2022-2023學(xué)年四川省綿陽市高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省綿陽市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知點，點，則直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．135°【答案】B【分析】先由，求斜率，再求傾斜角.【詳解】設(shè)直線的斜率為k,則.令直線的傾斜角為，則，，.故選：B2．現(xiàn)須完成下列2項抽樣調(diào)查：①從12瓶飲料中抽取4瓶進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡在超過30歲不超過60歲的有270人，60歲以上的有90人，為了解居民對社區(qū)環(huán)境綠化方面的意見，擬抽取一個容量為30的樣本.較為合理的抽樣方法分別為（

）A．①抽簽法，②分層隨機抽樣 B．①隨機數(shù)法，②分層隨機抽樣C．①隨機數(shù)法，②抽簽法 D．①抽簽法，②隨機數(shù)法【答案】A【分析】根據(jù)抽簽法以及分層抽樣的使用條件，可得答案.【詳解】對于①，由于抽取的總體個數(shù)與樣本個數(shù)都不大，則應(yīng)用抽簽法；對于②，抽取的總體個數(shù)較多，且總體有明確的分層，抽取的樣本個數(shù)較大，則采用分層隨機抽樣.故選：A.3．過點且平行于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先設(shè)出平行于直線的直線系方程，再將點代入方程，進(jìn)而求得所求直線的方程.【詳解】平行于直線的直線方程可設(shè)為又所求直線過點則，解之得，則所求直線為故選：A4．某企業(yè)不斷自主創(chuàng)新提升技術(shù)水平，積極調(diào)整企業(yè)旗下的甲、乙、丙、丁、戊等種系列產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，近年來取得了顯著效果.據(jù)悉該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，其中種系列產(chǎn)品的年收入構(gòu)成比例如圖所示.則下列說法錯誤的是（

）A．年甲系列產(chǎn)品收入比年的多B．年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比年的企業(yè)年總收入還多C．年丁系列產(chǎn)品收入是年丁系列產(chǎn)品收入的D．年戊系列產(chǎn)品收入是年戊系列產(chǎn)品收入的倍【答案】C【分析】利用已知條件可分別得出年和年種系列產(chǎn)品所占總收入的比例，結(jié)合該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，逐一檢驗選項，得出答案．【詳解】對于A，年甲系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年甲系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年甲系列產(chǎn)品收入比年的多，正確；對于B，年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和占了總收入的，該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比年的企業(yè)年總收入還多，正確；對于C，年丁系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年丁系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年丁系列產(chǎn)品收入是年丁系列產(chǎn)品收入的，錯誤；對于D，年戊系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年戊系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年戊系列產(chǎn)品收入是年戊系列產(chǎn)品收入的倍，正確；故選：C5．已知為拋物線：的焦點，縱坐標(biāo)為5的點在C上，，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義列式計算作答.【詳解】依題意，拋物線：的焦點，準(zhǔn)線方程為，顯然有，所以.故選：D6．某科研所對實驗室培育得到的A，B兩種植株種子進(jìn)行種植實驗，記錄了5次實驗產(chǎn)量（千克/畝）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：A種子4849505152B種子4848494951則平均產(chǎn)量較高與產(chǎn)量較穩(wěn)定的分別是（

）A．A種子；A種子 B．B種子；B種子C．A種子；B種子 D．B種子；A種子【答案】C【分析】分別計算平均值和方差，比較得到答案.【詳解】，；，；，，故的平均產(chǎn)量高，的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.故選：C7．已知，是雙曲線的左，右焦點，點在雙曲線的右支上，的斜率為，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用直角三角形的幾何性質(zhì)和雙曲線的定義得到關(guān)于的關(guān)達(dá)式，再利用雙曲線離心率的定義即可得到其離心率的值.【詳解】依題意，設(shè)，因為的斜率為，所以直線的傾斜角為，則，又，所以在中，，則，，雙曲線的離心率.故選：B.8．某居委會從5名志愿者中隨機選出3名參加周末的社區(qū)服務(wù)工作，則甲被選上，且乙和丙恰有一人被選上的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用古典概型即可求得甲被選上，且乙和丙恰有一人被選上的概率.【詳解】設(shè)這5名志愿者為甲，乙，丙，a，b，從5名志愿者中隨機選出3名，共有10種可能的結(jié)果：（甲，乙，丙），（甲，乙，a），（甲，乙，b），（甲，丙，a），（甲，丙，b），（甲，a，b），（乙，丙，a），（乙，丙，b），（乙，a，b），（丙，a，b），其中甲被選上，且乙和丙恰有一人被選上包含4種情況則甲被選上，且乙和丙恰有一人被選上的概率為故選：A9．已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為，，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)點A、B的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)表示求出A、B的縱坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意知，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，設(shè)，則，由，得，又，解得，所以，所以的面積為.故選：B.10．某學(xué)校調(diào)查學(xué)生對2022年卡塔爾世界杯的關(guān)注是否與性別有關(guān)，隨機抽樣調(diào)查了110名學(xué)生，進(jìn)行獨立性檢驗，列聯(lián)表及臨界值表如下：男生女生合計關(guān)注50不關(guān)注20合計301100.150.10.050.0250.012.0722.0763.8415.0246.635附：，其中.則下列說法中正確的是（

