信號頻域與時域分析

通信系統(tǒng)基本問題服務質(zhì)量信噪比/誤碼率性能抗干擾能力抵御/補償線性/非線性失真能力糾錯能力傳輸帶寬帶寬資源帶寬利用率色散與非線性效應的抑制能力傳輸距離傳輸損耗高發(fā)射功率高接收靈敏度性價比系統(tǒng)實現(xiàn)復雜度系統(tǒng)單位比特成本通信原理主要研究對象第一頁，共57頁。關于通信系統(tǒng)的研究通信系統(tǒng)要求足夠的帶寬足夠的功率帶寬與功率資源的充分利用理論研究方法研究信息的表達與度量研究通信信號的時域和頻域特征研究信號與噪聲的功率（能量）研究隨機信號的時域和頻域特征研究信道的特征第二頁，共57頁。大

綱基本概念信號頻域特性信號時域特性第三頁，共57頁。基本概念1/2確知信號與隨機信號確知信號：定義：能以確定的時間函數(shù)表示的信號，在定義域內(nèi)任意時刻都有確定的函數(shù)值示例：電路中的正弦信號和各種形狀的周期信號隨機信號：定義：不能用精確的數(shù)學關系式來描述，不能預測其未來任何時刻的準確值；具有統(tǒng)計規(guī)律性，可用概率統(tǒng)計方法來描述示例：半導體載流子隨機運動所產(chǎn)生的噪聲，雷達信號，所有的實際信號周期信號與非周期信號周期信號：非周期信號第四頁，共57頁?；靖拍?/2信號功率與能量信號功率：電流在單位電阻（1）上消耗的功率，即信號能量：信號平均功率：能量信號定義：能量為有限值的信號推論：能量信號的平均功率為零示例：數(shù)字信號中的單個碼元為能量信號功率信號定義：平均功率為有限值的信號推論：功率信號的能量為無窮大示例：廣播信號近似認為持續(xù)無限長時間，為功率信號適用于確知信號/隨機信號第五頁，共57頁。大

綱基本概念信號頻域特性信號時域特性第六頁，共57頁。能量信號頻譜密度與能量譜密度1/3能量信號頻譜密度能量信號及其頻譜：能量信號頻譜特點S(f)為連續(xù)譜：能量信號能量有限，平均功率為零，頻譜連續(xù)分布于頻率軸實能量信號頻譜對稱性：正負頻譜振幅偶對稱、相位奇對稱傅里葉變換對第七頁，共57頁。能量信號頻譜密度與能量譜密度2/3能量信號頻譜密度示例單位沖激函數(shù)頻譜密度單位階躍函數(shù)的頻譜密度？第八頁，共57頁。能量信號頻譜密度與能量譜密度3/3能量信號能量譜密度能量譜定義：實能量信號能量譜密度：第九頁，共57頁。功率信號頻譜與功率譜密度1/4周期性功率信號頻譜信號頻譜信號頻譜特點頻譜函數(shù)Cn為離散值雙邊譜，雙邊譜中負頻譜僅有數(shù)學意義，物理上不存在負頻率實信號（物理可實現(xiàn)）：正負頻譜振幅偶對稱，相位奇對稱周期性函數(shù)傅里葉級數(shù)展開第十頁，共57頁。功率信號頻譜與功率譜密度2/4周期性功率信號頻譜示例周期性方波信號非周期性功率信號：作為思考題？-T0T0實偶信號的頻譜為實函數(shù)第十一頁，共57頁。功率信號頻譜與功率譜密度3/4功率信號功率譜密度功率譜密度定義：功率信號能量無窮大，能量譜密度不存在。功率信號功率譜密度存在，需采用功率信號的截短信號計算。第十二頁，共57頁。功率信號頻譜與功率譜密度4/4功率信號功率譜密度（續(xù)）周期性功率信號功率：周期性功率信號功率譜密度：離散譜表式連續(xù)譜表式第十三頁，共57頁。大

