新高中數(shù)學(xué)2-1-3超幾何分布學(xué)案新人教B版選修3

這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!2.1.3超幾何分布］ 薦習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航.理解超幾何分布及其推導(dǎo)過(guò)程.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）.能用超幾何分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（難點(diǎn)）階段1認(rèn)知他習(xí)質(zhì)疑階段1認(rèn)知他習(xí)質(zhì)疑（知識(shí)精理要點(diǎn)初探］［基礎(chǔ)?初探］教材整理超幾何分布閱讀教材P44?P45例1以上部分，完成下列問(wèn)題.設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件（nWN）,這nCmCn-m件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m時(shí)的概率為P（X=m）=『CnN（OWmWl,l為n和M中較小的一個(gè)），則稱離散型隨機(jī)變量X的機(jī)種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布. 訃微體黔匚 .判斷（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣.（J）（2）超幾何分布的總體里可以有兩類或三類特點(diǎn).（X）（3）超幾何分布中的參數(shù)是N,M,n.（V）（4）超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成.（J）.設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中抽取5件，則宣表示（）C5oA.5件產(chǎn)品中有3件次品的概率.5件產(chǎn)品中有2件次品的概率C.5件產(chǎn)品中有2件正品的概率D.5件產(chǎn)品中至少有2件次品的概率【解析】根據(jù)超幾何分布的定義可知C3表示從3件次品中任選2件，C3表示從7件正品中任選3件，故選B.【答案】B［質(zhì)疑?手記］預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：看人生峰高處，唯有磨難多正果。

這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 合作探究通關(guān)解惑： 合作探究通關(guān)［分飄討鞋難細(xì)究［小組合作型］［懂船房超幾何分布概率公式的應(yīng)用M 從放有10個(gè)紅球與15個(gè)白球的暗箱中，隨意摸出5個(gè)球，規(guī)定取到一個(gè)白球得1分，一個(gè)紅球得2分，求某人摸出5個(gè)球，恰好得7分的概率.［小組合作型］［懂船房超幾何分布概率公式的應(yīng)用M 從放有10個(gè)紅球與15個(gè)白球的暗箱中，隨意摸出5個(gè)球，規(guī)定取到一個(gè)白球得1分，一個(gè)紅球得2分，求某人摸出5個(gè)球，恰好得7分的概率.【精彩點(diǎn)撥】摸出5個(gè)球得7分，即摸出2個(gè)紅球，3個(gè)白球，然后利用超幾何分布的概率公式求解即可.【自主解答】設(shè)摸出的紅球個(gè)數(shù)為X,則X服從超幾何分布，其中N=25,M=10,n=5,由于摸出5個(gè)球，得7分，僅有兩個(gè)紅球的可能，那么恰好得7分的概率為P(X=2)C2C3=^5口0.385,即恰好得7分的概率約為0.385.1.解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布若滿足，則直接利用公式解決；若不滿足，則應(yīng)借助相應(yīng)概率公式求解.2.注意公式中M,N,n的含義.I［再練一題］1.在8個(gè)大小相同的球中，有2個(gè)黑球，6個(gè)白球，現(xiàn)從中取3個(gè)，求取出的球中白球個(gè)數(shù)X的分布列.【解】X的可能取值是1,2,3.C1*C2 3P(X=1)=r 2=—?(1) C3 28;C2?C115P(X=2)=丁=-；C3 28C3?C。 5P(X=3)=kF［再練一題］2.在本例中，設(shè)4為取得紅球的分?jǐn)?shù)之和，X2為取得黑球的分?jǐn)?shù)之和，乂=|\—4|,求X的分布列.這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!故X的分布列為X123P3281528514類型2超幾何分布的分布列例 袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從袋中隨機(jī)抽取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球.⑴求得分X的分布列;⑵求得分大于6分的概率.【精彩點(diǎn)撥】寫出乂的可能值【精彩點(diǎn)撥】寫出乂的可能值求出每個(gè)X對(duì)應(yīng)的概率寫出分布列【自主解答】(1)從袋中任取4個(gè)球的情況為：1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅，共四種情況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5,6,7,8.P(X=5)=PP(X=5)=P(X=6)=P(X=7)=P(X=8)=C1C3443=——C4 357C2c21843= C4 357C3C11243=——C4 357C4 1T二一一C435.7故所求分布列為X5678P41812135353535 . . . .12⑵根據(jù)隨機(jī)變量的分布列可以得到大于6分的概率為P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=話+35=S求超幾何分布的分布列時(shí)，關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量確實(shí)服從超幾何分布及隨機(jī)變量的取值，分清其公式中M,N,n的值，然后代入公式即可求出相應(yīng)取值的概率，最后寫出分布列.看人生峰高處，唯有磨難多正果。

看人生峰高處，唯有磨難多正果。這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!【解】從袋中任取4個(gè)球的情況為:3紅1黑X1=2X]=4X]=6X2=3,X=1；X3紅1黑X1=2X]=4X]=6X2=3,X=1；X2=2,X=2；X2=1,X=5；4紅，X=8,X=0X=8.P(X=1)=C1C3 4P(X=5)=43= C4 35,7C3C11243=C4―35,

