2022-2023學年廣州市高二下期中考試數(shù)學模擬試卷及答案

第第1頁共30頁2022-2023學年廣州市高二下期中考試數(shù)學模擬試卷一．選擇題（共8小題）1（2021?乃東區(qū)校級一模）A．﹣1﹣i

的結果是（ ）C．1+i

D．﹣1+in 7 8 22021春?荔灣區(qū)校級期中已知各項不為0的等差數(shù)列{a}滿足a﹣a2a＝0{bn 7 8 b7＝a7b3b8b10＝（A．1 B．8

）C．4 D．232021春?番禺區(qū)校級期中）在第九個“全國交通安全日”當天，某交警大隊派出4名男33所學校進行交通安全教育宣傳，要求每所學校至少安排2人，且每所學校必須有1名女交警，則不同的安排方法有（ ）A．216種 B．108種 C．72種

D．36種4（2015?嘉興一模）已知直線1axy2＝0與直線：b﹣（a1y1＝0互相垂直，則|ab|的最小值為（A．5

）B．4 C．2 D．152021春?電白區(qū)期中X服從正態(tài)分布（8，1，考生共10000人，任選一考生數(shù)學單科分數(shù)在9～100分的概率為（ ）附：若隨機變呈ξ服從正態(tài)分布Nμ，σ2，則Pμ﹣σ＜≤+σ）＝68.27%（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝95.45%]A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%62021春?霞ft區(qū)校級期中）直線l與雙曲線： ＝a0＞0）的一條漸近lC：y2＝4xCA，B兩點，若|AB|＝6E的離心率為（ ）A．2

B． C． D．7（2021?全國模擬）至今已有四千多年歷史．圍棋不僅能抒發(fā)意境、陶冶情操、修身養(yǎng)性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策略、治國安邦等相關聯(lián)，蘊含著中華文化的豐富內涵．在某次國際圍棋比賽中，甲、乙兩人進入最后決賽．比賽采取五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結束．假設每局比賽甲勝乙的概率都為 ，且各局比賽的勝負互不影響，則在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為（ ）A． B． C． D．82016?新課標Ⅰ）若函數(shù)x）x﹣ 2xanx在（﹣∞∞）單調遞增，則a的取值范圍是（ ）A．[﹣1，1]

B．[﹣1， ]

C．[﹣ ， ] D．[﹣1，﹣ ]二．多選題（共4小題）（多選）9（2021春?荔灣區(qū)校級期中）下列判斷正確的是（ ）互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件在獨立性檢驗中，隨機變量2錯誤的概率越小線性回歸直線一定經過樣本中心點在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域越狹窄，其模型擬合的精度越高（多選）1（2021春?番禺區(qū)校級期中）如圖，已知長方體D﹣B1D1中，四邊形ABCD為正方形，AB＝2，AA1＝ ，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．則（ ）A．A1E⊥DFA1、E、F、C1四點共面C1DBB1C1C所成角的正切值為E﹣C1DF的體積為（多選）12021?石家莊模擬）函數(shù)（）2sinωx＞00＜π）的圖象如圖，把函數(shù)f（x）圖 象 ， 下 列 結 論 正

y＝g（x）的確 的 是 （ ）φ＝g（x）的最小正周期為π函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上單調遞增函數(shù)g（x）關于點（﹣ ，0）中心對稱第3頁共30頁第第4頁共30頁（多選）12（2021春?廣東期中）設函數(shù) ，gx）＝x，下列命題，正確的是（ ）f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）單調遞減不等關系πe＜π3＜eπ＜3π成立2 C．若0＜x1＜x2時，總有a（x2﹣x2）＞2g（x2）﹣2g（x1）恒成立，則a≥2 Dh（x）＝g（x）﹣mx2m∈（0，1）三．填空題（共4小題）1（2016?浙江若拋物線24x上的點M到焦點的距離為10則M到y(tǒng)軸的距離是 ．12021?興慶區(qū)校級一模）已式的常數(shù)項為 ．

