理論力學(xué)章剛體

理論力學(xué)章剛體第1頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日xyzy”NO第2頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.2剛體的角速度角位移為n

位移為r=nr角速度定義：

ω

=

dn

/dtrrr+r第3頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日xyzy”NO第4頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.3剛體上任一點(diǎn)的線速度和加速度1、無平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)線位移:

dr=dnr線速度:

v=

dr

/dt

=(dn/dt)r

=ωr加速度：a=

dv

/dt

=d(ωr)/dt

=(dω/dt)r+ω(ωr)任一常模矢量

A對(duì)時(shí)間的微商為:dA

/dt=

ωA第5頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.3剛體上任一點(diǎn)的線速度和加速度2、平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)固定基點(diǎn)法(

C為剛體上固定基點(diǎn))線速度:

v=vC

+ωr加速度：a=aC

+(dω/dt)r+ω(ωr)運(yùn)算公式：A×B×C=B(A·C)–(A·B)

Cω×(ω×r

)=

ω(ω·r

)-ω2

r

a=aC

+(dω/dt)r+ω(ω·r

)-ω2

r

對(duì)平面平行運(yùn)動(dòng)ω⊥r,

a=aC

+(dω/dt)r-ω2

r

第6頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日證明：剛體角速度與參考點(diǎn)無關(guān)。證:

以A’為參考點(diǎn),角速度ω’

;

以A’’為參考點(diǎn),角速度ω’’

。

vP=

vA’

+

ω’×A’P

=

vA’’

+

ω’’

×A’’P

∵vA’’=

vA’

+

ω’

×A’A’’

∴vA’

+ω’×A’P

=

vA’

+ω’×A’A’’

+ω’’

×A’’P

→

ω’

×(A’P

-A’A’’

)=ω’’×A’’P

→

ω’

×A’’P

=ω’’×A’’P

→

ω’

=ω’’

O參考原點(diǎn)A’’A’P第7頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日(2)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸法①平面平行運(yùn)動(dòng)已知?jiǎng)傮w的角速度ω和剛體上某一點(diǎn)P的線速度vP，總可過P點(diǎn)作一條和vP垂直的直線PQ，并使Q點(diǎn)的位置滿足條件：

vP=ω

rPQ取Q點(diǎn)為基點(diǎn)。基點(diǎn)Q的特點(diǎn)：

Q點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)軸線和運(yùn)動(dòng)平面的交點(diǎn)，速度為零，Q點(diǎn)的位置不固定，所以Q點(diǎn)稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心或瞬時(shí)轉(zhuǎn)心。第8頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日確定瞬時(shí)轉(zhuǎn)心的方法(1)

剛體上瞬時(shí)速度為零的點(diǎn)必為瞬時(shí)轉(zhuǎn)心；(2)已知?jiǎng)傮w上A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度方向，分別過A點(diǎn)和B點(diǎn)作vA和vB的垂線，其交點(diǎn)Q必為瞬時(shí)轉(zhuǎn)心。②一般運(yùn)動(dòng)

也可用瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸法。如果在某一瞬時(shí)能在剛體上找到兩個(gè)速度為零的點(diǎn)，則此兩點(diǎn)的連線就是剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸。找到了瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，剛體上任一點(diǎn)的速度就可直接用純轉(zhuǎn)動(dòng)的公式。ABQvAvB第9頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例1：半徑為R的輪子在直線軌道上無滑滾動(dòng)，質(zhì)心C的速度為常數(shù)vo求輪子邊緣上任一點(diǎn)P的速度和加速度。解：1、固定基點(diǎn)法

OyoxoCQPvovCvPω

rCP第10頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日OyoxoCQPvovCvPω

rCP第11頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日2、瞬時(shí)轉(zhuǎn)心法輪子和軌道接觸點(diǎn)Q為瞬時(shí)轉(zhuǎn)心，所以O(shè)yoxoCQPvovCvPω

rCP第12頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例：半徑為r的圓盤垂直于地面作純滾動(dòng)，圓盤中心C以速率vC=1R沿著半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，求圓盤邊緣上任一點(diǎn)P的速度。解：圓盤運(yùn)動(dòng)可視為繞點(diǎn)O的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，OQ為其瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。RQO12CPijk21CO第13頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日?qǐng)A盤角速度用歐拉角來表示。第14頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.4剛體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程ABPO’O第15頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第16頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第17頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第18頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第19頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第20頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第21頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第22頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日3、慣量主軸的求法利用慣量橢球方程慣量橢球有三條相互垂直的主軸，以此三主軸為坐標(biāo)軸，則橢球方程中的交叉項(xiàng)統(tǒng)統(tǒng)為零，即慣量積為零。所以，慣量主軸即為慣量橢球的三條主軸，采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)變換來實(shí)現(xiàn)。(2)根據(jù)質(zhì)量對(duì)稱分布可以證明三條相互垂直的質(zhì)量對(duì)稱軸即為慣量主軸。第23頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第24頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第25頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日h=axyzm1a/2m2m3oa第26頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第27頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第28頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.5剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程分別為：質(zhì)心定理：F外

