西北工業(yè)大學(xué)數(shù)值分析附答案

--可修編-西北工業(yè)大學(xué)數(shù)值分析習(xí)題集第一章緒論.設(shè)x>0,x的相對(duì)誤差為『求1nX的誤差..設(shè)x的相對(duì)誤差為2%,求工”的相對(duì)誤差.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù),即誤差限不超過最后一位的半個(gè)單位,試指出它們是幾位有效數(shù)字:X*=1.1021,x*=0.031,x*=385.6,X*=56.430,x*=7x1.0.

1 234 5利用公式(3.3)求下列各近似值的誤差限:(i)x*+x*+x*,(ii)x*x*x*,(iii)x*/x*,其中x*,x*,x*,x*均為第3題所給的數(shù)2 4 123 2 4其中1 23 4均為第3題所給的數(shù)..計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1%,問度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限是多少？.設(shè)I=28,按遞推公式1 ,^―Y=Y———<783n n-1100 (n=1,2，…)計(jì)算到I。。.若取歷。27.982(五位有效數(shù)字)，試問計(jì)算4。將有多大誤差？.求方程X2—56X+1=0的兩個(gè)根,使它至少具有四位有效數(shù)字(、萬83-27.982).J+8 1dX.當(dāng)N充分大時(shí),怎樣求n1+x2?.正方形的邊長大約為100的,應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm2?1S=—gt2.設(shè)2假定。是準(zhǔn)確的,而對(duì)1的測量有±0.1秒的誤差，證明當(dāng)1增加時(shí)$的絕對(duì)誤差增加,而相對(duì)誤差卻減小..序列｛匕｝滿足遞推關(guān)系匕=10匕-1-1(n=1,2,…),若>0=<2"1.41(三位有效數(shù)字)，計(jì)算到>10時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？.計(jì)算f=Q2-1)6小姮“1.4刑用下列等式計(jì)算,哪一個(gè)得到的結(jié)果最好？一1,(3-2^2)3, ^,99-70工2(<2+1)6 (3+2<2)3f(X)=m(X-\；X2-1),求招0)的值.若開平方用六位函數(shù)表,問求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？若改用另一等價(jià)公式

ln(x一、:x2-1)=一ln(x+*'x2+1)計(jì)算,求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大彳14.x1+101°x2=10ln(x一、:x2-1)=一ln(x+*'x2+1)計(jì)算,求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大彳14.x1+101°x2=1010；x+x=2.試用消元法解方程組12假定只用三位數(shù)計(jì)算,問結(jié)果是否可靠?15.1s二—absinc,

已知三角形面積2其中c為弧度,Aa，Ab，Ac.證明面積的誤差A(yù)s滿足a,b,c的誤差分別為1.根據(jù)(2.2)定義的德蒙行列式,令n01第二章插值法，xn一1,x)=1xx2xn0001xx2xnn-1n-1 ... n-11xx2xn證明Vn(x)是n次多項(xiàng)式,它的根是.x0,,xn-1,且V(x)=V(x,x,,x)(x-x)n-1 0 1 n-1(x-xn-12.3.x0.4???0.5???0.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144當(dāng)x=1,-1,2時(shí),f(x)=0,-3,4求嶇)的二次插值多項(xiàng)式.給出f(x)=lnx的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算ln0.54的近似值.4.5.6.給出cosx,0°wx090°的函數(shù)表，步長h=1'=(1/60)°,若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字,研究用線性插值求久$x近似值時(shí)的總誤差界.kh maxl(x)1設(shè)x1x0+kh卜0,123,求x0<x<J2 '.設(shè)xj為互異節(jié)點(diǎn)0=01…,可,求證：￡xkl(x)三xk(k=0,1, ,n);i)ii)jjj=0工(x-x)kl(x)三0(k=1,2, ,n).j j ...j=07.設(shè)f(x)eC2[a,b]且f(a)=f(b)亍,0,求證maxif(x)|<1(b-a)2max|f"(x)|.

8a<x<b8.在一4<x<4上給出f(x"ex的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表需用二次插值求ex的近似值,要使截?cái)嗾`差不超過10-6，問使用函數(shù)表的步長h應(yīng)取多少？

8..若*=2\求A4匕及54匕..如果f(x)是m次多項(xiàng)式，記5(xXf(x+h)—f(x)，證明f(x)的k階差分Akf(x)(0<k<m)是m-k次多項(xiàng)式，并且Am+lf(x)=0(l為正整數(shù))證明A(fg)=fAg+gAf.證明kkkk k+1k.包證明k二0g證明j=0fAg=fg-fg-gn-1kknn包證明k二0g證明j=0fAg=fg-fg-gn-1kknn0jnf(x)=a+ax+若01+a0k=0gk+1Afk.xn-1+axnn-1 ngxj=1ff(x)j有n個(gè)不同實(shí)根xi，x2，，xn，證明0,0<k<n-2;a-1,k=n-1.n證明n階均差有下列性質(zhì)：若F(x)=cf(x)，則F［x0,xj,x

n若F(x)=f(x)+g(x),則F[x0，x1，]=cf[x,x,01,x]=f[xx],xn,x,1,x]+g[x,x1,x]n..f(x)=x7+x4+3x+1,求fL2o,2i，,27J及幾20，2i，,28.證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是???R(x)=f(4)(&)(x-x)2(x-x)2/4!，自￡(x，x)

