中考初三數(shù)學(xué)沖刺拔高專題訓(xùn)練(含答案)

中考數(shù)學(xué)沖刺拔高

專題訓(xùn)練

目錄

專題提升（一）數(shù)形結(jié)合與實(shí)數(shù)的運(yùn)算......................1

專題提升（二）代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值........................5

專題提升（三）數(shù)式規(guī)律型問(wèn)題.............................9

專題提升（四）整式方程（組）的應(yīng)用.......................15

專題提升（五）一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用................22

專題提升（六）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合................31

專題提升（七）二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用............41

專題提升（八）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用..............48

專題提升（九）以全等為背景的計(jì)算與證明..................54

專題提升（十）以等腰或直角三角形為背景的計(jì)算與證明60

專題提升（十一）以平行四邊形為背景的計(jì)算與證明..........69

專題提升（十二）與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明..............77

專題提升（十三）以圓為背景的相似三角形的計(jì)算與..........83

專題提升（十四）利用解直角三角形測(cè)量物體高度或?qū)挾?2

專題提升（十五）巧用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行證明與計(jì)算..................99

專題提升（十六）統(tǒng)計(jì)與概率的綜合運(yùn)用....................106

專題提升（一）數(shù)形結(jié)合與實(shí)數(shù)的運(yùn)算

類型之一數(shù)軸與實(shí)數(shù)

【經(jīng)典母題】

如圖Z1—1,通過(guò)畫邊長(zhǎng)為1的正方形的邊長(zhǎng)，就能準(zhǔn)確地把啦和一啦表示在數(shù)軸

上.

【思想方法】（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái),

數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以表示一個(gè)實(shí)數(shù).我們說(shuō)實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)——對(duì)應(yīng)；

（2）數(shù)形結(jié)合是重要的教學(xué)思想，利用它可以比較直觀地解決問(wèn)題.利用數(shù)軸進(jìn)行實(shí)

數(shù)的大小比較，求數(shù)軸上的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)，是中考的熱點(diǎn)考題.

【中考變形】

1.[2017.北市區(qū)一模]如圖Z1—2,矩形A5CD的邊AO長(zhǎng)為2,4B長(zhǎng)為1,點(diǎn)A在數(shù)

軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是一1,以A點(diǎn)為圓心，對(duì)角線AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)E,

A.小+1B.小

C.V5-1D.1一小

【解析】?.FO長(zhǎng)為2,長(zhǎng)為1,.,MC=^/22+l2=V5,〈A點(diǎn)表示一1,：.E

點(diǎn)表示的數(shù)為小一1.

2.[2016?婁底]已知點(diǎn)M,N,P,Q在數(shù)軸上的位置如圖Z1—3,則其中對(duì)應(yīng)的數(shù)的

絕對(duì)值最大的點(diǎn)是（D）

P

|/V|1MlIIlll|Q|>

-4-3-2-10123456

圖Zl-3

A.MB.NC.PD.Q

3.[2016?天津]實(shí)數(shù)a,匕在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖Zl—4所示，把一a,-b,0

按照從小到大的順序排列，正確的是（C）

-------k1U—>

a------0--b

圖Z1-4

A.—a<0<—bB.0<—a<—Z?

C.—Z?<0<—aD.0<—h<—a

【解析】?.,從數(shù)軸可知aVOVh,/.-b<0,-a>0,/.—Z?<0<-a.

4.[2017?余姚模擬]如圖Zl—5,數(shù)軸上的點(diǎn)A,B,C,D,E表示連續(xù)的五個(gè)整數(shù)，

若點(diǎn)A,E表示的數(shù)分別為x,y,且x+y=2,則點(diǎn)C表示的數(shù)為（B）

ABCDE

圖Z1-5

A.0B.1C.2D.3

【解析】根據(jù)題意，知y—x=4,即y=x+4,將y=x+4代入x+y=2,得x+x

+4=2,解得》=-1,則點(diǎn)A表示的數(shù)為-1,則點(diǎn)。表示的數(shù)為-1+2=1.

5.如圖Z1—6,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-2,3）,以點(diǎn)。為圓心，以

0P為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于（A）

A.-4和一3之間

C.一5和一4之間D.4和5之間

【解析】?.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,3）,

OP=N2?+32=小.

,點(diǎn)A,P均在以點(diǎn)。為圓心，以。尸為半徑的圓上，

.".oA=op=-\in,

V9<13<16,.,.3<A/T3<4.

?點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，

...點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于一4和一3之間.故選A.

6.[2017.成都改編]如圖Z1—7,數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是_二也

-3-2A-0123

圖Z1-7

【中考預(yù)測(cè)】

如圖Z1—8,數(shù)軸上的點(diǎn)A,8分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a,b,下列結(jié)論中正確的是（C）

---A?-----?-------B?->

0

圖Z1-8

A.a>bB.\a\>\b\

C.~a<bD.a+b<Q

【解析】由圖知，aVOVb且|a|V|M,：,a+b>0,即一?！磧汗蔬xC.