=mdvc/dt質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)定律：M外C=IC

=ICd/dt剛體總能量：E=EK+EP

=mvC

2/2+ICω2/2+EP角動(dòng)量：LZ=IZ

垂直軸定理：IZ=IX+IY平行軸定理：IZ=IC+md2

第29頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例：均勻圓柱體沿固定斜面無滑動(dòng)滾下，求圓柱體的加速度和約束反作用力。解：質(zhì)心C：xC=R，yC=0。體系廣義坐標(biāo)選為xC體系動(dòng)能：AONmgxyFy’C第30頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日AONmgxyFy’C第31頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例：半徑為R的偏心圓盤在水平面上作平面平行運(yùn)動(dòng)，圓盤的質(zhì)量為m，質(zhì)心C離幾何中心的距離為d，寫出圓盤的運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)圓盤只滾不滑。OCRrdFNF第32頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第33頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.6歐拉動(dòng)力學(xué)方程BωAPQO第34頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第35頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第36頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日討論：可解情況歐勒——潘索情況重力的合力通過定點(diǎn)(一般說重心或質(zhì)心).因而對(duì)O點(diǎn),外力矩為0,剛體作慣性轉(zhuǎn)動(dòng)，如回轉(zhuǎn)儀，地球自轉(zhuǎn)等情況。(2)拉格朗日——泊松情況對(duì)定點(diǎn)O的慣量橢球是旋轉(zhuǎn)橢球(Ix=Iy≠Iz)，而剛體的重心在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上，如重力陀螺儀。(3)柯凡律夫斯卡雅情況對(duì)定點(diǎn)O的慣量橢球也是旋轉(zhuǎn)橢球，而且有(Ix=Iy=2Iz)，剛體的重心在慣量橢球的赤道平面上。第37頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日xyzoαω第38頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第39頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日§4.8剛體的自由轉(zhuǎn)動(dòng)第40頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日1、潘索的幾何法：

取剛體的質(zhì)心為定點(diǎn)O，取O點(diǎn)的慣量主軸為Oxyz的三個(gè)坐標(biāo)軸，則慣量橢球方程為

Ixx2+Iyy2+Izz2=1

角動(dòng)量L的方向和大小不變，取為Ox’軸方向。

在L

方向的投影L是常數(shù)L=·L/L=2E/L(2)設(shè)慣量橢球的交點(diǎn)為N，ON的長度為，則

rON=/，所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為

x=x

/，y=y

/，z=z

/?！?(Ixx2+Iyy2+Izz2)

/2=1→22E/2=1→=/(2E)1/2第41頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日N(x,y,z)Q(x’,y’,z’)Oen求過點(diǎn)和慣量橢球相切的平面方程第42頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第43頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第44頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日剛體自由轉(zhuǎn)動(dòng)的描述作剛體的中心慣量橢球，過質(zhì)心O作角動(dòng)量

L，并取一點(diǎn)O’，令OO’=(2E)1/2/L.

過O’點(diǎn)作一和L垂直的平面，這個(gè)平面就是上述的不變平面，它必與中心慣量橢球相切與N點(diǎn)，rON的方向即為角速度的方向，也即瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的方向。LO’ON剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)位置將不斷改變，但由于點(diǎn)在瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸上，它的瞬時(shí)速度必為零，因此中心慣量橢球(即剛體)只能在平面上作純滾動(dòng)。第45頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日2、歐拉法(對(duì)稱陀螺Ix=Iy)第46頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日(2)對(duì)稱陀螺的歐拉角描述zoz第47頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日例：一回轉(zhuǎn)儀Ix=Iy=2Iz依慣性繞重心轉(zhuǎn)動(dòng)并作規(guī)則進(jìn)動(dòng)(即恒速進(jìn)動(dòng))。已知此回轉(zhuǎn)儀的自轉(zhuǎn)角速度為ω1，并知其轉(zhuǎn)軸與進(jìn)動(dòng)軸間的夾角θ=60o，求進(jìn)動(dòng)角速度ω2。第48頁，共61頁，2023年，2月20日，星期日第49頁，共61