的展開式中各二項式系數(shù)之和為256，則展開15（2021春?霞ft區(qū)校級期中）已知A（2，0，B0，1）

的兩個頂點直線與直線AB相交于點與橢圓相交于兩點若 ，則斜率k的值為 ．1（2021春?番禺區(qū)校級期中）在三棱錐﹣C中，⊥平面C，⊥，B6，ACP﹣ABCOD作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值為16π，則球O的表面積為 ．四．解答題（共6小題）172021）{annSn．求證：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；記 ，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．12021?海淀區(qū)一模）如圖，在四邊形DB∥B＝ ，

cos ．（Ⅰ）cos∠BDC；（Ⅱ）求BC的長．12021?涼ft州模擬）橢圓C： a＞＞0）的左焦點，且圓C經過點P0，，直線＝2﹣1k0）與C交于AB兩點（異于點P．C的方程；PAPB的斜率之和為定值，并求出這個定值．2（2021春?福田區(qū)校級期中）2021年7月1日，是中國共產黨建黨100周年紀念日，全參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)012參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)0123概率22人參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率；3人進行體檢（環(huán)節(jié)數(shù)為3的老黨員人數(shù)大于等于3，設隨機抽取的這3人中參加3個環(huán)節(jié)的老黨員同志有ξ名，求ξ的分布列．22017?四川模擬DEF分別是BCD，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于P．PBDBFDE；P﹣DE﹣F的余弦值．2（2021春?威寧縣期末）已知函數(shù) ．當＝3時，求曲線yfx）在點（1（1）處的切線方程；若對任意的[1+∞，都有fx）≥0成立，求a的取值范圍．第6頁共30頁第第10頁共30頁2022-2023學年廣州市高二下期中考試數(shù)學模擬試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1（2021?乃東區(qū)校級一模）A．﹣1﹣i

的結果是（ ）C．1+i

D．﹣1+i【考點】復數(shù)的運算．【分析】復數(shù)分母實數(shù)化，并化簡即可得到答案．【解答】解：復數(shù)故選：B．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的運算，是基礎題．n 7 8 22021春?荔灣區(qū)校級期中已知各項不為0的等差數(shù)列{a}滿足a﹣a2a＝0{bn 7 8 b7＝a7b3b8b10＝（A．1 B．8

）C．4 D．2【考點】等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】函數(shù)思想；轉化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學運算．a7＝2b7＝a7＝2b3b8b10的值．n 7 【解答】解：∵數(shù)列{a}是等差數(shù)列，且a6﹣a2+a＝0n 7 ∴ ，又a7≠0，∴a7＝2，則b7＝a7＝2，＝．故選：B．【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及性質，考查運算求解能力，是基礎題．32021春?番禺區(qū)校級期中）在第九個“全國交通安全日”當天，某交警大隊派出4名男33所學校進行交通安全教育宣傳，要求每所學校至少安排2人，且每所學校必須有1名女交警，則不同的安排方法有（ ）A．216種 B．108種 C．72種

D．36種【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【專題】計算題；轉化思想；定義法；排列組合；數(shù)學運算．【分析】分兩步，第一步，4名男交警到3所學校，每所學校至少一名，第二步，3名女交警到3所學校，每所學校一名，根據分步計數(shù)原理可得．4 【解答】解：第一步，4名男交警到3所學校，每所學校至少一名，有C2A3＝364 3第二步，33A3＝636×6＝216種，3故選：A．【點評】本題考查分步計數(shù)原理，考查了學生的計算能力，屬于基礎題．4（2015?嘉興一模）已知直線1axy2＝0與直線：b﹣（a1y1＝0互相垂直，則|ab|的最小值為（A．5