類型之二實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算

【經(jīng)典母題】

計(jì)算：2X（3+小）+4-2義小.

解：2><（3+?。?4-2><小=2X3+2*芯+4-2><小=6+4+2乂小-2*小=

10.

【中考變形】

1.[2016?臺(tái)州]計(jì)算：幣----1+2?

解：原式=2—T+g=2.

2.[2017?臨沂]計(jì)算：|1一立|+2cos45°一m+（，.

解：11-^2|+2cos45°-A/8+L啦-1+2X坐-2啦+2=/-1+6一2啦

+2=1.

3.[2017.瀘州]計(jì)算：（-3）2+2017°—四*S皿45°.

解：（-3）2+2017°-V^Xsin45°=9+1-3&X乎

=10-3=7.

【中考預(yù)測(cè)】

計(jì)算：V12-3tan30°+（n-4）°-.

解：配一3tan3O°+（兀-4）°—g）'=24-3義當(dāng)+1-2=小-1.

專題提升(二)代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

類型之一整式的化簡(jiǎn)與求值

【經(jīng)典母題】

已知尤+y=3,孫=1,你能求出d+J的值嗎？(》一月2呢？

解：x2+y2=(x+y)2_2x}>=32_2X1=7；

(%—y)2=(x+^)2—4xy=32—4X1=5.

【思想方法】利用完全平方公式求兩數(shù)平方和或兩數(shù)積等問(wèn)題，在化簡(jiǎn)求值、一

元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系中有廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)了整體思想、對(duì)稱思想，是中考熱

點(diǎn)考題.

完全平方公式的一■些主要變形有：(a+bf+m—/?)2=2(/+/),(a+A)2—(a—Z?)2=

4ab,a2+b2=(a+b)2—2ab=::(a—b)2+2ab,在四個(gè)量a+仇a~b,aha2+b2+,

知道其中任意的兩個(gè)量，能求出(整體代換)其余的兩個(gè)量.

【中考變形】

1.已知(機(jī)一”)2=8,(機(jī)+〃)2=2,則/+“2的值為(C)

A.10B.6C.5D.3

2.已知實(shí)數(shù)。滿足a—(=3,則<?+"的值為1].

【解析】將"一十=3兩邊平方，可得2+方=9,即E+*=ii.

3.[2017.重慶B卷]計(jì)算：(x+yf-x^y-x).

解：原式nd+lry+y1—2盯+九2=2/+),2.

4.[2016.漳州]先化簡(jiǎn)(a+l)(a—l)+a(l—a)—a,再根據(jù)化簡(jiǎn)結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)該代數(shù)式的

值與a的取值有什么關(guān)系(不必說(shuō)明理由)？

解：原式=4—1+a—q=-].

故該代數(shù)式的值與a的取值沒(méi)有關(guān)系.

【中考預(yù)測(cè)】

先化簡(jiǎn)，再求值：(a—b)2+a(2。-a),其中a=—

b=3.

解：原式=。2—2a/?+〃+2a/>—/=/.

當(dāng)a=—3，8=3時(shí)，原式=3?=9.

類型之二分式的化簡(jiǎn)與求值

【經(jīng)典母題】

'工替小。ba2+b2

計(jì)算：(1%—[―R-；

尢12—4

x+2X

cT—b1/+/~2b22b

解：(1)原式=

abababa

22

_3x(x+2)—x(x—2)x-42X2+8Xx—4

⑵原式v=G—2)(x+2)=?\~----=2x+8.

x.r—4

【思想方法】(1)進(jìn)行分式混合運(yùn)算時(shí)，一定要注意運(yùn)算順序，并結(jié)合題目的具體

情況及時(shí)化簡(jiǎn)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程；

(2)注意適當(dāng)?shù)乩眠\(yùn)算律，尋求更合理的運(yùn)算途徑；

(3)分子分母能因式分解的應(yīng)進(jìn)行分解，并注意符號(hào)的處理，以便尋求組建公分母

而約分化簡(jiǎn)；

(4)要注意分式的通分與解分式方程去分母的區(qū)別.

【中考變形】

-.(3,八a?—2a+l

1.[2017?重慶A卷]計(jì)算：[而+a-2廣一“十2一

盾+.(3,(a—l)2

解:原式-Q+2+a+2卜a+2

(a+1)(〃-1)a+2a+1

2

Q+2(a—1)a—1

2.[2017.攀枝花]先化簡(jiǎn)，再求值：(1-%)?呆，其中x=2.

..._x+1-2X(尤+1)

解：原式v=x+]

(x+1)(%—1)

X-1X(x+1)x

-------?----------------------------------

%+1(x+i)(%—1)%+r

、22

當(dāng)x=2時(shí)，原式=2+]=§?

【中考預(yù)測(cè)】

B-4x+3]I*—2x+]2、廿

先化簡(jiǎn)，再求值:x-3-一石或/-3%+2-二其中"=4.