）A．有97.5%的把握認(rèn)為學(xué)生對卡塔爾世界杯的關(guān)注與性別無關(guān)B．男生不關(guān)注卡塔爾世界杯的比例低于女生關(guān)注卡塔爾世界杯的比例C．在犯錯誤概率不超過1%的前提下可認(rèn)為學(xué)生對卡塔爾世界杯的關(guān)注為性別有關(guān)D．在犯錯誤概率不超過1%的前提下可認(rèn)為學(xué)生對卡塔爾世界杯的關(guān)注與性別無關(guān)【答案】C【分析】先根據(jù)已知完成列聯(lián)表，再根據(jù)已知公式得出，查表即可得出答案.【詳解】列聯(lián)表如下：男生女生合計關(guān)注501060不關(guān)注302050合計8030110則對于A：，則有97.5%的把握認(rèn)為學(xué)生對卡塔爾世界杯的關(guān)注與性別有關(guān)，故A錯誤；對于B：男生不關(guān)注卡塔爾世界杯的比例為，女生關(guān)注卡塔爾世界杯的比例為，且，則男生不關(guān)注卡塔爾世界杯的比例高于女生關(guān)注卡塔爾世界杯的比例，故B錯誤；對于C、D；，則在犯錯誤概率不超過1%的前提下可認(rèn)為學(xué)生對卡塔爾世界杯的關(guān)注為性別有關(guān).故C正確，D錯誤.故選：C11．已知橢圓的上焦點為，直線與橢圓交于M，N兩點，則的周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓定義和橢圓的對稱性即可求得的周長的取值范圍.【詳解】直線與橢圓交于M，N兩點，橢圓的上焦點為，令下焦點為，連接由橢圓的對稱性可得，則的周長為,又，則，則的周長的取值范圍是故選：D12．已知C，D是圓：上兩個不同動點，直線恒過定點P，若以CD為直徑的圓過點P，則CD最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)以為直徑的圓的圓心為，當(dāng)三點共線時，半徑有最小值，此時有最小值，即可求出答案.【詳解】依題意，設(shè)以為直徑的圓的圓心為，半徑為，將直線化簡得，即，得，所以直線恒過定點，在中，，因為，所以，即，解得（舍），，所以，故選：A.二、填空題13．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于坐標(biāo)原點О對稱的點為B，則__________.【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，再計算即可.【詳解】因為點關(guān)于坐標(biāo)原點О對稱的點為，所以.故答案為：14．已知直線與圓有公共點的概率為，其中為區(qū)間內(nèi)隨機取的一個實數(shù)，則__________.【答案】5【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系列不等式，結(jié)合幾何概型的知識列方程，從而求得的值.【詳解】直線與圓有公共點，，由于為區(qū)間內(nèi)隨機取的一個實數(shù)，所以，所以，解得.故答案為：15．若雙曲線與有共同漸近線，且與橢圓有相同的焦點，則該雙曲線的方程為__________.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得漸近線方程與焦點坐標(biāo)，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程，可得答案.【詳解】由方程，則其漸近線方程為，由橢圓，則其焦點為，由題意可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為，則，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.16．已知拋物線C：，，過點Р的直線交拋物線C于A，B兩點，線段AB中點為，直線經(jīng)過點D且垂直于y軸，直線經(jīng)過點且垂直于直線，記，相交于點N，下列說法正確的序號為____.①；②的斜率為；③；④點N在定直線上.【答案】①②④【分析】利用直線垂直充要條件判斷①；求得直線的斜率判斷②；求得的取值范圍判斷③；求得點N的坐標(biāo)判斷④.【詳解】由題意得直線斜率存在，設(shè)直線方程為，令由，整理得則，則，，則則直線的方程為，又直線的方程為，由,可得，則由可得.則①判斷正確；由，可得的斜率為.則②判斷正確；由，可得③判斷錯誤；由，可得點N在定直線上.則④判斷正確.故答案為：①②④三、解答題17．已知的三個頂點的坐標(biāo)分別是，，.(1)求邊AB的中線所在直線的方程；(2)若，垂足為D，求點D的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得中點的坐標(biāo)，然后利用點斜式求得邊AB的中線所在直線的方程.（2）根據(jù)直線的斜率以及在直線上列方程組，由此求得點坐標(biāo).【詳解】（1）由題意線段的中點為，，所以，邊上的中線所在直線的方程為，即.（2）設(shè)，由題意得，，D在直線BC上，因為，所以直線BC方程為，.又D在直線BC上，所以，聯(lián)立，解得，所以.18．某中學(xué)參加知識競賽結(jié)束后，為了解競賽成績情況，從所有學(xué)生中隨機抽取800名學(xué)生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)請補全頻率分布直方圖并估計這800名學(xué)生的平均成績；(2)采用分層隨機抽樣的方法從這800名學(xué)生中抽取容量為40的樣本，再從該樣本中成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取2名進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少有1名學(xué)生成績不低于90分的概率.【答案】(1)直方圖見解析，71（分）(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得成績落在的頻率，從而可得這800名學(xué)生的平均成績；（2）根據(jù)分層抽樣確定成績在內(nèi)的人數(shù)并標(biāo)記，成績在內(nèi)的人數(shù)并標(biāo)記，根據(jù)古典概型列舉基本事件種數(shù)及所求事件種數(shù)，即可得概率值.【詳解】（1）成績落在的頻率為，補全的頻率分布直方圖如圖：這800名學(xué)生的平均成績約為；55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）；（2）抽取的40名學(xué)生中，成績在內(nèi)的有（人），分別記為，，，，成績在內(nèi)的有（人），分別記為，，從這6人中隨機抽取2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，.共有15種.記事件“至少有1名學(xué)生成績不低于90分”，則事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9種，所以所求概率為.19．已知圓：，點是圓上一動點，點，點是線段的中點.(1)求點的軌跡方程；(2)已知過點的直線與曲線相交，被曲線截得的弦長為2，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）先設(shè)線段中點為，點，然后利用相關(guān)點法求解即可；（2）先討論直線斜率不存在，然后斜率存在利用截距式計算弦長等于，求解即可.【詳解】（1）設(shè)線段中點為，點，由，∴，，