）B．4 C．2 D．1【考點】基本不等式及其應用；直線的一般式方程與直線的垂直關系．【專題】計算題．【分析】由題意可知直線的斜率存在，利用直線的垂直關系，求出a，b關系，然后求出ab的最小值．l1l2的斜率存在，且兩直線垂直，∴a2b﹣（a2+1）＝0，∴b＝ ＞0，當a＞0時，|ab|＝ab＝a+綜上，|ab|故選：C．

≥2；當a＜0時，|ab|＝﹣ab＝﹣a﹣ ≥2，【點評】此題考查了直線的一般式方程與直線的垂直關系，以及基本不等式的運用，熟練掌握直線垂直時滿足的關系是解本題的關鍵．52021春?電白區(qū)期中X服從正態(tài)分布（8，1，考生共10000人，任選一考生數(shù)學單科分數(shù)在9～100分的概率為（ ）附：若隨機變呈ξ服從正態(tài)分布Nμ，σ2，則Pμ﹣σ＜≤+σ）＝68.27%（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝95.45%]A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【專題】轉化思想；轉化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．【分析】根據已知條件，結合正態(tài)分布的對稱性，即可求解．【解答】解：∵X服從正態(tài)分布N8010，∴P （90 ＜X ＜100 ）＝＝＝13.59%．故選：B．【點評】本題主要考查了正態(tài)分布的對稱性，掌握正態(tài)分布的對稱性是解決正態(tài)分布概率的關鍵，屬于基礎題．62021春?霞ft區(qū)校級期中）直線l與雙曲線： ＝a0＞0）的一條漸近lC：y2＝4xCA，B兩點，若|AB|＝6E的離心率為（ ）A．2

B． C． D．【考點】雙曲線的性質．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數(shù)學運算．【分析】設直線l的方程，代入拋物線方程，利用弦長公式求得m的值，即可求得直線l的斜率，然后求解雙曲線的離心率即可；【解答】解：依題意，點F的坐標為（10，設直線l的方程為＝y(tǒng)1，聯(lián)立方程組 ，消去x并整理得：y4y﹣＝0，設（1yB（，2，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，則|AB|＝＝4（m2+1）＝6，解得：m＝±，∴直線l的方程為2x+y﹣2＝0或2x﹣y﹣2＝0；直線的斜率為：±．直線l與雙曲線E： ＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行，可得b＝ a，所以b2＝2a2＝c2﹣a2，e＞1，解得e＝．故選：B．【點評】本題考查拋物線的簡單性質，雙曲線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力，中檔題．7（2021?全國模擬）得比賽冠軍，比賽結束．假設每局比賽甲勝乙的概率都為 ，且各局比賽的勝負互不影響，則在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為（ ）A． B． C． D．【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算．AB互斥，利用互斥事件4局的比賽中甲獲得冠軍的概率．【解答】解：甲以3：0獲勝為事件A，甲以3：1勝為事件B，則A，B互斥，且 ， ，所以在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為：，故選：C．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、互斥事件概率加法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．82016?新課標Ⅰ）若函數(shù)x）x﹣ 2xanx在（﹣∞∞）單調遞增，則a的取值范圍是（A．[﹣1，1]

）B．[﹣1， ] C．[﹣ ， ] D．[﹣1，﹣ ]【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【專題】轉化思想；分類法；導數(shù)的綜合應用．【分析】求出f）的導數(shù)，由題意可得′（x）≥0恒成立，設tsx（1t≤，5﹣4t2+3at≥0tt＝0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分離參數(shù)，運用函數(shù)的單調性可得最值，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x﹣sin2x+asinx的導數(shù)為f′（x）＝1﹣cos2x+acosx，f′（x）≥0恒成立，即為1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，設＝sx（﹣1t1，即有54t3at0，當t＝0時，不等式顯然成立；當0＜t≤1時，3a≥4t﹣ ，由4t﹣在（0，1]遞增，可得t＝1時，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；當﹣1≤t＜0時，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）遞增，可得t＝﹣1時，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．綜上可得a的范圍是[﹣，]．另解：設ts（﹣1≤≤1，即有5﹣t3at≥0，5﹣4+3a≥05﹣4﹣3a≥0，a的范圍是故選：C．

