自考高數(shù)經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂筆記A

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計是經(jīng)管類各專業(yè)的基礎(chǔ)課，概率論研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，它是本課程的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計則從應(yīng)用角度研究如何處理隨機數(shù)據(jù)，建立有效的統(tǒng)計方法，進(jìn)行統(tǒng)計推斷。

概率論包括隨機事件及其概率、隨機變量及其概率分布、多維隨機變量及其概率分布、隨機變量的數(shù)字特征及大數(shù)定律和中心極限定理。共五章，重點第一、二章，數(shù)理統(tǒng)計包括樣本與統(tǒng)計量，參數(shù)估計和假設(shè)檢驗、回歸分析。重點是參數(shù)估計。

預(yù)備知識

（一）加法原則

引例一，從北京到上海的方法有兩類：第一類坐火車，若北京到上海有早、中、晚三班火車分別記作火1、火2、火3，則坐火車的方法有3種；其次類坐飛機，若北京到上海的飛機有早、晚二班飛機，分別記作飛1、飛2。問北京到上海的交通方法共有多少種。

解：從北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飛1、飛2共5種。它是由第一類的3種方法與其次類的2種方法相加而成。一般地有下面的加法原則：

辦一件事，有m類方法，其中：第一類方法中有n1種方法；其次類方法中有n2種方法；……

第m類方法中有nm種方法；則辦這件事共有

種方法。

（二）乘法原則

引例二，從北京經(jīng)天津到上海，需分兩步到達(dá)。

第一步從北京到天津的汽車有早、中、晚三班，記作汽1、汽2、汽3其次步從天津到上海的飛機有早、晚二班，記作飛1、飛2問從北京經(jīng)天津到上海的交通方法有多少種？解：從北京經(jīng)天津到上海的交通方法共有：

①汽1飛1，②汽1飛2，③汽2飛1，④汽2飛2，⑤汽3飛1，⑥汽3飛2。共6種，它是由第一步由北京到天津的3種方法與其次步由天津到上海的2種方法相乘3×2=6生成。一般地有下面的乘法原則：

辦一件事，需分m個步驟進(jìn)行，其中：第一步驟的方法有n1種；其次步驟的方法有n2種；……

第m步驟的方法有nm種；則辦這件事共有

種方法。

（三）排列（數(shù)）：從n個不同的元素中，任取其中m個排成與順序有關(guān)的一排的方法

1

數(shù)叫排列數(shù)，記作排列數(shù)例如：

或。

的計算公式為：

（四）組合（數(shù)）：從n個不同的元素中任取m個組成與順序無關(guān)的一組的方法數(shù)叫組

合數(shù)，記作

組合數(shù)

或。

的計算公式為

例如：

組合數(shù)有性質(zhì)（1）

，（2）

=45

，（3）

例如：

例一，袋中有8個球，從中任取3個球，求取法有多少種？

解：任取出三個球與所取3個球順序無關(guān)，故方法數(shù)為組合數(shù)

（種）

例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（√√√√√×××）從中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少種？

解：第一步在5件正品中取2件，取法有（種）

其次步在3件次品中取1件，取法有

（種）

由乘法原則，取法共有10×3=30（種）

第一章隨機事件與隨機事件的概率

§1.1隨機事件

引例一，擲兩次硬幣，其可能結(jié)果有：｛上上；上下；下上；下下｝

則出現(xiàn)兩次面向一致的事件A與兩次面向不同的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)

2

的。

引例二，擲一次骰子，其可能結(jié)果的點數(shù)有：｛1，2，3，4，5，6｝

則出現(xiàn)偶數(shù)點的事件A，點數(shù)≤4的事件B都是可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件。從引例一與引例二可見，有些事件在一次試驗中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，即它沒有確定性結(jié)果，這樣的事件，我們叫隨機事件。

（一）隨機事件：在一次試驗中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件，叫隨機事件，習(xí)慣用A、B、C表示隨機事件。