區(qū)*—4x+3]丫(x—1)22

'3式一[x~3%—3X(x-1)(x-2)x~2_

(.x—2)2(x-12](x-2)2x—3

x~3Q—2x—2)x~3x~2

=x-2.當(dāng)x=4時(shí)，原式=》-2=2.

類型之三二次根式的化簡(jiǎn)與求值

【經(jīng)典母題】

己知〃=小+也，b=小一寸1,求i?一必+/的值.

解：*.Z=S+&,b=小一版:.a+b=2?ab=\,

：.a2~ab+b2=(a+bf-3ab=(2^3)2-3=9.

【思想方法】在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)求值時(shí)，常常用整體思想，把a(bǔ)+b,a-b,ab

當(dāng)作整體進(jìn)行代入.整體思想是很重要的數(shù)學(xué)思想，利用其解題能夠使復(fù)雜問(wèn)題變

簡(jiǎn)單.整體思想在化簡(jiǎn)、解方程、解不等式中都有廣泛的應(yīng)用，是中考重點(diǎn)考查的

數(shù)學(xué)思想方法之一.

【中考變形】

1.已知加=1+啦，〃=i-6，則代數(shù)式q+〃2—3〃"?的值為(c)

A.9B.±3

C.3D.5

2.[2016?仁壽二模]先化簡(jiǎn)，再求值：“一鄧￡壽其中。=6+1,b=巾一

1.

翩盾卡_______(〃一])2二一一aa-b.ab一ab

''"(a+〃)(a-b)?aba+bb-aa+b"

1___V2

當(dāng)。=6+1,人=啦一1時(shí)，原式=

~2y/2~~4,

3"2017.綿陽(yáng)］先化簡(jiǎn)，再求值：上寶力一其中》=2啦，

解：原式=_(x-；)2-"Gr-2y)

f-l—

=9-yx—2yj*x—2y

(x—2y)一(%—y).y

(冗一y)(x-2y)J*x-2y

---------—-y-------?-x-~-2-y：——--1-

(x-y)(.x—2y,)yx~y

當(dāng)x=2巾,y=也時(shí)，原式=_不5=_0=_2.

【中考預(yù)測(cè)】

先化簡(jiǎn)，再求值：-7V+T+-（'；］、，其中

a+bba（a十。）22

4a：+a(a+Z?)+/(a+0)a+b

解：原式=—ab(a+h)=ab(a+〃)=丁，

…韋1+肉”,ab書1又號(hào)■=】,

原式=yf~5.

專題提升（三）數(shù)式規(guī)律型問(wèn)題

【經(jīng)典母題】

觀察下列各式：

52=25；

“2=225；

252=625；

352=1225;

你能口算末位數(shù)是5的兩位數(shù)的平方嗎？請(qǐng)用完全平方公式說(shuō)明理由.

解：把末位數(shù)是5的自然數(shù)表示成10。+5的一般形式，其中a為自然數(shù)，

貝M10a+5）2=100a2+100a+25=100a（a+1）+25,

因此在計(jì)算末位數(shù)是5的自然數(shù)的平方時(shí)，只要把100。與a+1相乘，并在積的后

面加上25即可得到結(jié)果.

【思想方法】模型化思想和歸納推理的思想在中考中應(yīng)用廣泛，是熱點(diǎn)考題之一.

【中考變形】

1.小明在做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結(jié)果：

3-2=1；

8+7-6-5=4；

15+14+13-12-11-10=9；

24+23+22+21-20-19-18-17=16；

根據(jù)以上規(guī)律可知第10行左起第1個(gè)數(shù)是（C）

A.100B.121C.120D.82

【解析】根據(jù)規(guī)律可知第10行等式的右邊是1。2=100,等式左邊有20個(gè)數(shù)加減.

這20個(gè)數(shù)是120+119+1184---F111-110-109-108-----102—101,，左起第

1個(gè)數(shù)是120.

2.[2016?邵陽(yáng)版口圖Z3—1,下列各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此

規(guī)律，最后一個(gè)三角形中y與〃之間的關(guān)系是B)

圖Z3-1

A.y=2n+lB.y=2"+〃

C.y=2n+i+nD.y=T+n+\

【解析】?.?觀察可知：左邊三角形的數(shù)字規(guī)律為1,2,…，n,右邊三角形的數(shù)字

規(guī)律為21，22-,2",下邊三角形的數(shù)字規(guī)律為1+2,2+2?,...〃+2”，，最后

一個(gè)三角形中y與〃之間的關(guān)系為y=T+n.

3.[2018?中考預(yù)測(cè)]根據(jù)圖Z3—2中箭頭的指向規(guī)律，從2017到2018再到2019,

箭頭的方向是下列選項(xiàng)中的（D）

{—>25_^69_do

ILTLT1

03478

圖Z3-2

ABCD

【解析】由圖可知，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

20174-4=504.......1,

A2017是第505個(gè)循環(huán)組的第2個(gè)數(shù)，

...從2017至2018再到2019,箭頭的方向是

故選D.