綱基本概念信號頻域特性信號時域特性第十四頁，共57頁。自相關函數(shù)與互相關函數(shù)自相關函數(shù)數(shù)學定義：數(shù)學含義：s(t)及其時延后的相關程度對稱性：互相關函數(shù)數(shù)學定義：數(shù)學含義：s1(t)和s2(t)時延后的相關程度對稱性：第十五頁，共57頁。能量信號自相關函數(shù)與互相關函數(shù)1/2能量信號自相關函數(shù)定義：信號能量：自相關函數(shù)與能量譜密度的關系：第十六頁，共57頁。能量信號自相關函數(shù)與互相關函數(shù)2/2能量信號互相關函數(shù)定義：互相關函數(shù)與互能量譜密度的關系：互能量譜密度：第十七頁，共57頁。功率信號自相關函數(shù)與互相關函數(shù)1/2功率信號自相關函數(shù)定義：信號平均功率：周期性功率信號自相關函數(shù)與功率譜密度的關系：第十八頁，共57頁。功率信號自相關函數(shù)與互相關函數(shù)2/2功率信號互相關函數(shù)定義：周期性功率信號互相關函數(shù)與互功率譜密度的關系：互功率譜密度：第十九頁，共57頁。例題求單位沖激序列

的傅里葉變換解：若s(t)是周期為T的周期函數(shù)，則其可以作傅里葉變換：為周期函數(shù)，因此：單位沖激序列的傅里葉變換為：第二十頁，共57頁。小結信號類型：確知信號與隨機信號能量信號與功率信號能量信號：采用傅里葉變換分析方法。能量信號：采用截短函數(shù)傅里葉變換分析方法。信號頻域特性能量信號頻譜密度與能量譜密度功率信號頻譜與功率譜密度能量信號頻譜密度與周期性功率信號頻譜的比較能量信號連續(xù)譜：能量有限，平均功率為零，頻譜連續(xù)分布功率信號離散譜：功率有限，能量無限，頻譜離散分布信號時域特性能量信號自相關函數(shù)與互相關函數(shù)功率信號自相關函數(shù)與互相關函數(shù)第二十一頁，共57頁。第一章概論與基礎知識

隨機過程基礎（1）何永琪北京大學電子學系Tel：62756700；Mobile：Email：通信原理第二十二頁，共57頁。通信系統(tǒng)基本問題服務質(zhì)量信噪比/誤碼率性能抗干擾能力抵御/補償線性/非線性失真能力糾錯能力傳輸帶寬帶寬資源帶寬利用率色散與非線性效應的抑制能力傳輸距離傳輸損耗高發(fā)射功率高接收靈敏度性價比系統(tǒng)實現(xiàn)復雜度系統(tǒng)單位比特成本第二十三頁，共57頁。大

綱問題的提出隨機過程基本概念高斯隨機過程隨機過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機過程正弦波加窄帶高斯噪聲第二十四頁，共57頁。問題提出：如何處理噪聲1/342.8Gbit/s1200km光纖傳輸系統(tǒng)測試眼圖（NRZ碼型，電吸收調(diào)制）噪聲？信噪比？誤碼率？第二十五頁，共57頁。問題提出：如何處理噪聲2/3帶噪聲的信號波形示例1第二十六頁，共57頁。問題提出：如何處理噪聲3/3帶噪聲的信號波形示例2有無規(guī)律可尋?第二十七頁，共57頁。通信系統(tǒng)中的隨機信號通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘柣臼请S機信號系統(tǒng)的噪聲（熱噪聲、干擾噪聲、輻射噪聲、等等）均為隨機的隨機信號的分析方法對確定信號行之有效的分析方法（如：信號與系統(tǒng)的分析方法）不一定能夠直接應用于隨機信號分析研究隨機信號統(tǒng)計特性所采用的主要數(shù)學工具是隨機過程第二十八頁，共57頁。大

