第五章 均勻平面波在無界媒質(zhì)中的傳播070129

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電磁場(chǎng)與電磁波謝處方

電磁場(chǎng)與電磁波

第5章均勻平面波在無界媒質(zhì)中的傳播5

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均勻平面波的概念波陣面：空間相位一致的點(diǎn)構(gòu)成的曲面，波陣面：空間相位一致的點(diǎn)構(gòu)成的曲面，即等相位面平面波：平面波：等相位面為無限大平面的電磁波均勻平面波：等相位面上電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向、均勻平面波：等相位面上電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向、振幅都保持不變的平面波x波陣面

均勻平面波是電磁波的一種理想狀況，其分析方法簡(jiǎn)單，狀況，其分析方法簡(jiǎn)單，但又表征了電磁波的重要特性。征了電磁波的重要特性。yoH

E波傳播方向

z

均勻平面波

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本章內(nèi)容5.1理想介質(zhì)中的均勻平面波5.2電磁波的極化5.3導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波5.4色散與群速5.5均勻平面波在各向異性媒質(zhì)中的傳播

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5.1理想介質(zhì)中的均勻平面波

5.1.1一維波動(dòng)方程的均勻平面波解5.1.2理想介質(zhì)中均勻平面波的傳播特點(diǎn)5.1.3沿任意方向傳播的均勻平面波

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5.1.1一維波動(dòng)方程的均勻平面波解設(shè)在無限大的無源空間中，充滿線性、設(shè)在無限大的無源空間中，充滿線性、各向同性的均勻理想介質(zhì)。軸傳播，介質(zhì)。均勻平面波沿z軸傳播，則電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度均不是x的函數(shù)，和y的函數(shù)，即EEHH==0,==0xyxy

d2Ed2H+k2E=0,+k2H=0dz2dz2

ExEyEz由于E=++=0xyz

Ez=0z

Ez=02Ez+k2Ez=0z2

Hz同理H=Hx++=0xyz

Hy

Hz=0

結(jié)論：結(jié)論：均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度都垂直于波的傳播橫電磁波(方向——橫電磁波(TEM波)波電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫高等教育電子音像電子音像出版社高等教育出版社高等教育電子音像出版社出版

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界媒質(zhì)中的傳播5

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設(shè)電場(chǎng)只有x分量，設(shè)電場(chǎng)只有分量，即

E(z)=exEx(z)

d2Ex(z)+k2Ex(z)=0dz2

k=ωε

其解為：其解為：Ex(z)=Aejkz+Aejkz12解的物理意義第一項(xiàng)

E1x(z)=Ae1

jkz

=Exme1

jφ1xjkz

e

E1x=Emcos(ωtkz)

的波形

E1x(z,t)=Re[E1xmejφ1xejkzejωt]=E1xmcos(ωtkz+φ1x)可見，1方向傳播的波?？梢?，Aejkz表示沿+z方向傳播的波。其次項(xiàng)E2x(z)=Ae2jkzjφ2x

=E2xme

ejkz

沿-z方向傳播的波

E2x(z,t)=Re[E2xmejφ2xejkzejωt]=E2xmcos(ωt+kz+φ2x)電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫高等教育電子音像電子音像出版社高等教育出版社高等教育電子音像出版社出版

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相伴的磁場(chǎng)由E=jωH,可得

磁場(chǎng)與電場(chǎng)相互垂直，垂直，且同相位

jE1xkε1H1=ey=eyE1x=ezexE1x=ezE1ωzωηE1x=()稱為媒質(zhì)的本征阻抗。在真空中其中η=稱為媒質(zhì)的本征阻抗。本征阻抗H1yε

0η=η0==120π≈377ε0同理，同理，對(duì)于E2=exE2x=exAe2jkz

H2=(ez)E2

1

η

結(jié)論：在理想介質(zhì)中，結(jié)論：在理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度相互垂直，且同相位?；ゴ怪?，且同相位。電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫高等教育電子音像電子音像出版社高等教育出版社高等教育電子音像出版社出版

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5.1.2理想介質(zhì)中均勻平面波的傳播特點(diǎn)1.均勻平面波的傳播參數(shù)(1)角頻率、頻率和周期)角頻率、角頻率ω:表示單位時(shí)間內(nèi)的相位變化，單位為rad/s表示單位時(shí)間內(nèi)的相位變化，單位為周期T周期：時(shí)間相位變化2π的時(shí)間間隔，即π的時(shí)間間隔，