4.挑游戲棒是一種好玩的游戲，游戲規(guī)則：當(dāng)一根棒@⑥⑦條

，⑧⑨

沒(méi)有被其他棒條壓著時(shí)，就可以把它往上拿走.如圖

Z3—3中，按照這一規(guī)則，第1次應(yīng)拿走⑨號(hào)棒,①第2

⑩

次應(yīng)拿走⑤號(hào)棒，…則第6次應(yīng)拿走

(D)

A.②號(hào)棒B.⑦號(hào)棒圖Z3-3

C.⑧號(hào)棒D.⑩號(hào)棒

【解析】仔細(xì)觀察圖形，第1次應(yīng)拿走⑨號(hào)棒，第2次應(yīng)拿走⑤號(hào)棒，第3次應(yīng)

拿走⑥號(hào)棒，第4次應(yīng)拿走②號(hào)棒，第5次應(yīng)拿走⑧號(hào)棒，第6次應(yīng)拿走⑩號(hào)棒.

5.［2017?煙臺(tái)］用棋子擺出下列一組圖形（如圖Z3-4）：

????????????

①②③

圖Z3-4

按照這種規(guī)律擺下去，第〃個(gè)圖形用的棋子個(gè)數(shù)為（D）

A.3/1B.6〃

C.3〃+6D.3/1+3

【解析】；第1個(gè)圖需棋子3+3=6;第2個(gè)圖需棋子3X2+3=9;第3個(gè)圖需

棋子3X3+3=12;….?.第〃個(gè)圖需棋子（3〃+3）個(gè).

6.古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1,3,6,10,15,21,…叫做三角形數(shù)，其中1是第1個(gè)三角

形數(shù)，3是第2個(gè)三角形數(shù)，6是第3個(gè)三角形數(shù)，…以此類推，那么第9個(gè)三角

形數(shù)是45,2016是第3_個(gè)三角形數(shù).

【解析】根據(jù)所給的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：第〃個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+…+〃，則第9個(gè)三

角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;由1+2+3+4+…+〃=

n（〃+1）

2016,得----2------=2016,解得〃=63（負(fù)數(shù)舍去）.

7.操場(chǎng)上站成一排的100名學(xué)生進(jìn)行報(bào)數(shù)游戲，規(guī)則是：每位同學(xué)依次報(bào)自己的順序

數(shù)的倒數(shù)加1.如:第1位同學(xué)報(bào)第2位同學(xué)報(bào)&+1）,第3位同學(xué)報(bào)…

這樣得到的100個(gè)數(shù)的積為101.

1213

【解析】??,第1位同學(xué)報(bào)的數(shù)為：+1奇，第2位同學(xué)報(bào)的數(shù)為:+1=宗第3位

14

同學(xué)報(bào)的數(shù)為§+1=?…

.?.第100位同學(xué)報(bào)的數(shù)為志+1=需，

...這樣得到的100個(gè)數(shù)的積=半2X3］義4）乂…X器101=101.

8.［2017.濰坊］如圖Z3—5,自左至右，第1個(gè)圖由1個(gè)正六邊形、6個(gè)正方形和6個(gè)

等邊三角形組成；第2個(gè)圖由2個(gè)正六邊形、11個(gè)正方形和10個(gè)等邊三角形組成;

第3個(gè)圖由3個(gè)正六邊形、16個(gè)正方形和14個(gè)等邊三角形組成；…按照此規(guī)律，

第n個(gè)圖中正方形和等邊三角形的個(gè)數(shù)之和為9〃+3.

圖Z3-5

【解析】?.?第1個(gè)圖由1個(gè)正六邊形、6個(gè)正方形和6個(gè)等邊三能形組成，...正方

形和等邊三角形的和=6+6=12=9+3;?:第2個(gè)圖由11個(gè)正方形和10個(gè)等邊三

角形組成，正方形和等邊三角形的和=11+10=21=9X2+3;?.?第3個(gè)圖由16

個(gè)正方形和14個(gè)等邊三能形組成，...正方形和等邊三角形的和=16+14=30=9X3

+3,….?.第〃個(gè)圖中正方形和等邊三角形的個(gè)數(shù)之和=9〃+3.

9.觀察下列等式：

第一個(gè)等式：.|=］1啦=6-1；

第二個(gè)等式：＜22=?。菪?小一小；

第三個(gè)等式：的=［尢=2—仍；

第四個(gè)等式：的=5云=小一2；

按上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題:

⑴用含〃的代數(shù)式表示第〃個(gè)等式：斯=

（2）0…+a”=-1

［解析】0+〃2+的+…+斯=（地一1）+（小一也）+（2—仍）+（小-2）+???+

（《/+1-y[n）=yjn+1-1.

10.［2016?山西］如圖Z3—6是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成,

其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第〃個(gè)圖案中有徐+1個(gè)涂有陰影的

小正方形(用含有n的代數(shù)式表示).

