,把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做.

3．利用正弦定理可以解決兩類三角形的問題(1)(2)

問題引入：

1、在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.是否可以把邊、角關(guān)系確鑿量化？