， ]．【點評】本題考查導數(shù)的運用：求單調性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和換元法，考查函數(shù)的單調性的運用，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9（2021春?荔灣區(qū)校級期中）下列判斷正確的是（ ）互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件在獨立性檢驗中，隨機變量2錯誤的概率越小線性回歸直線一定經過樣本中心點在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域越狹窄，其模型擬合的精度越高【考點】命題的真假判斷與應用；線性回歸方程；獨立性檢驗；互斥事件與對立事件．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；簡易邏輯；邏輯推理；數(shù)學運算．CD．【解答】解：對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件，所以A在獨立性檢驗中，隨機變量K2B正確；線性回歸直線正確；

一定經過樣本中心點 ，滿足回歸直線的性質，所以C在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域越狹窄，其模型擬合的精度越高，滿足殘差的性質，所以D正確；故選：BCD．【點評】本題考查命題的真假判斷，主要是互斥事件以及對立事件的關系，相關系數(shù)和相關指數(shù)的變化，以及殘差圖的應用，考查判斷能力和運算能力，屬于基礎題．（多選）1（2021春?番禺區(qū)校級期中）如圖，已知長方體D﹣B1D1中，四邊形ABCD為正方形，AB＝2，AA1＝，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．則（ ）A．A1E⊥DFA1、E、F、C1四點共面C1DBB1C1C所成角的正切值為E﹣C1DF的體積為【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面的基本性質及推論；直線與平面所成的角．【專題】轉化思想；綜合法；空間角；邏輯推理；數(shù)學運算．AAA1ABCDAA1⊥DFA1E⊥DFDF⊥平面A1AE，進而知DF⊥AB，矛盾；選項B，由EF∥AC，A1C1∥AC，得EF∥A1C1，得證；C，易知∠DC1CRt△DCC1tan∠DC1C＝△選項D，連接DE，DF，EF，求得SDEF，再由＝△A，∵AA1ABCD，DF?ABCD，∴AA1⊥DF，A1E⊥DFAA1∩A1E＝A1，AA1、A1E?A1AE，∴DF⊥平面A1AE，∴DF⊥AB，顯然不符合題意，即選項A錯誤；對于選項B，∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，

，得解；，得解．∴EF∥AC，∵A1C1∥AC，∴EF∥A1C1A1、E、F、C1B正確；C，∵CDBB1C1C，∴∠DC1C為直線C1D與平面BB1C1C所成角，在Rt△DCC1中，tan∠DC1C＝ ＝ ，C1DBB1C1C

，即選項C正確；對于選項D，連接DE，DF，EF，則DE＝DF＝，△∴SDEF＝× ＝，△∴ ＝ ＝ ?CC1?S△DEF＝ × × ＝ D正確．故選：BCD．【點評】本題考查空間中線與面的位置關系，線面角的求法，棱錐的體積公式等，熟練掌握線與面平行、垂直的判定定理或性質定理，以及理解線面角的定義是解題的關鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運算能力，屬于中檔題．（多選）12021?石家莊模擬）函數(shù)（）2sinωx＞00＜π）的圖象如圖，把函數(shù)f（x）圖 象 ， 下 列 結 論 正