綱問題的提出隨機過程基本概念高斯隨機過程隨機過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機過程正弦波加窄帶高斯噪聲第二十九頁，共57頁?；靖拍?/3隨機變量定義：將觀察結果用一個變量來表示，如果變量的取值是隨機的，該變量稱為隨機變量分類：離散隨機變量，連續(xù)隨機變量描述方法：隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律用概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述樣本函數(shù)定義：樣本函數(shù)即為觀察結果的每次記錄（即一個確定的時間函數(shù)xi(t)）含義：樣本函數(shù)具有確定性隨機變量的每次觀察結果出現(xiàn)哪個樣本函數(shù)是不可預知的第三十頁，共57頁?；靖拍?/3隨機過程定義：通俗定義：隨機過程為全體樣本函數(shù)的集合xi(t),i=1,2,…,n數(shù)學定義：對給定概率空間(Ω,F,P)和一個參數(shù)集TR，若對每一個tT，均有定義在(Ω,F,P)上的一個隨機變量X(,t)（Ω）與之對應，稱依賴于參數(shù)t的隨機變量族X(,t)為隨機過程。Ω：全體可能組成的集合F：全體可觀測事件組成的事件族P：F上定義的一個取值于[0，1]區(qū)間的函數(shù)含義通信理論中的隨機過程通常是時間t的函數(shù)，記為(t)，

即(t)=xi(t),i=1,2,…,n在任意給定的時刻t1∈T，隨機過程ξ(t)的取值ξ(t1)是一個一維隨機變量隨機變量的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述第三十一頁，共57頁?；靖拍?/3隨機過程（續(xù)）示例：x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Snx(t)tk第三十二頁，共57頁。隨機過程的統(tǒng)計特性1/3隨機過程一維分布函數(shù)定義：局限性：隨機過程的一維函數(shù)僅能

描述隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)

計特性，而不能描述隨機過程在不

同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系第三十三頁，共57頁。隨機過程的統(tǒng)計特性2/3隨機過程n維分布函數(shù)定義：關于分布函數(shù)的維數(shù)：維數(shù)n越大，隨機過程統(tǒng)計特性的描述越充分維數(shù)n越大，數(shù)學描述與分析方法越復雜實際應用中需在維數(shù)和分析復雜性之間找平衡第三十四頁，共57頁。隨機過程的統(tǒng)計特性3/3隨機過程與隨機變量的對比隨機變量隨機過程概率分布函數(shù)概率密度函數(shù)第三十五頁，共57頁。數(shù)字特征1/3均值（數(shù)學期望）方差相關函數(shù)兩時刻所得隨機變量的統(tǒng)計相關性