第1個(gè)

圖Z3-6

【解析】由圖可知，涂有陰影的小正方形有5+4(〃-1)=4〃+1(個(gè)).

11.如圖Z3—7是用長(zhǎng)度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案，第1個(gè)圖案中有6

根小棒，第2個(gè)圖案中有11根小棒，…則第〃個(gè)圖案中有5〃+1根小棒.

△AAAAA

①②③

圖Z3-7

【解析】?.?第1個(gè)圖案中有6根小棒，第2個(gè)圖案中有6+5X1=11根小棒，第3

個(gè)圖案中有6+5X2=16根小棒，…，第n個(gè)圖案中有6+5(〃-1)=5〃+1根小棒.

12.《莊子?天下篇》中寫道：“一尺之梅，日取其半，萬(wàn)世不竭."意思是：一根一

尺的木棍，如果每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也取不完，如圖Z3—8所示.

由圖易得:+/----卜］=1攝.

JL11

一2一一一5?一

H-----------1-----------H

圖Z3—8

13.［2016.安徽］(1)觀察圖Z3—9中的圖形與等式的關(guān)系，并填空：

?o

O??(=>??1+3=2?；

?oo

(=>??o1+3+5-32；

oo??????

?ooo

更一??oo

_o_o.???o

doo????(=>????l+3+5+7=_4L_；

?ooo?--o

o????OO...o

00???l=>???o???o2

ooo???????????ol+3+5+7+???+(2nr-l)=n

O0oo???????第甯亍????

圖Z3-9

2

【解析】1+3+5+7=16=42,觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1+3=22,1+34-5=3,1+3

+5+7=4?,…...1+3+5+…+(2〃-1)=〃2.

⑵觀察圖Z3—10,根據(jù)(1)中結(jié)論，計(jì)算圖中黑球的個(gè)數(shù)，用含有〃的代數(shù)式填空:

第昭

第兀+1行

第研2行

圖Z3-10

1+3+5+…+(2〃-1)+2〃+1+(2〃—1)+…+5+3+1=2〃?+2〃+1.

【解析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：圖中黑球可分為三部分，1到〃行，第〃+1行，〃+2行

到2〃+1行，即1+3+5+…+(2〃-1)+[2(〃+1)—1]+(2〃-1)+3+5+3+1=1

+3+5+。"+(2〃-1)+(2〃+1)+(2〃-1)+…+5+3+1=，+2〃+1+/I2=2/?2+2M

+1.

【中考預(yù)測(cè)】

一種長(zhǎng)方形餐桌的四周可坐6人用餐，現(xiàn)把若干張這樣的餐桌按如圖Z3-11方式

進(jìn)行拼接.

(1)若把4張、8張這樣的餐桌拼接起來(lái)，四周分別可坐多少人？

(2)若用餐的人數(shù)有90人，則這樣的餐桌需要多少?gòu)垼?/p>

CZ)(ZZlCZ)CZJCZ]CZ]

(ZZ)(ZZ)IZZICZ)(ZZICZI

圖Z3-11

解：(1)把4張餐桌拼起來(lái)能坐4X4+2=18(人)；

把8張餐桌拼起來(lái)能坐4X8+2=34(人)；

⑵設(shè)這樣的餐桌需要x張，由題意，得4x+2=90,

解得x=22.

答：這樣的餐桌需要22張.

專題提升（四）整式方程（組）的應(yīng)用

類型之一一元一次方程的應(yīng)用

【經(jīng)典母題】

汽車隊(duì)運(yùn)送一批貨物.若每輛車裝4t,還剩下8t未裝；若每輛車裝4.5t,恰好裝

完.這個(gè)車隊(duì)有多少輛車？

解：設(shè)這個(gè)車隊(duì)有九輛車，依題意，得

4x+8=4.5x,解得x=16.

答：這個(gè)車隊(duì)有16輛車.

【思想方法】利用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題是學(xué)習(xí)二元一次方程組、分式方程、

一元二次方程、一元一次不等式（組）等的基礎(chǔ)，是課標(biāo)要求，也是熱門考點(diǎn).

【中考變形】

1.學(xué)校機(jī)房今年和去年共購(gòu)置了100臺(tái)計(jì)算機(jī)，已知今年購(gòu)置計(jì)算機(jī)數(shù)量是去年購(gòu)置

計(jì)算機(jī)數(shù)量的3倍，今年購(gòu)置計(jì)算機(jī)的數(shù)量是（C）

A.25臺(tái)B.50臺(tái)

C.75臺(tái)D.100臺(tái)

【解析】設(shè)今年購(gòu)置計(jì)算機(jī)的數(shù)量是x臺(tái)，去年購(gòu)置計(jì)算機(jī)的數(shù)量是（100—x）臺(tái)，

根據(jù)題意可得x=3（100—x）,解得x=75.