ωT=2π

T=

2π

1ω(Hz)頻率f:f==T2π

ω

(s)o

Ex

tT

Ex(0,t)=Emcosωt電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫高等教育電子音像電子音像出版社高等教育出版社高等教育電子音像出版社出版

的曲線

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(2)波長(zhǎng)和相位常數(shù))波長(zhǎng)λ空間相位差為2π的兩個(gè)波陣面的間距，波長(zhǎng)：空間相位差為的兩個(gè)波陣面的間距，即

kλ=2π

2π1λ==(m)kfε

相位常數(shù)k:表示波傳播單位距離的相位變化

k=

2π

λ

(rad/m)o

Ex

k的大小等于空間距離內(nèi)所包含的大小等于空間距離2π內(nèi)所包含的波長(zhǎng)數(shù)目，因此也稱為波數(shù)。的波長(zhǎng)數(shù)目，因此也稱為波數(shù)。波數(shù)

zλEx(z,0)=Emcoskz的曲線

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(3)相速(波速))相速(波速)相速v:相速：電磁波的等相位面在空間中的移動(dòng)速度由ωkz=Ct故得到均勻平面波的相速為得到均勻平面波的相速為

ωdtkdz=0相速只與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，有關(guān)，而與電磁波的頻率無關(guān)

dzω1ωv====(ms)dtkωεε真空中：v=c=1

0ε0

=

14π107110936π

=3108(m/s)

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2、能量密度與能流密度、由于H=

1

η

ezE,于是有電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量一致

2211w=εE=H=wem22

故

w=we+wm=εE=H

2

2

12S=E(z,t)H(z,t)=ezEmcos2(ωtkz+φx)2η

1122w=εEm=Hmav22112*Sav=Re[E(z)H(z)]=ezEm22η121=ezεEm=wvav能量的傳輸速度等于相速2ε電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫高等教育電子音像電子音像出版社高等教育出版社高等教育電子音像出版社出版

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3、理想介質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點(diǎn)、根據(jù)前面的分析，根據(jù)前面的分析，可總結(jié)出理想介質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點(diǎn)為：特點(diǎn)為：電場(chǎng)、磁場(chǎng)與傳播方向之間相互垂直，是橫電磁波(電場(chǎng)、磁場(chǎng)與傳播方向之間相互垂直，是橫電磁波(TEM波)。無衰減，電場(chǎng)與磁場(chǎng)的振幅不變。無衰減，電場(chǎng)與磁場(chǎng)的振幅不變。波阻抗為實(shí)數(shù)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)同相位。波阻抗為實(shí)數(shù)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)同相位。電磁波的相速與頻率無關(guān)，無色散。電磁波的相速與頻率無關(guān)，無色散。y電場(chǎng)能量密度等于磁場(chǎng)能量密度，電場(chǎng)能量密度等于磁場(chǎng)能量密度，能量的傳輸速度等于相速。能量的傳輸速度等于相速。電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫

xEOH

z理想介質(zhì)中均勻平面波的E和H

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例5.1.1頻率為9.4GHz的均勻平面波在聚乙烯中傳播，設(shè)的均勻平面波在聚乙烯中傳播，其為無耗材料，其為無耗材料，相對(duì)介電常數(shù)為εr=2.26。若磁場(chǎng)的振幅為7mA/m,求相速、波長(zhǎng)、波阻抗和電場(chǎng)強(qiáng)度的幅值。求相速、波長(zhǎng)、波阻抗和電場(chǎng)強(qiáng)度的幅值。解：由題意因此

εr=2.26,f=9.4109Hzv0

v=

εr

=

v02.26

=1.996108m/s

v1.996108λ===2.12m9f9.410η=η0377===251ε2.26εr

Em=Hmη=7103251=1.757V/m電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫高等教育電子音像電子音像出版社高等教育出版社高等教育電子音像出版社出版

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14第5章均勻平面波在無界媒質(zhì)中的傳播51例5.1.2均勻平面波的磁場(chǎng)強(qiáng)度的振幅為A/m,以相位常，3π數(shù)為30方向傳播。數(shù)為rad/m在空氣中沿ez方向傳播。當(dāng)t=0和z=0時(shí)，若H