7P(X=2)=C2c218-^-3= C4 35,7P(X=8)=C4 1T=一C435.7故所求的分布列為:X1258P43518351235135［探究共研型］探究點(diǎn)超幾何分布的綜合應(yīng)用探究從含有5件次品的100件產(chǎn)品中任取3件.這100件產(chǎn)品可分幾類？取到的次品數(shù)X的取值有哪些？求次品數(shù)X=2的概率.【提示】 產(chǎn)品分兩類：次品和非次品；X【提示】 產(chǎn)品分兩類：次品和非次品；X取值為：0,1,2,3；P(X=2)=C2C1595C3100惻 在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品.⑴顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列U；⑵顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率;②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值為Y元，求Y的分布列.【精彩點(diǎn)撥】(1)從10張獎(jiǎng)券中抽取1張，其結(jié)果有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種，故X?(0,1).(2)從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，其中含有中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券的張數(shù)X(X=1,2)服從超幾何分布.【自主解答】(1)抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況.P(XP(X=1)=C1 1051023貝…0)*”1)—。因此X的分布列為X01看人生峰高處，唯有磨難多正果。

這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!P3255⑵①顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng).獎(jiǎng).C1C1+C2C0302故所求概率P=C4c6；C4C6=%=5.C2 45310②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且P(Y-0)-46=C2P(Y-0)-46=C245—-3,10C2C031D/VP(Y—20)-—36-C2—45一—1510C1C131P(Y-60)=P(Y=10)=10C1C118236C2 455,10,P(Y=50)=C2-45—15,10因此隨機(jī)變量Y的分布列為Y010205060P1212135151515解決超幾何分布問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)⑴超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問(wèn)題時(shí)可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶⑵超幾何分布中，只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),從而求出X的分布列.［再練一題］3.現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張1元，2張5元，從中同時(shí)任取3張，求所得金額的分布列.【解】 設(shè)所得金額為X,X的可能取值為3,7,11.C3P(X=3)=丁C3C3P(X=3)=丁C31015，C2C1P(X=7)T1015，P(X=11)=C1?C2 1C31015故X的分布列為X3711P715715115看人生峰高處，唯有磨難多正果。

這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!［構(gòu)建?體系］C350DLCC+CC350DLCC+C2。5 5C350■451.今有電子元件50個(gè)，其中一級(jí)品45個(gè)，二級(jí)品5個(gè)，從中任取3個(gè)，出現(xiàn)二級(jí)品的概率為()A3C1CC2+C3A3f~T5 5【解析】出現(xiàn)二級(jí)品的情況較多，可以考慮不出現(xiàn)二級(jí)品概率為總故答案為50【答案】C.一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%,從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為()16艮45【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62980038］16艮4528A.4511C.11C.45D.45【解析】 由題意知10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P【解析】 由題意知10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P(X=1)=C1C116—2—8=——C2 4510【答案］B.一個(gè)盒子里裝有大小相同的紅球，白球共30個(gè)，其中白球4個(gè).從中任取兩個(gè)，則概C1C1+C2率為安產(chǎn)二的事件是()A.沒(méi)有白球B.至少有一個(gè)白球C.至少有一個(gè)紅球D.至多有一個(gè)白球TOC\o"1-5"\h\zC1C1+C2C1C1 C2［解析］一寧T=k+^表示任取的兩個(gè)球中只有一個(gè)白球和兩個(gè)都是白球的概C2C2 C230 30 30看人生峰高處，唯有磨難多正果。這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!率，即至少有一個(gè)白球的概率.【答案】B.某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動(dòng)，用X表示4人中的團(tuán)員人數(shù)，則P(X=3)=【解析】P(X=3)=詈=21.105【答案】總21.在一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試中，有備選的10道試題，已知某考生能答對(duì)其中的8道試題，規(guī)定每次考試都從備選題中任選3道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2道題才算合格，求該考生答對(duì)試題數(shù)X的分布列，并求該考生合格的概率.TOC\o"1-5"\h\z… ， 、C1?C2 1【解】X可以取1,2,3.P(X=1)=-8^-2=-,C30 15, 、-2?C1 7 , 、 -3?-0 7P(X=2)="C=15P(X=3)="-T"=15-10 10所以X的分布列為：X=k123P(X=k)115715715TOC\o"1-5"\h\z該考生合格的概率為P(XN2)=P(X=2)+7 7 14P(X=3)=—+—=—(3)15十1515，學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)［學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)］一、選擇題.一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6,還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號(hào)碼；②X表示取出的最小號(hào)碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；④X表示取出的黑球個(gè)數(shù).這四種變量中服從超幾何分布的是()A.①② B.③④C.①②④ D.①②③④【解析】 由超幾何分布的概念知③④符合，故選B.看人生峰高處，唯有磨難多正果。