y＝g（x）的確 的 是 （ ）φ＝g（x）的最小正周期為π函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上單調遞增函數(shù)g（x）關于點（﹣ ，0）中心對稱【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質；數(shù)學運算．【分析】由周期求出ω的范圍，根據最高點求得φ的值，可得f（x）的解析式，結合函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質，可得結論．【解答】解：根據函數(shù)fx）＝2sin（x（＞00φπ）的圖象，可得T＝ ＞ ，且 T＜ ，∴∈（ ， ．把（0，）代入，可得2sinφ＝，∴φ＝ ，或φ＝ ．再把根據圖象經過最高點（2，可得ω＝2π，∈．當φ＝＝2kπ+不滿足條件，，故φ＝，故A錯誤．+＝2kπ+，k∈Z，求得ω＝﹣+，令k1，可得ω＝，滿足條件∈（，，故x）＝2si（2+把函數(shù)f（x）的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到函數(shù)y＝g（x）＝2sin（2x+）的圖象故g（x）的最小正周期為＝π，故B正確．當x∈[﹣，]，故g（x）單調遞增，故C正確．令x＝﹣，求得≠0，故的圖象不關于點（﹣ 中心對稱故D錯誤，故選：BC．ω由最高點的坐標求出φ的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的性質，屬于中檔題．（多選）12（2021春?廣東期中）設函數(shù) ，gx）＝x，下列命題，正確的是（ ）f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）單調遞減不等關系πe＜π3＜eπ＜3π成立2 C．若0＜x1＜x2時，總有a（x2﹣x2）＞2g（x2）﹣2g（x1）恒成立，則a≥2 D．若函數(shù)h（x）＝g（x）﹣mx2有兩個極值點，則實數(shù)m∈（0，1）【考點】命題的真假判斷與應用；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；導數(shù)的概念及應用；邏輯推理；數(shù)學運算．【分析】直接利用函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的導數(shù)和單調性的關系，函數(shù)的導數(shù)和極值的關系，構造函數(shù)的應用，恒成立問題的應用判斷A、B、C、D的結論．【解答】解：對于A選項，函數(shù)的定義域為（0，+∞則．f'（x）＞00＜x＜e，f'（x）＞0x＞e．f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）單調遞減，A選項正確；對于B選項，由于函數(shù)在區(qū)間（e，+∞）上單調遞減，且4＞π＞e，所以ff4即又，所以， ，整理可得π3＞eπ，B選項錯誤；對于C選項，若0＜x1＜x2時，總有可得，構造函數(shù)s（x）＝2g（x）﹣ax2＝2xlnx﹣ax2，則s（）＞sx，

恒成立，s（x）為上的減函數(shù)，s'（x）＝2（1+lnx）﹣2ax≤0x∈（0，+∞）恒成立，對任意的x∈（0，+∞）恒成立，，其中x＞0，0＜x＜1時，t'（x）＞0t（x）單調遞增；x＞1時，t′（x）＜0t（x）單調遞減．所以，t（x）max＝t（1）＝1，∴a≥1，C選項正確；對于D選項，h（x）＝g（x）﹣mx2＝xlnx﹣mx2，則h'（x）＝1+lnx﹣2mx，由于函數(shù)h（x）有兩個極值點，令h'（x）＝0，可得 ，則函數(shù)y＝2m與函數(shù)t（x）在區(qū)間（0，+∞）上的圖象有兩個交點當 時，t（x）＞0，如圖所示：0＜2m＜1圖象有兩個交點．m故選：AC．

y＝2m在區(qū)間上的，D選項錯誤．【點評】本題考查的知識要點：函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的導數(shù)和單調性的關系，函數(shù)的導數(shù)和極值的關系，構造函數(shù)的應用，恒成立問題的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）12016?浙江若拋物線24x上的點M到焦點的距離為10則M到y(tǒng)軸的距離是9 ．【考點】拋物線的性質．【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．Mx＝﹣110y9．【解答】解：拋物線的準線為x＝﹣1，∵點M到焦點的距離為10，∴點M到準線x＝﹣1的距離為10，My故答案為：9．【點評】本題考查了拋物線的性質，屬于基礎題．12021?興慶區(qū)校級一模）式的常數(shù)項為112 ．

的展開式中各二項式系數(shù)之和為256，則展開【考點】二項式定理．【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學運算．【分析】先利用二項式系數(shù)的性質，求得n的值，在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得展開式的常數(shù)項．【解答】解：∵ 的展開式中各二項式系數(shù)之和為2n＝256，∴n＝8，∴展開式的通項公式為T＝ ?（﹣2）x8，令﹣4r0，求得r＝2，可得展開式的常數(shù)項為故答案為：112．