3 k?? k+1 …kk+1并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限..求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P(x),使它滿足P(0)=P(-k+1)并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限..試求出一個(gè)最高次數(shù)不高于4次的函數(shù)多項(xiàng)式P(x),以以便使它能夠滿足以以下邊界條件P(0)=P，(0)=0P(1)=P，(1)=1P(2)=1, ,..設(shè)f(x)'C［a，b］,把［a，b］分為n等分，試構(gòu)造一個(gè)臺(tái)階形的零次分段插值函數(shù)Q(x)并證明當(dāng)n"時(shí),Q(x)在［a，b］上一致收斂到f(x)..設(shè)f(x)=1/(1+x2),在一5<x<5上取n=10擊等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)Ih(x),計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的Ih(x)與f(x)的值,并估計(jì)誤差..求f(x)=x2在［a，"上的分段線性插值函數(shù)Ih(x),并估計(jì)誤差.23.求f(x)=x4在［a，"上的分段埃爾米特插值,并估計(jì)誤差.24.給定數(shù)據(jù)表如下:xj0.250.300.390.450.53yj0.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值s(x)并滿足條件i) S'(0.25)=1.0000，S'(0.53)=0.6868;

ii)S〃(0.25)=S〃(0.53)=0..若fx)eC2 ,b1S(x)是三次樣條函數(shù)，證明Jb[f"(x)]2dx—Jb[S"(x)》dx=Jb[f"(x)-S"(x)]2dx+2JbS"(x)[f"(x)-S"(x)^xi)a a a a ;ii)若f(x)=S(x)(i=01，n),式中xi為插值節(jié)點(diǎn)，且"x0<xi< 5〃=b,則JbS"(x)[f"(x)-S"(x)^dxc=S"(b)[f(b)-Sf(b)]-S"(a)[f(a)-S'(a)]a ..編出計(jì)算三次樣條函數(shù)S(x)系數(shù)及其在插值節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)的值的程序框圖，S(x)可用(8.7)式的表達(dá)式).第三章函數(shù)逼近與計(jì)算.⑶利用區(qū)間變換推出區(qū)間為［a,川的伯恩斯坦多項(xiàng)式.⑻對(duì)f(x)=sinx在［0,兀/2］上求1次和三次伯恩斯坦多項(xiàng)式并畫出圖形,并與相應(yīng)的馬克勞林級(jí)數(shù)部分和誤差做比較..求證:⑶當(dāng)m<f(x)<M時(shí)，m<Bn(f,x)<M.⑻當(dāng)f(x)=x時(shí)，Bn(f,x)=x..在次數(shù)不超過6的多項(xiàng)式中,求f(x)=sin4x在［0,2兀］的最佳一致逼近多項(xiàng)式..假設(shè)f(x)在［見川上連續(xù),求f(x)的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式.maxlx3-axl.選取常數(shù)巴使0<x<1 達(dá)到極小，又問這個(gè)解是否唯一？.求f(x)=sinx在［0杷/2］上的最佳一次逼近多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差..求f(x)=ex在［0」］上的最佳一次逼近多項(xiàng)式..如何選取r,使p(x)=x2+r在［-1,l］上與零偏差最??？r是否唯一？.設(shè)f(x)=x4+3x3-1,在［0,1］上求三次最佳逼近多項(xiàng)式.令T(x)=T(2x-1),xe［0,1］求T*(x),T*(x),T*(x),T(x).令nn ,求0 1 2 3 .T*(x)} ［01］ P=: =.試證n1x)是在L0,1J上帶權(quán)vx-x2的正交多項(xiàng)式..在［-1,1］上利用插值極小化求1f(x)=tg-1x的三次近似最佳逼近多項(xiàng)式..設(shè)f(x)=ex在［-1,1］上的插值極小化近似最佳逼近多項(xiàng)式為Ln(x)，若1f-LnL有界,證明對(duì)任何nN1,存在常數(shù)°〃、°〃,使14.設(shè)在降低到3次多aT(x)1<1f(x)-L(x)1<°T(x)1(-1<x<1).nn+1 n 1 3 15 165IIq(14.設(shè)在降低到3次多 1 3 15 165IIq(x)=1--x-—x2-——x3 x4 x5L-1,1」上 2 8 24 384 3840 ，試將①(x)項(xiàng)式并估計(jì)誤差.15.在［-1,1］上利用冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)求f(x)=sinx的3次逼近多項(xiàng)式,使誤差不超過0.005..f(x)是L",°]上的連續(xù)奇(偶)函數(shù)，證明不管n是奇數(shù)或偶數(shù),f(x)的最佳逼近多項(xiàng)式F*(x)*Hn也是奇(偶)函數(shù)..求a、b使!」a+b~sinx’公為最小.并與1題及6題的一次逼近多項(xiàng)式誤差作比較.f(x)、g(x)*C1ta,b]定義(a)(f,g)=fbf(x)g'(x)dx；(b)(f,g)=fbf(x)g'(x)dx+f(a)g(a)；aa問它們是否構(gòu)成積?24.25.Jij24.25.用許瓦茲不等式(4.5)估計(jì)01+x的上界,并用積分中值定理估計(jì)同一積分的上下界,并比較其結(jié)果.選擇。,使下列積分取得最小值』：一a"["lx一a2dx.并比較其結(jié)果.設(shè)空間fspan4,"Q"span3100,x101’分別在Q、①2上求出一個(gè)元素,使得其為x2*C10"的最佳平方逼近,并比較其/結(jié)果.f(x)=Ixl在51上，求在、"span”,x2,x"上的最佳平方逼近.sin[(n+1)arccosx]u(x)= = n "—x2 是第二類切比雪夫多項(xiàng)式，證明它有遞推關(guān)系(x)((x)(x)=2xu(x)-un n-1un+1f(x)=sinx [_111將 2在L-1,1J上按勒讓德多項(xiàng)式及切比雪夫多項(xiàng)式展開，求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式并畫出誤差圖形,再計(jì)算均方誤差.把f(x)=arccosx在[-1,11上展成切比雪夫級(jí)數(shù).26.用最小二乘法求一個(gè)形如y=a+bx2的經(jīng)驗(yàn)公式,使它與下列數(shù)據(jù)擬合儕求均方誤差.x1925313844419.032.349.073.397.827.觀測物體的直線運(yùn)動(dòng),得出以下數(shù)據(jù):時(shí)間〃秒)00.91.93.03.95.0距離”米)010305080110求運(yùn)動(dòng)方程.28.在某化學(xué)反應(yīng)里,根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得分解物的濃度與時(shí)間關(guān)系如下:時(shí)間0510152025303540455055濃度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘擬合求y;于").29.編出用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合的程序框圖.30.編出改進(jìn)FFT算法的程序框圖.