第三十六頁，共57頁。數(shù)字特征2/3協(xié)方差協(xié)方差與相關函數(shù)的關系互相關函數(shù)互協(xié)方差第三十七頁，共57頁。數(shù)字特征3/3隨機過程（噪聲、信號）相關函數(shù)數(shù)學期望方差統(tǒng)計、觀測、計算目標：獲得某時刻的平均值、某時刻偏離平均值的程度、兩時刻間的相關程度第三十八頁，共57頁。隨機過程的平穩(wěn)性1/3平穩(wěn)隨機過程應用廣泛，對通信研究意義重大第三十九頁，共57頁。隨機過程的平穩(wěn)性2/3狹義平穩(wěn)隨機過程定義：即為任何n維概率密度函數(shù)與時間起點無關含義：平穩(wěn)隨機過程統(tǒng)計特性與時間推移無關，從而隨機過程分析大大地簡化特例：一維情況：一維分布函數(shù)與時間無關二維情況：二維分布函數(shù)只與時間間隔=t2-t1有關第四十頁，共57頁。隨機過程的平穩(wěn)性3/3廣義平穩(wěn)隨機過程（弱平穩(wěn)、寬平穩(wěn)過程）平穩(wěn)隨機過程的數(shù)字特征均值與時間無關，即為常數(shù)自相關函數(shù)只與時間間隔有關，即定義：滿足上述兩個條件的隨機過程即為廣義平穩(wěn)隨機過程理解：狹義平穩(wěn)隨機過程必是廣義平穩(wěn)隨機過程，反之不一定成立適用性：通信系統(tǒng)中的信號與噪聲通?？梢暈槠椒€(wěn)隨機過程第四十一頁，共57頁。隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性1/4問題的提出隨機過程的分析是基于其所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但大量樣本的公測實際上很難實現(xiàn)能否從一次觀測所得樣本函數(shù)確定隨機過程數(shù)字特征第四十二頁，共57頁。隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性2/4概念：各態(tài)歷經(jīng)性過程的數(shù)字特征完全可由任一實現(xiàn)的時間平均值確定條件：假設x(t)是平穩(wěn)隨機過程ξ(t)的任意一個實現(xiàn)（樣本）,其時間均值和時間相關函數(shù)分別為若平穩(wěn)隨機過程使下式成立，則其具有各態(tài)歷經(jīng)性第四十三頁，共57頁。隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性3/4物理意義：從隨機過程得到任一實現(xiàn)，均經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)只須作一次考察就可求時間平均，無需作無限多次考察來求統(tǒng)計平均具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的適用性：確定隨機過程是否各態(tài)歷經(jīng)通常很困難。實際上，可以通過直覺來判斷時間平均和集總平均可不可以互換在分析沒有暫態(tài)效應的大多數(shù)通信信號時，可以假設隨機波形的均值和自相關函數(shù)為各態(tài)歷經(jīng)通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件第四十四頁，共57頁。隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性示例4/4隨機過程各態(tài)歷經(jīng)性的應用：隨機信號的平均功率問題得以解決第四十五頁，共57頁。數(shù)字特征相關函數(shù)R（t，t+）隨機過程ξ(t)（噪聲、信號）數(shù)學期望E[ξ(t)]方差D[ξ(t)]統(tǒng)計、觀測、計算如果平穩(wěn)與時間起點無關E[ξ(t)]=aD[ξ(t)]=σ2

R（）如果各態(tài)歷經(jīng)用時間平均代替集平均通信系統(tǒng)中所遇到的信號與噪聲一般都能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件*第四十六頁，共57頁。相關函數(shù)性質(zhì)1/4這里利用了當T→∞時，ξ(t)與ξ(t+T)沒有依賴關系，即統(tǒng)計獨立，且認為ξ(t)中不含周期分量時域性質(zhì)第四十七頁，共57頁。相關函數(shù)性質(zhì)2/4時域性質(zhì)（續(xù)）思考：相關是一個廣泛的概念，不僅可以用于隨機信號，也可以用于確知信號，對于確知信號，可以認為是某一樣本以概率為1出現(xiàn)的“特殊”的隨機過程，此時，樣本統(tǒng)計已經(jīng)沒有意義，同時，該隨機過程也非平穩(wěn)隨機過程。因此，對于確知信號，相關函數(shù)是指時間上的統(tǒng)計平均第四十八頁，共57頁。相關函數(shù)性質(zhì)3/4時域分析：隨機信號的平均值、偏離平均值的程度（方差）歸一化的直流交流功率，統(tǒng)計相關程度，都已經(jīng)清晰的描述頻域分析：對通信系統(tǒng)理論分析至關重要還差什么？頻率特性！*第四十九頁，共57頁。相關函數(shù)性質(zhì)4/4頻域性質(zhì)：維納-欣欽（Wiener-khintchine）定理

若隨機過程是廣義平穩(wěn)的，可用自相關函數(shù)的傅立葉變換得到其功率譜密度

對于非平穩(wěn)過程，用時間平均的代替R(),該定理同樣成立

第五十頁，共57頁。數(shù)字特征相關函數(shù)R（t，t+）隨機過程ξ(t)（噪聲、信號）數(shù)學期望E[ξ(t)]方差D[ξ(t)]統(tǒng)計、觀測、計算如果平穩(wěn)與時間起點無關E[ξ(t)]=mD[ξ(t)]=σ2

R（）如果各態(tài)歷經(jīng)用時