第六章 非線性規(guī)劃(管理運(yùn)籌學(xué),李軍)VIP

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非線性規(guī)劃問(wèn)題及其數(shù)學(xué)模型極值問(wèn)題凸規(guī)劃一維探尋無(wú)約束極值問(wèn)題約束極值問(wèn)題2023-1-281

1.非線性規(guī)劃問(wèn)題及其數(shù)學(xué)模型非線性規(guī)劃問(wèn)題舉例：Example1:第82頁(yè)例6-1Example2:第82頁(yè)例6-2非線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型非線性規(guī)劃問(wèn)題的圖示

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1.1非線性規(guī)劃問(wèn)題舉例Example1:某商店經(jīng)銷A、B兩種產(chǎn)品，售價(jià)分別為20和380元。據(jù)統(tǒng)計(jì)，售出一件A產(chǎn)品的平均時(shí)間為0.5小時(shí)，而售出一件B產(chǎn)品的平均時(shí)間與其銷售的數(shù)量成正比，表達(dá)式為1+0.2n。若該商店總的營(yíng)業(yè)時(shí)間為1000小時(shí)，試確定使其營(yíng)業(yè)額最大的營(yíng)業(yè)計(jì)劃。2023-1-283

1.1非線性規(guī)劃問(wèn)題舉例[解]設(shè)x1和x2分別為商店經(jīng)銷A、B兩種產(chǎn)品的件數(shù)，于是有如下數(shù)學(xué)模型：maxf(x)20x1380x2

0.5x1x20.2x100022

x10,x202023-1-284

1.1非線性規(guī)劃問(wèn)題舉例Example2:在層次分析(AnalyticHierarchyProcess,簡(jiǎn)記為AHP)中，為進(jìn)行多屬性的綜合評(píng)價(jià)，需要確定每個(gè)屬性的相對(duì)重要性，即它們的權(quán)重。為此，將各屬性進(jìn)行兩兩比較，從而得出如下判斷矩陣：

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1.1非線性規(guī)劃問(wèn)題舉例J=

a11……an1…

a1n…ann

,

其中：aij是第i個(gè)屬性與第j個(gè)屬性的重要性之比。

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1.1非線性規(guī)劃問(wèn)題舉例現(xiàn)需要從判斷矩陣求出各屬性的權(quán)重，為使求出的權(quán)重向量W在最小二乘意義上能最好地反映判斷矩陣的估計(jì)，由aij=wi/wj可得：minf(w)(aww)nn2

wi1

n

i1

j1

ij

j

i

i

1

wi02023-1-287

1.2非線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型minf(X),XEs.t.n

hi(X)0,(i1,2,,m)gj(X)0,(j1,2,,l)

其中X(x1,x2,,xn)T是n維歐氏空間En中的向量點(diǎn)。

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1.2非線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型由于，maxf(X)min[f(X)],“≤〞不等式僅乘“-1〞即可轉(zhuǎn)換為“≥〞不等式；因此上述數(shù)學(xué)模型具有一般意義。又由于等價(jià)于兩hi(X)0個(gè)不等式：;hi(X)0,因此非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型也可以表示為：minf(X),XEngj(X)0,(j1,2,,l)2023-1-289

1.3非線性規(guī)劃問(wèn)題的圖示minf(X)(x12)(x22)22

h(X)x1x260若令其目標(biāo)函數(shù)f(X)=c,目標(biāo)函數(shù)成為一條曲線或一張曲面；尋常稱為等值線或等值面。此例，若設(shè)f(X)=2和f(X)=4可得兩個(gè)圓形等值線，見(jiàn)下圖：2023-1-2810

1.3非線性規(guī)劃問(wèn)題的圖示x26

f(X)=4320x1236

f(X)=2

由左圖可見(jiàn),等值線f(X)=2和約束條件直線6-6相切，切點(diǎn)D即為此問(wèn)題的最優(yōu)解，X*=(3,3),其目標(biāo)函數(shù)值f(X*)=2。

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1.3非線性規(guī)劃

問(wèn)題的圖示在此例中，約束h(X)x1x260對(duì)最優(yōu)解發(fā)生了影響，若以h(X)x1x260代替原約束，則非線性規(guī)劃的最優(yōu)解是X(2,2),即圖中的C點(diǎn)，此時(shí)f(X)0。由于最優(yōu)點(diǎn)位于可行域的內(nèi)部，故事實(shí)上約束h(X)x1x260并未發(fā)揮作用，問(wèn)題相當(dāng)一個(gè)無(wú)約束極值問(wèn)題。

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1.3非線性規(guī)劃問(wèn)題的圖示[注]線性規(guī)劃存在最優(yōu)解，最優(yōu)解只能在其可行域的邊緣上(特別能在可行域的頂點(diǎn)上)得到；而非線性規(guī)劃的最優(yōu)解(如果存在)則可能在可行域的任意一點(diǎn)上得到。

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2.極值問(wèn)題局部極值與全局極值極值點(diǎn)存在的條件凸函數(shù)和凹函數(shù)凸函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)凸性的判定

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2.1局部極值與全局極值線性規(guī)劃最優(yōu)解非線性規(guī)劃局部最優(yōu)解全局最優(yōu)解未必全局最優(yōu)

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局部極值對(duì)于X-X*均有不等式f(X)≥f(X*),則稱X*為f(X)在R上的局部微小點(diǎn)，f(X*)為局部微小值；對(duì)于X-X*均有不等式f(X)f(X*),則稱X*為f(X)在R上的嚴(yán)格局部微小點(diǎn)，f(X*)為嚴(yán)格局部微小值；

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全局極值對(duì)于X,X*∈R均有不等式f(X)≥f(X*),則稱X*為f(X)在R上的全局微小點(diǎn)，f(X*)為全局微小值；對(duì)于X,X*∈R均有不等式f(X)f(X*),則稱X*為f(X)在R上的嚴(yán)格全局微小點(diǎn)，f(X*)為嚴(yán)格全局微小值。2023-1-2817

2.2極值點(diǎn)存在的條件必要條件設(shè)R是En上的一個(gè)開(kāi)集，f(X)在R上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)XR取得局部極值，則必有

或

f(X)x1

f(X)x2

f(X)xn

0

f(X)02023-1-2818

必要條件f(X)f(X)f(X