2.[2016?鹽城校級(jí)期中]小明的媽媽在菜市場(chǎng)買回3斤蘿卜、2斤排骨，準(zhǔn)備做蘿卜排

骨湯.媽媽說(shuō)：“今天買這兩樣菜共花了45元，上月買同重量的這兩種菜只要36

元”.爸爸說(shuō)：“報(bào)紙上說(shuō)了蘿卜的單價(jià)上漲50%,排骨單價(jià)上漲20%”.小明

說(shuō)：爸爸、媽媽，我想知道今天買的蘿卜和排骨的單價(jià)分別是多少？

請(qǐng)你通過(guò)列一元一次方程求解這天蘿卜、排骨的單價(jià)（單位：元/斤）.

36—3x

解：設(shè)上月蘿卜的單價(jià)是x元/斤，則排骨的單價(jià)2元/斤，根據(jù)題意，得3（1+

36-3x

50%)x+2(1+20%)|=45,

36-3%36-3X2

=15.

解得x=2,則2

.?.這天蘿卜的單價(jià)是（1+50%）*2=3（元/斤）,

這天排骨的單價(jià)是（1+20%）*15=18（元/斤）.

答：這天蘿卜的單價(jià)是3元/斤，排骨的單價(jià)是18元/斤.

【中考預(yù)測(cè)】

[2016.株洲模擬]根據(jù)如圖Z4—1的對(duì)話，分別求小紅所買的筆和筆記本的價(jià)格.

圖Z4-1

解：設(shè)筆的價(jià)格為x元/支，則筆記本的價(jià)格為3尤元/本，

由題意，得10x+5X3x=30,

解得x=1.2,.\3x=3.6.

答：筆的價(jià)格為1.2元/支，筆記本的價(jià)格為3.6元/本.

類型之二二元一次方程組的應(yīng)用

【經(jīng)典母題】

用如圖Z4—2①中的長(zhǎng)方形和正方形紙板做側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式

兩種無(wú)蓋紙盒.現(xiàn)在倉(cāng)庫(kù)里有1000張正方形紙板和2000張長(zhǎng)方形紙板，問(wèn)兩種

紙盒各做多少個(gè)，恰好將庫(kù)存的紙板用完？

□□OS

長(zhǎng)方形正方形豎式橫式

①②

圖Z4-2

解：設(shè)做豎式紙盒x個(gè)，橫式紙盒y個(gè)，可恰好將庫(kù)存的紙板用完.

4x4-3^=2000,rx=2Q0,

根據(jù)題意，得，,■解得《

、x+2一v=1000,J=400?

答：豎式紙盒做200個(gè)，橫式紙盒做400個(gè)，恰好將庫(kù)存的紙板用完.

【思想方法】利用方程（組）解決幾何計(jì)算問(wèn)題，是較好的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合

思想.

【中考變形】

1.小華寫信給老家的爺爺，問(wèn)候“八?一”建軍節(jié).折疊長(zhǎng)方形信紙，裝入標(biāo)準(zhǔn)信封

時(shí)發(fā)現(xiàn)：若將信紙按圖Z4—3①連續(xù)兩次對(duì)折后，沿著信封口邊線裝入時(shí)寬綽3.8

cm；若將信紙按圖②三等分折疊后，同樣方法裝入時(shí)寬綽1.4cm.試求出信紙的紙

長(zhǎng)與信封的口寬.

寬綽3.8cm

①

--------------H.........................小,寬綽1.4cm

功功1

②

圖Z4-3

解：設(shè)信紙的紙長(zhǎng)為xcm,信封口的寬為ycm.

卜與+3.8,卜=28.8,

由題意，得〈解得

y=]+1.4,3-1L

答：信紙的紙長(zhǎng)為28.8cm,信封的口寬為11cm.

2.某中學(xué)新建了一棟四層的教學(xué)樓，每層樓有10間教室，進(jìn)出這棟教學(xué)樓共有4個(gè)

門，其中兩個(gè)正門大小相同，兩個(gè)側(cè)門大小也相同.安全檢查中，對(duì)4個(gè)門進(jìn)行了

測(cè)試，當(dāng)同時(shí)開啟一個(gè)正門和兩個(gè)側(cè)門時(shí)，2min內(nèi)可以通過(guò)560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)

開啟一個(gè)正門和一個(gè)側(cè)門時(shí)，4min內(nèi)可以通過(guò)800名學(xué)生.

(1)求平均每分鐘一個(gè)正門和一個(gè)側(cè)門各可以通過(guò)多少名學(xué)生？

(2)檢查中發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)緊急情況時(shí)，因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20%,安全檢查

規(guī)定：在緊急情況下全樓的學(xué)生應(yīng)在5min內(nèi)通過(guò)這4個(gè)門安全撤離，假設(shè)這棟教

學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問(wèn)：該教學(xué)樓建造的這4個(gè)門是否符合安全規(guī)

定？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)設(shè)一個(gè)正門平均每分鐘通過(guò)x名學(xué)生，一個(gè)側(cè)門平均每分鐘通過(guò)y名學(xué)生，

由題意，得

2x+4)，=560,x=120,

解得

4x+4y=800,ly=80.