又因為點在圓上，∴∴，即點的軌跡方程為：.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，由，得，或，即直線與圓相交所得弦長為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，由于圓到的距離，所以，解得，所以，即，綜上所述，直線的方程為或.20．如圖是某采礦廠的污水排放量（單位：噸）與礦產(chǎn)品年產(chǎn)量（單位：噸）的折線圖：(1)依據(jù)折線圖計算，的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）(2)若可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請建立關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測年產(chǎn)量為20噸時的污水排放量.相關(guān)公式：回歸方程中，，.【答案】(1)0.95，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系(2)，40.3（噸）.【分析】（1）代入數(shù)據(jù)，算出相關(guān)系數(shù)r，將其絕對值與比較，即可判斷可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2）先求出回歸方程，求出當(dāng)時的值，即為預(yù)測值．【詳解】（1），，因為，，，所以，所以可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）∵，，，∴.∴關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程可得，，∴當(dāng)年產(chǎn)量為20（噸）時，污水排放量為40.3（噸）.21．已知橢圓：的離心率為，其左、右焦點分別為、，上頂點為，且.(1)求橢圓的方程；(2)直線：與橢圓交于兩點，О為坐標(biāo)原點.試求當(dāng)為何值時，恒為定值，并求此時面積的最大值.【答案】(1)(2)，最大值1【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，解方程求得其值，可得答案；（2）設(shè)，，聯(lián)立，可求得根與系數(shù)的關(guān)系式，從而求得的表達(dá)式，利用其恒為定值，求得參數(shù)k的值，進(jìn)而求得面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】（1）由己知，點，的坐標(biāo)分別為，，又點的坐標(biāo)為，且，于是，解得，，所以，橢圓方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立，消元得，當(dāng)，即時，則有，，則，當(dāng)為定值時，即與無關(guān)，故，得，此時，又點到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，經(jīng)檢驗，此時成立，所以面積的最大值為1.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答時要保證恒為定值，在求出其表達(dá)式之后，關(guān)鍵是要明確當(dāng)為定值時，即與無關(guān)，從而求得參數(shù)k的值.22．已知拋物線：的焦點到雙曲線的漸近線的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)過原點作兩條相互垂直的直線交曲線于異于原點的兩點A，B，直線AB與x軸相交于N，試探究x軸上是否存在異于N的定點M滿足恒成立.若存在，請求出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存