這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!【答案】B.某校從學(xué)生會(huì)中的10名女生干部與5名男生干部中隨機(jī)選取6名學(xué)生干部組成“文明校園督察隊(duì)”，則組成4女2男的“文明校園督察隊(duì)”的概率為（）C6明校園督察隊(duì)”，則組成4女2男的“文明校園督察隊(duì)”的概率為（）C6A.『A615C4C2r105C.C615B.D.C3C3105C615C4A2105A615【解析】組成4女2男的“文明校園督察隊(duì)”的概率15【答案】.一個(gè)盒子里裝有相同大小的10個(gè)黑球、12個(gè)紅球、4個(gè)白球，從中任取2個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為X,則下列概率等于C1C1+C222-4 22C226的是（）A.P(0<XW2)B.P(XW1)C.P(X白球的個(gè)數(shù)記為X,則下列概率等于C1C1+C222-4 22C226的是（）A.P(0<XW2)B.P(XW1)C.P(X=1)D.P(X=2)【解析】結(jié)合題意，當(dāng)X=1時(shí)C1C1p(x=1)=h，C2

26當(dāng)X=0時(shí)故P(XW1)C2P(X=0)=F，C226,C1C1+C2n_224 22C226【答案】B4.設(shè)袋中有80個(gè)球，其中40個(gè)紅球，40個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從中任取兩球，則所取的兩球同色的概率為（）【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62980039]39A，791B，8G1C.-乙41D-81C2+C239【解析】由題意知所求概率為p=k二何.【答案]A5.在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率等于前的是（）15A.P(X=2)C.P(X=4)B.P(XW2)D.P(XW4)看人生峰高處，唯有磨難多正果。這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!【解析】15個(gè)村莊中，7個(gè)村莊交通不方便，8個(gè)村莊交通方便，C7C8表示選出的10C4C6個(gè)村莊中恰有4個(gè)交通不方便，6個(gè)交通方便的村莊，故P(X=4)=L.C1015【答案】C、填空題.從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，若設(shè)X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)，則P(X=1)=【解析】X=1表示的結(jié)果是抽取的2臺(tái)彩電有甲型和乙型彩電各一臺(tái)，故所求概率P(XP(X=1)=C1C13o2二C2 5.53【答案】5.某導(dǎo)游團(tuán)由外語(yǔ)導(dǎo)游10人，其中6人會(huì)說(shuō)日語(yǔ)，現(xiàn)要選出4人去完成一項(xiàng)任務(wù)，則有2人會(huì)說(shuō)日語(yǔ)的概率為【解析】 有兩人會(huì)說(shuō)日語(yǔ)的概率為C【解析】 有兩人會(huì)說(shuō)日語(yǔ)的概率為C2c2 3[64=一C4 7103【答案】7.在30瓶飲料中，有3瓶已過(guò)了保質(zhì)期.從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過(guò)了保質(zhì)期飲料的概率為.(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)已過(guò)了保質(zhì)期飲料的概率為.(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)【解析】 從這30瓶飲料中任取2瓶，設(shè)至少取到1瓶已過(guò)了保質(zhì)期飲料為事件A,C2 28—3= C2 28—3= C2 145.30則PC2 145.30C230【答案】28145【答案】28145三、解答題.(2016?大慶高二模擬)某校組織一次冬令營(yíng)活動(dòng)，有8名同學(xué)參加，其中有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活動(dòng)的需要，要從這8名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù)，記其中有X名男同學(xué).⑴求X的分布列;⑵求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率【解】(1)X【解】(1)X的可能取值為0,1,2,3.根據(jù)公式P(X=k)=CkCn-kMNMCn，Nk=0,1,2,…，m,其中m=min{M,n}算出其相應(yīng)的概率.即X的分布列為X0123看人生峰高處，唯有磨難多正果。

這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!P15615561528528151545⑵去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為PfXE+P-"#有而.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字.求:⑴取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率;⑵隨機(jī)變量X的概率分布;⑶計(jì)算介于20分到40分之間的概率.【解】(1)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,則P(A)=C3C1C1C1u2 2 2C310⑵由題意，X所有可能的取值為2,3,4,5.P【解】(1)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A,則P(A)=C3C1C1C1u2 2 2C310⑵由題意，X所有可能的取值為2,3,4,5.P(X=2)=C2C1+C1C2 1P(X=3)=―22 2~2=C3 30;10CM+C4c224C342=15;10C2C1+CC3P(X=4)=^^ ^二—；(4) C3 10;10P(X=5)1C1+C1C2 815所以隨機(jī)變量X的概率分布為X2345P1238301510152⑶一次取球得分介于20分到40分之間的事件記為C,P(C)=P(X=3)+P(X=4)=正+_3__1310=30,［能力提升］1.從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，則取出的產(chǎn)品中無(wú)次品的概率為()22A，3512B，351C，3534D，35看人生峰高處，唯有磨難多正果。10這世上有兩樣?xùn)|西是別人搶不走的：一是藏在心中的夢(mèng)想，二是讀進(jìn)大腦的知識(shí)!C0C322C0C322貝|P貝|P(X=0)=C3 35.15【答案】