答：一個(gè)正門平均每分鐘通過(guò)120名學(xué)生，一個(gè)側(cè)門平均每分鐘通過(guò)80名學(xué)生；

(2)由題意得共有學(xué)生45X10X4=1800(人)，

45

學(xué)生通過(guò)的時(shí)間為1800^[(120+80)X0.8X2]=v(min).

45

5O二該教學(xué)樓建造的這4個(gè)門不符合安全規(guī)定.

【中考預(yù)測(cè)】

隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的到來(lái)，一種新型的手機(jī)打車方式受到大眾歡迎，該打車方

式的總費(fèi)用由里程費(fèi)和耗時(shí)費(fèi)組成，其中里程費(fèi)按p元/km計(jì)算，耗時(shí)費(fèi)按q元/min

計(jì)算(總費(fèi)用不足9元按9元計(jì)價(jià)).小明、小剛兩人用該打車方式出行，按上述計(jì)

價(jià)規(guī)則，其打車總費(fèi)用、行駛里程數(shù)與車速如下表：

速度y(km/h)里程數(shù)s(km)車費(fèi)(元)

小明60812

小剛501016

(1)求p,q的值；

(2)如果小華也用該打車方式，車速55km/h,行駛了11km,那么小華的打車總費(fèi)

用為多少？

解：(1)小明的里程數(shù)是8km,時(shí)間為8min;小剛的里程數(shù)為10km,時(shí)間為12min.

8P+8q=12,P=l，

由題意得解得1

10/7+12^=16,4=5；

(2)小華的里程數(shù)是11km,時(shí)間為12min.

則總費(fèi)用是llp+12夕=17(元).

類型之三一元二次方程的應(yīng)用

【經(jīng)典母題】

某租賃公司擁有汽車100輛，據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租

出，每輛車的月租金每增加50元，未租出的車將會(huì)增加1輛.租出的車每輛每月

需要維護(hù)費(fèi)為150元，未租出的車每輛每月只需要維護(hù)費(fèi)50元.

(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛？

(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益(租金收入扣除維護(hù)費(fèi))可達(dá)

至IJ306600元？

印，3600-3000,

解：(1)100-----而----=88(輛).

答：當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出88輛.

(2)設(shè)每輛車的月租金定為(3000+x)元，則

(10°一言｝G000+x)-150]一點(diǎn)X50=306600,

解得Xi=900,X2~I200,

A3000+900=3900(元)，3000+1200=4200(元).

答：當(dāng)每輛車的月租金為3900元或4200元時(shí)，月收益可達(dá)到306600元.

【思想方法】利潤(rùn)=收入一支出，即利潤(rùn)=租出去車輛的租金一租出去車輛的維護(hù)

費(fèi)一未租出去車輛的維護(hù)費(fèi).

【中考變形】

1.[2017.眉山]東坡某烘焙店生產(chǎn)的蛋糕禮盒分為6個(gè)檔次，第一檔次(即最低檔次)的

產(chǎn)品每天生產(chǎn)76件，每件利潤(rùn)10元.調(diào)查表明：生產(chǎn)提高一個(gè)檔次的蛋糕產(chǎn)品，

該產(chǎn)品每件利潤(rùn)增加2元.

(1)若生產(chǎn)的某批次蛋糕每件利潤(rùn)為14元，此批次蛋糕屬第幾檔次產(chǎn)品；

(2)由于生產(chǎn)工序不同，蛋糕產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次，一天產(chǎn)量會(huì)減少4件.若生產(chǎn)的

某檔次產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為1080元，該烘焙店生產(chǎn)的是第幾檔次的產(chǎn)品？

解：(1)設(shè)此批次蛋糕屬第a檔次產(chǎn)品，則10+23-1)=14,解得a=3.

答：此批次蛋糕屬第3檔次產(chǎn)品.

(或：一—+1=3,此批蛋糕屬第3檔次產(chǎn)品J

(2)設(shè)該烘焙店生產(chǎn)的是第九檔次的產(chǎn)品，

根據(jù)題意,得[10+2。-1)][76—43—1)]=1080,

解得修=5,尤2=11(舍去).

答：該烘熔店生產(chǎn)的是第5檔次的產(chǎn)品.

2.[2017.重慶B卷]某地大力發(fā)展經(jīng)濟(jì)作物，其中果樹種植已初具規(guī)模，今年受氣候、

雨水等因素的影響，櫻桃較去年有小幅度的減產(chǎn)，而枇杷有所增產(chǎn).