×4＝112，【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于中檔題．15（2021春?霞ft區(qū)校級期中）已知A（2，0，B0，1）是橢圓 的兩個頂點直線與直線AB相交于點與橢圓相交于兩點若 ，則斜率k的值為 或 ．【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的性質．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數(shù)學運算．【分析】求出橢圓的方程為，直線AB，EF的方程分別為x+2y＝2，y＝kx，設DxyExx22，其中x＜x，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理以及 ，轉化求解直線的斜率即可．【解答】解：由題可知，該橢圓的方程為

x+2y＝2，y＝kx，設D（0y，xxFx，2，其中x＜2，聯(lián)立方程 ，故 ，，知 ，由點D在直線AB上，則，所以 或 ，故答案為： 或 ．【點評】本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．1（2021春?番禺區(qū)校級期中）在三棱錐﹣C中，⊥平面C，⊥，B6，PA＝2，D是線段AC的中點．三棱錐P﹣ABC的各個頂點都在球O表面上，過點D作O16πO【考點】球的體積和表面積．【專題】轉化思想；數(shù)形結合法；空間位置關系與距離；數(shù)學運算．

104π ．【分析】由題意畫出圖形，求出OD的長度，結合截面與直線OD垂直時，截面面積最小，可求得外接球的半徑，則球O的表面積可求．【解答】解：如圖，設三角形ABC的外心為O'，設外接球的半徑為R，球心O到平面ABC的距離為x，即OO'＝x，則x＝連接O'A，則O'A＝，在三角形ABC中，∵D是線段AC的中點，∴O′D＝ AB＝3，在Rt△OO′D中，可得OD＝ ＝ ，由題意得，當截面與直線OD垂直時，截面面積最小，設此時截面半徑為r，則r2＝R2﹣OD2＝R2﹣10，∴截面圓的面積的最小值為πr2＝π（R2﹣10）＝16π，解得：R2＝26．O4πR2＝104π．故答案為：104π．【點評】本題考查多面體的外接球，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，屬中檔題．四．解答題（共6小題）172021）{annSn．求證：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；記 ，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式；等比數(shù)列的性質．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學運算．【分析】（1）由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）由等比數(shù)列的通項公式和對數(shù)的運算性質，可得cn，再由數(shù)列的裂項相消求和，化簡可得所求和．【解答】解1）證明：由 ，可得2a1＝S1+1＝a1+1，解得a1＝1，﹣﹣ n≥2時，an＝Sn﹣Sn1＝2an﹣n﹣2an1+n﹣1，an＝2an1+1﹣﹣ ﹣則a1＝（an1，﹣所以數(shù)列{an+1}是首項和公比均為2的等比數(shù)列；（2）由（1）可得an+1＝2n，則 ＝ ＝＝ （ ﹣ ，所以Tn＝ （1﹣ + ﹣ ﹣ +...+ ﹣ + ﹣ ）（1+﹣）＝﹣．【點評】本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．12021?海淀區(qū)一模）如圖，在四邊形D中B∥DB2DsA＝ ，cos ．（Ⅰ）求cos∠BDC；（Ⅱ）求BC的長．【考點】正弦定理；余弦定理；三角形中的幾何計算．【專題】計算題；數(shù)形結合；數(shù)形結合法；解三角形；數(shù)學運算．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinA，sin∠ADB的值，由于∠Cπ﹣（+B，利用誘導公式，兩角和的余弦公式求出s∠C即可．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求出BD的值，在△BCD中，利用余弦定理求出BC的值．【解答】解（Ⅰ）因為B∥Ds＝，s，所以sinA＝ ＝，sin∠ADB＝ ，cos∠BDC＝cos[π﹣（A+∠ADB）]＝﹣cos（A+∠ADB）＝sinAsin∠ADB﹣cosAcos∠ADB＝ × ﹣ ＝ ．