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的表示式，并求出頻率和波長(zhǎng)。取向?yàn)閑y試寫出E和H,的表示式，并求出頻率和波長(zhǎng)。解：以余弦為基準(zhǔn)，直接寫出以余弦為基準(zhǔn)，1H(z,t)=eycos(ωt+βz)A/m3π

E(z,t)=η0H(z,t)(ez)=ex40cos(t+βz)V/mω因β=30rad/m,故c8

λ=

2π

310458f===108=1.43109Hzω=2πf=9010,λπ/15π1則H(z,t)=eycos(90108t+30z)A/m

β

=

2π=0.21m,30

3πE(z,t)=ex40cos(90108t+30z)V/m

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的均勻電磁波，例5.1.3頻率為100Mz的均勻電磁波，在一無耗媒質(zhì)中沿+z方向傳播，向傳播，其電場(chǎng)E=exEx。已知該媒質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)εr=4、相對(duì)磁導(dǎo)率r=1,且當(dāng)t=0、z=1/8m時(shí)，電場(chǎng)幅值為10-4V/m。試求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表示式。求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表示式。解：設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表示式為E(z,t)=exEx=ex104cos(ωtkz+φ)

式中

ω=2πf=2π108rad/sω

2π1084k=ωε=4=πrad/mεrr=8c3103對(duì)于余弦函數(shù)，當(dāng)相角為零時(shí)達(dá)振幅值?？紤]條件t對(duì)于余弦函數(shù)，當(dāng)相角為零時(shí)達(dá)振幅值。考慮條件=0、z=1/8m、

時(shí)，電場(chǎng)達(dá)到幅值，得電場(chǎng)達(dá)到幅值，4π1πφ=kz==386電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫高等教育電子音像電子音像出版社高等教育出版社高等教育電子音像出版社出版

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所以

4ππE(z,t)=ex10cos(2π10tz+)36

4π1=ex10cos[2π10t(z)]V/m3848

磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表示式為

H=ezE=ey

1

1

η

η

Ex

式中因此

η0η===60πεεr104418H(z,t)=eycos[2π10tπ(z)]A/m60π38電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫高等教育電子音像電子音像出版社高等教育出版社高等教育電子音像出版社出版

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例5.1.4自由空間中平面波的電場(chǎng)強(qiáng)

度

E=ex50cos(ωtkz)V/m求在z處垂直穿過半徑R的圓平面的平均功率。求在=z0處垂直穿過半徑=2.5m的圓平面的平均功率。解：電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表示式為E=ex50ejkz自由空間的本征阻抗為

η0=120πH=ey

故得到該平面波的磁場(chǎng)強(qiáng)度

E

于是，于是，平均坡印廷矢量115125Sav=Re(EH)=ez50=ezW/m22212π12π垂直穿過半徑R垂直穿過半徑=2.5m的圓平面的平均功率

η0

=ey

5jkzeA/m12π

1251252P=∫SavdS=πR=π2.52=65.1WavS12π12π電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫高等教育電子音像電子音像出版社高等教育出版社高等教育電子音像出版社出版

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5.1.3沿任意方向傳播的均勻平面波沿+z方向傳播的均勻平面波沿en傳播方向的均勻平面波

E(z)=Emejkz=Emejkezr

E(r)=Emejkenr=EmeenEm=01H(r)=enE(r)

j(kxx+kyy+kzz)

k=ezkezEm=01H(z)=ezE(z)

k=enk=exkx+eyky+ezkz

η

η

xroy

面等相位

x波傳播方向

面等相位

P(x,y,z)

roy

P(x,y,z)en

波傳播方向

z

z

沿+z方向傳播的均勻平面波方向傳播的均勻平面波電子科技大學(xué)編寫電子科技大學(xué)編寫

沿任意方向傳播的均勻平面波

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例5.1.5在空氣中傳播的均勻平面波的磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表示式為

H=(exA+ey2+ez4)e

jπ(4x+3z)

式中A為常數(shù)。:();(2)波長(zhǎng)和頻率；(;(3)式中為常數(shù)。求：(1)波矢量k;()波長(zhǎng)和頻率；()A為常數(shù)的值；(;(4)相伴電場(chǎng)的復(fù)數(shù)形式；(;(5)平均坡印廷矢量。的值；()相伴電場(chǎng)的復(fù)數(shù)形式；()平均坡印廷矢量。解：(1)由于H=Hmejkr,所以)

Hm=ex+ey2+ez4,kr=kxx+kyy+kzz=4πx+3πz則

kx=4π、ky=