大學物理-第三版-(下)答案-趙近芳

大學物理_第三版_(下)答案_趙近芳

大學物理習題及解答

習題八

8-1電量都是q的三個點電荷，分別放在正三角形的三個頂點．試問：(1)在這三角形的中心放一個什么樣的電荷，就可以使這四個電荷都達到平衡(即每個電荷受其他三個電荷的庫侖力之和都為零)?(2)這種平衡與三角形的邊長有無關(guān)系?

解:如題8-1圖示

(1)以A處點電荷為研究對象，由力平衡知：q'為負電荷

2

2

20)

33(

π4130cosπ41

2

aqqa

q

'=

?εε

解得q

q3

3-

='

(2)與三角形邊長無關(guān)．

題8-1圖題8-2圖

8-2兩小球的質(zhì)量都是m，都用長為l的細繩掛在同一點，它們帶有相同電量，靜止時兩線夾角為2θ,如題8-2圖所示．設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可以忽略不計，求每個小球所帶的電量．解:如題8-2圖示

??

???

===22

0)sin2(π41sincosθεθθlqFTmgTe

解得θπεθtan4sin20mglq=

8-3根據(jù)點電荷場強公式2

04r

qEπε=

，當被考察的場點距源點電荷很近(r→0)時，

則場強→∞，這是沒有物理意義的，對此應如何理解?

解:

2

0π4rr

qEε=

僅對點電荷成立，當0→r

時，帶電體不能再視為點電荷，再

用上式求場強是錯誤的，實際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場強不會是無限大．

8-4在真空中有A，B兩平行板，相對距離為d，板面積為S，其帶電量分別為

+q和-q．則這兩板之間有相互作用力f，有人說f=2

02

4dq

πε,又有人說，因為

f

=qE,

SqE0ε=

，所以f=Sq

02

ε．試問這兩種說法對嗎?為什么?f到底應等于多少?

解:題中的兩種說法均不對．第一種說法中把兩帶電板視為點電荷是不對的，第

二種說法把合場強

Sq

E0ε=

看成是一個帶電板在另一帶電板處的場強也是不對

的．正確解答應為一個板的電場為

S

qE02ε=

，另一板受它的作用力

S

q

S

qq

f02

022εε=

=，這是兩板間相互作用的電場力．

8-5一電偶極子的電矩為l

qp

=，場點到偶極子中心O

點的距離為r,矢量r

與l

的夾角為θ,(見題8-5圖)，且lr>>．試證P點的場強E在r方向上的分量rE和垂直于r的分量θE分別為

rE=302cosrpπεθ

,θE=3

04sinrpπεθ

證:如題8-5所示，將p分解為與r平行的分量θsinp和垂直于r的分量θsinp．

∵lr>>

∴場點P在r方向場強分量

3

0π2cosr

pErεθ=

垂直于r方向，即θ方向場強分量

3

00π4sinr

pEεθ=

題8-5圖題8-6圖

8-6長l=15.0cm的直導線AB上均勻地分布著線密度λ=5.0x10-9C·m-1的正電荷．試求：(1)在導線的延長線上與導線B端相距1a=5.0cm處P點的場強；(2)在導線的垂直平分線上與導線中點相距2d=5.0cm處Q點的場強．

解：如題8-6圖所示

(1)在帶電直線上取線元xd，其上電量qd在P點產(chǎn)生場強為

2

0)

(dπ41

dxax

EP-=

λε

2

22

)

(dπ4dxax

EEl

lPP-=

=

?

?-ελ

]

2

12

1[

π40

lal

a+

-

-

=

ελ

)

4(π2

20lal

-=

ελ

用15=lcm，9

10

0.5-?=λ1

mC-?,5.12=acm代入得2

1074.6?=PE1C

N-?

方向水平向右

(2)同理2

2

2

0ddπ41

d+=

xx

EQλε方向如題8-6圖所示

由于對稱性

?=l

QxE0

d，即

QE只有y分量，

∵

2

2

2

2

2

2

2

0dd

ddπ41

d++=

xxx

EQyλε

2

2π4ddελ?=

=

l

Qy

QyE

E?

-+22

2

3

22

2

)d(dl

lxx

2

2

2

d4π2+=ll

ελ

以9100.5-?=λ1

cmC-?,15=lcm,5d2=cm代入得

2

1096.14?==QyQEE1

CN-?，方向沿y軸正向

8-7一個半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為λ,求環(huán)心處O點的場強．解:如8-7圖在圓上取?Rddl=

題8-7圖

?