（Ⅱ）由已知及正弦定理，可得 ＝ ，解得BD＝3，由于cos∠BDC＝，CD＝ 在△BCD中，由余弦定理可得BC＝＝ ＝ ．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，誘導公式，兩角和的余弦公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了數(shù)形結合思想和轉化思想，屬于中檔題．12021?涼ft州模擬）橢圓C： a＞＞0）的左焦點為 ，且橢圓C經過點P0，，直線＝2﹣1k0）與C交于AB兩點（異于點P．C的方程；PAPB的斜率之和為定值，并求出這個定值．【考點】橢圓的標準方程；直線與橢圓的綜合．【專題】方程思想；消元法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數(shù)學運算．【分析1）由左焦點為 ，且橢圓C經過點（01，列方程組，解得，b，c進而可得答案．2）解法一（常規(guī)方法：設xyxy，聯(lián)立直線B與橢圓的方程，由Δ＞00＜k＜1PB的斜率和，即可得出答案．解法二（構造齊次式：由題直線y＝2k﹣1（k≠0）恒過定點（﹣2，﹣1，分直線ABAB過原點，構造齊次式，即可得出答案．【解答】解1）由題意得： ，則a2＝b2+c2＝3∴橢圓方程為 ；2）證法一（常規(guī)方法：設（1y1，（x，聯(lián)立 ，（321x6（2﹣1x2kk1）＝0，y＝kx+2k﹣1（k≠0）CA、B兩點，第24頁共30頁第第25頁共30頁∴Δ＞0，即12[（3k2+1）﹣（2k﹣1）2]＝﹣48k（k﹣1）＞0，解得：0＜k＜1，由韋達定理 ，＝＝＝ ，∴直線PA、PB得斜率和為定值1．證法二（構造齊次式：由題直線yx2k1（≠0）恒過定點（﹣2，﹣1，①ABABmx+n（y﹣1）＝1（*）則﹣2mx﹣2n＝1即，，有x2+3（y﹣1）2+6（y﹣1）＝0，則x2+3（y﹣1）2+6（y﹣1）[mx+n（y﹣1）]＝0，整理成關于xy13+6ny﹣16x（y1）20，進而兩邊同時除以x2，則令 ，則＝﹣ ＝﹣＝1②當直線AB過原點時，設直線AB的方程為 ，∴ ．綜合①②PAPB1．【點評】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．2（2021春?福田區(qū)校級期中）2021年7月1日，是中國共產黨建黨100周年紀念日，全參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)012參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)0123概率22人參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率；3人進行體檢（環(huán)節(jié)數(shù)為3的老黨員人數(shù)大于等于3，設隨機抽取的這3人中參加3個環(huán)節(jié)的老黨員同志有ξ名，求ξ的分布列．【考點】離散型隨機變量及其分布列．【專題】轉化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；邏輯推理；數(shù)學運算．【分析】（1）設“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同”為事件M，則“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)相同”為事件算公式可得（M．

，求出P（，由對立事件的概率計（2）根據題意可知隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，求出概率得到隨機變量ξ的分布列，然后求解期望即可．1）設“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同”為事件M，則“這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)相同”為事件 ，根據題意可知P（

）2+（ ）2+（

）2＝ ，由對立事件的概率計算公式可得P（M）＝1﹣P（）＝ ，故這2名抗戰(zhàn)老兵參加紀念活動的環(huán)節(jié)數(shù)不同的概率為 ．（2）根據題意可知隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，3 且P（ξ＝0）＝C0×（1﹣ ）3＝ ，P（ξ＝1）＝C1× ×（1﹣ ）2＝ ，3 ξ0123P3 P（ξ＝2）＝C2×（）＝，P（ξ＝3）＝C3×（）3＝則隨機變量ξξ0123P3 數(shù)學期望E（ξ）＝0× +1× +2× +3× ＝ ．【點評】本題考查獨立事件的概率，