(1)該地某果農(nóng)今年收獲櫻桃和枇杷共400kg,其中枇杷的產(chǎn)量不超過(guò)櫻桃的產(chǎn)量的

7倍，求該果農(nóng)今年收獲櫻桃至少多少千克？

(2)該果農(nóng)把今年收獲的櫻桃、枇杷兩種水果的一部分運(yùn)往市場(chǎng)銷售.該果農(nóng)去年櫻

桃的市場(chǎng)銷售量為100kg,銷售均價(jià)為30元/kg,今年櫻桃的市場(chǎng)銷售量比去年減

少了加％,銷售均價(jià)與去年相同；該果農(nóng)去年枇杷的市場(chǎng)銷售量為200kg,銷售均

價(jià)為20元/kg,今年枇杷的市場(chǎng)銷售量比去年增加了2〃?％,但銷售均價(jià)比去年減少

了加％.該果農(nóng)今年運(yùn)往市場(chǎng)銷售的這部分櫻桃和枇杷的銷售總金額與他去年櫻桃

和枇杷的市場(chǎng)銷售總金額相同，求，”的值.

【解析】(1)根據(jù)“枇杷的產(chǎn)量不超過(guò)櫻桃的產(chǎn)量的7倍”即可列出不等式求得今

年收獲櫻桃的質(zhì)量；

(2)抓住關(guān)鍵語(yǔ)句，仔細(xì)梳理，根據(jù)去年、今年櫻桃銷售量、銷售均價(jià)，求出各自的

銷售額，可以用一張表格概括其中數(shù)量關(guān)系：

去年今年

銷售量銷售均價(jià)銷售額銷售量銷售均價(jià)銷售額

100X(1-3000X(1—〃?％)元

櫻桃100kg307C/kg3000元30元/kg

m%)kg

200X(1+20X(1-4000X(1+2m%)

枇杷200kg20元/kg4000元

2m%)kgm%)元/1<8X(l—m%)元

然后根據(jù)“今年櫻桃和枇杷的銷售總金額與去年櫻桃和枇杷的市場(chǎng)銷售總金額相

同”可列方程求解.

解：(1)設(shè)該果農(nóng)今年收獲櫻桃至少尤kg,今年收獲枇杷(400—x)kg,依題意，得

400—解得x250.

答：該果農(nóng)今年收獲櫻桃至少50kg.

(2)由題意，得3000X(1一機(jī)％)+4000X(l+2加%)X(1—m％)=7000,解得見(jiàn)=

0(不合題意，舍去)，m2=12.5.

答：機(jī)的值為12.5.

【中考預(yù)測(cè)】

某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400kg.經(jīng)市場(chǎng)

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20kg.

⑴當(dāng)每千克漲價(jià)多少元時(shí)，每天的盈利最多？最多是多少？

⑵若商場(chǎng)只要求保證每天的盈利為4420元，同時(shí)又可使顧客得到實(shí)惠，每千克應(yīng)

漲價(jià)多少元？

解：(1)設(shè)每千克漲價(jià)x元，總利潤(rùn)為y元.

貝Iy=(10+x)(400-20x)

=-20?+200x+4000=-20(x-5)2+4500.

當(dāng)x=5時(shí)，y取得最大值，最大值為4500元.

答：當(dāng)每千克漲價(jià)5元時(shí)，每天的盈利最多，最多為4500元；

(2)設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)a元，則(10+。)(400—20。)=4420.

解得a=3或a=7,

為了使顧客得到實(shí)惠，：.a=3.

答：每千克應(yīng)漲價(jià)3元.

專題提升（五）一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用

類型之一一次函數(shù)的圖象的應(yīng)用

【經(jīng)典母題】

'5x—2y+4=0,x=-2,

如圖Z5-1,由圖象得＜的解是《

.3x+2y+12=0J=—3

圖Z5-1

【思想方法】（1）每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)著兩條

直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，

以及這個(gè)函數(shù)值是何值：從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)

坐標(biāo)；

（2）一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式有著獨(dú)立的概念，但在本質(zhì)上，后者

是前者的特殊情況，從而可以利用函數(shù)圖象解決方程或方程組問(wèn)題，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)

合的思想.

【中考變形】

1.高鐵的開通，給衢州市民出行帶來(lái)了極大的方便.五一期間，樂(lè)樂(lè)和穎穎相約到杭

州市某游樂(lè)園游玩，樂(lè)樂(lè)乘私家車從衢州出發(fā)lh后，穎穎乘坐高鐵從衢州出發(fā)，

先到杭州火車東站，然后轉(zhuǎn)乘出租車去游樂(lè)園（換車時(shí)間忽略不計(jì)），兩人恰好同時(shí)

到達(dá)游樂(lè)園，他們離開衢州的距離），（km）與乘車時(shí)間r（h）的關(guān)系如圖Z5-2所示.請(qǐng)

結(jié)合圖象解決下列問(wèn)題：

高鐵

出租車

私家車

(1)高鐵的平均速度是每小時(shí)多少千米?

⑵當(dāng)穎穎到達(dá)杭州火車東站時(shí)，樂(lè)樂(lè)距離游樂(lè)園還有多少千米？

⑶若樂(lè)樂(lè)要提前18min到達(dá)游樂(lè)