由于本課程只探討隨機事件，因此今后我們將隨機事件簡稱事件。雖然我們不研究在一次試驗中，一定會出現(xiàn)的事件或者一定不出現(xiàn)的事件，但是有時在演示過程中要利用它，所以我們也介紹這兩種事件。

必然事件：在一次試驗中，一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件，習(xí)慣用Ω表示必然事件。例如，擲一次骰子，點數(shù)≤6的事件一定出現(xiàn)，它是必然事件。

不可能事件：在一次試驗中，一定不出現(xiàn)的事件叫不可能事件，而習(xí)慣用φ表示不可能事件。

例如，擲一次骰子，點數(shù)>6的事件一定不出現(xiàn)，它是不可能事件。（二）基本（隨機）事件

隨機試驗的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果，叫基本隨機事件，簡稱基才能件，也叫樣本點，習(xí)慣用ω表示基才能件。

例如，擲一次骰子，點數(shù)1,2,3,4,5,6分別是基才能件，或叫樣本點。

全部基才能件叫基才能件組或叫樣本空間，記作Ω，當(dāng)然Ω是必然事件。（三）隨機事件的關(guān)系

（1）事件的包含：若事件A發(fā)生則必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，就說事件B包含事件A，記作。

例如，擲一次骰子，A表示擲出的點數(shù)≤2，B表示擲出的點數(shù)≤3?！郃=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。

所以A發(fā)生則必然導(dǎo)致B發(fā)生。顯然有（2）事件的相等：若，且就記A=B，即A與B相等，事件A等于事件B，表示A與B實際上是同一事件。（四）事件的運算

（1）和事件：事件A與事件B中至少有一個發(fā)生的事件叫事件A與事件B的和事件，記作：

或A+B

例如，擲一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝則和事件A+B=｛1，2，3，5｝顯然有性質(zhì)①

②若，則有A+B=B③A+A=A

（2）積事件：事件A與事件B都發(fā)生的事件叫事件A與事件B的積事件，記作：AB或A∩B例如，擲一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，則AB=｛1，3｝顯然有性質(zhì)：

3

①

②若，則有AB=A③AA=A（3）差事件：事件A發(fā)生而且事件B不發(fā)生的事件叫事件A與事件B的差事件，記作（A-B）例如，擲一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，則A-B=｛5｝顯然有性質(zhì)：①②若，則有A-B=Φ③A-B=A-AB

（4）互不相容事件：若事件A與事件B不能都發(fā)生，就說事件A與事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ

例如，擲一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛2，4｝∴AB=Φ

（5）對立事件：事件A不發(fā)生的事件叫事件A的對立事件。記作例如，擲一次骰子，A=｛1，3，5｝，則顯然，對立事件有性質(zhì)：①②③

注意：A與B對立，則A與B互不相容，反之不一定成立。

例如在考試中A表示考試成績?yōu)閮?yōu)，B表示考試不及格。A與B互不相容，但不對立。下面圖1.1至圖1.6用圖形直觀的表示事件的關(guān)系和運算，其中正方形表示必然事件或樣本空間Ω。

圖1.1表示事件事件A圖1.2陰影部分表示A+B圖1.3陰影部分表示AB圖1.4陰影部分表示A-B圖1.5表示A與B互不相容

圖1.6陰影部分表示

4

事件的運算有下面的規(guī)律：

（1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結(jié)合律（AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC

（A+B）（A+C）=A+BC叫分派律

（4）

叫對偶律

例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的運算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，僅事件A發(fā)生（2）A，B，C三事件都發(fā)生

（3）A，B，C三事件都不發(fā)生

（4）A，B，C三事件不全發(fā)生

（5）A，B，C三事件只有一個發(fā)生（6）A，B，C三事件中至少有一個發(fā)生

解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）

（6）A+B+C

例2.某射手射擊目標(biāo)三次：A1表示第1次射中，A2