λλdddRlq==，它在O點產(chǎn)生場強大小為

2

0π4ddR

REε?

λ=

方向沿半徑向外

則

?

?ελ

?dsinπ4sindd0R

EEx=

=

?

?ελ?πdcosπ4)cos(dd0R

EEy-=

-=

積分

RR

Ex000

π2dsinπ4ελ

??ελ

π

=

=

?

dcosπ400

=-=

?

??ελ

π

R

Ey

∴

REEx0π2ελ

=

=，方向沿x軸正向．8-8均勻帶電的細線彎成正方形，邊長為l，總電量為q．(1)求這正方形軸線上離中心為r處的場強E；(2)證明：在lr>>處，它相當于點電荷q產(chǎn)生的場強E．

解:如8-8圖示，正方形一條邊上電荷

4q

在P點產(chǎn)生物強PEd方向如圖，大小為

()

4

π4coscosd2

2

21l

r

EP+

-=

εθθλ

∵

2

2cos2

2

1l

rl

+

=

θ

12coscosθθ-=

∴

2

4

π4d2

2

2

2

l

rl

l

r

EP+

+

=

ελ

PE

d在垂直于平面上的分量β

cosddPEE=⊥

∴

4

2

4

π4d2

2

2

2

2

2

l

r

r

l

r

l

r

l

E+

+

+

=

⊥ελ

題8-8圖

由于對稱性，P點場強沿OP方向，大小為

2)4(π44d42

2220lrlrlrEEP++=

?=⊥ελ

∵

lq4=λ∴

2)4(π422220lrlrqr

EP++=ε方向沿OP

8-9(1)點電荷q位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點電荷電場中穿過立方體的一個面的電通量；(2)如果該場源點電荷移動到該立方體的一個頂點上，這時穿過立方體各面的電通量是多少?*(3)如題8-9(3)圖所示，在點電荷q的電場中取半徑為R的圓平面．q在該平面軸線上的A點處，求：通過圓平面的電通量．(xR

arctan=α)

解:(1)由高斯定理

0dεqSEs?=

?立方體六個面，當q在立方體中心時，每個面上電通量相等∴各面電通量

06εqe=Φ．(2)電荷在頂點時，將立方體延伸為邊長a2的立方體，使q處于邊長a2的立方體

中心，則邊長a2的正方形上電通量06εqe=Φ

對于邊長a的正方形，如果它不包含q所在的頂點，則

024εqe=Φ，

如果它包含q所在頂點則0=Φe．

如題8-9(a)圖所示．題8-9(3)圖

題8-9(a)圖題8-9(b)圖題8-9(c)圖

(3)∵通過半徑為R的圓平面的電通量等于通過半徑為2

2xR+的球冠面的電通量，球冠面積*

]

1)[(π22

2

2

2

x

Rx

xR

S+-

+=

∴

)(π42

2

00

xRS

q+=

Φε02εq

=

[2

2

1x

R

x

+-

]

*關(guān)于球冠面積的計算：見題8-9(c)圖

α

αα

?

?=

dsinπ2rrSα

αα

?

?=0

2

dsinπ2r

)cos1(π22

α-=r

8-10均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm，外半徑10cm，電荷體密度為2×5

10-C·m-3

求

距球心5cm，8cm,12cm各點的場強．解:高斯定理

0dε∑?

=

?q

SEs

,

02

π4ε∑=

q

r

E

當5=rcm時，0

=∑

q

,0

=E

8=rcm時，∑

q3π

4p=3

(r)3內(nèi)r-

∴

()

2

02

3

π43

π

4r

rr

Eερ

內(nèi)

-=

4

10

48.3?≈1

C

N-?，方向沿半徑向外．

12

=rcm時,

3π

4∑

=ρ

q-3

(外r）內(nèi)3

r

∴

()

4

2

03

310

10.4π43

π

4?≈-=

r

rr

Eερ

內(nèi)

外

1C

N-?

沿半徑向外.

8-11半徑為1R和2R(2R＞1R)的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量λ和-λ,試求:(1)r＜1R；(2)1R＜r＜2R；(3)r＞2R處各點的場強．

解:高斯定理

0dε∑?=?qSEs取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積rlSπ2=則rlESESπ2d=??

對(1)1Rr0=∑

q∴0

=

E5

題8-12圖8-12兩個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為1σ和2σ，試求空間各處場強．

解:如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為1σ與2σ，

兩面間，nE)(21

210σσε-=

1σ面外，nE)(21210σσε+-=

2σ面外，

nE