31.現(xiàn)給出一記錄"J"{4,3,2』,0』,2,3),試用改進(jìn)FFT算法求出序列{5}的離散頻譜C}(k=0,1,,7).k第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分1.確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出的求積公式所具1.有的代數(shù)精度:(1)(2)Jhf(x)dxxAf(1)(2)Jhf(x)dxxAf(-h)+Af(0)+Af(h)-h -1 0 1 ;J2hf(x)dxxAf(-h)+Af(0)+Af(h)-2h -1 0 1 ;J1f(x)dxx[f(-1)+2f(x)+3f(x)]/3-11 2;Jhf(x)dx氏h[f(0)+f(h)]/1+ah2[f'(0)-f'(h)]02.分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分:J1J1—x-dx,n=8⑴04+x2 ;f1(1-e-x)2 -xdx,n=100x ;J9弋xdx,n=4 J6、：一sin2①dx,n=6⑶1 ； (4)0v1直接驗(yàn)證柯特斯公式(2.4)具有5次代數(shù)精度.J1J1e-xdx用辛普森公式求積分0并計(jì)算誤差.推導(dǎo)下列三種矩形求積公式:TOC\o"1-5"\h\zJbf(x)dx=(b-a)f(a)+f(")(b-a)2(1)a 2 ;Jbf(x)dx=(b-a)f(b)-f(")(b-a)2(2)a 2 ;b a+b. f"(n)/[、Jf(x)dx=(b-a)f(——)+ (b-a)3a 2 24Jbf(x)dx證明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)當(dāng)n—時(shí)收斂到積分a八.用復(fù)化梯形公式求積分‘：/",dx，問要將積分區(qū)間［a,b］分成多少等分，才能保證誤差不超過￡(設(shè)不計(jì)舍入誤差)?2J1 〃1e-xdx用龍貝格方法計(jì)算積分迎0度求誤差不超過10-5.=aJ2：1-=aJ2：1-(—)2sin20d0衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，橢圓周長的計(jì)算公式是 。\a ，這里a是橢圓的半長軸,c是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離，記h為近地點(diǎn)距離,H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離,R=6371公里為地球半徑，則a=(2R+H+h)/2,c=(H-h)/2.我國第一顆人造衛(wèi)星近地點(diǎn)距離h=439公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離H=2384公里，試求衛(wèi)星軌道的周長..兀 兀3兀5nsin—=兀~——+———.證明等式n 3!n25!n4 試依據(jù)nsin(兀/n)(n=3,6,12)的值，用外推算法求兀的近似值.f3dy ….用下列方法計(jì)算積分1y并比較結(jié)果.龍貝格方法;三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式;1f1f(x)= 用三點(diǎn)公式和五點(diǎn)公式分別求 (1+x)2在x=1.0,1.1和1.2處的導(dǎo)數(shù)值,并估計(jì)誤x1.01.11.21.31.4f(x)0.25000.22680.20660.18900.173612.差.于(x)的值由下表給出：第五章常微分方程數(shù)值解法就初值問題y'=ax+b，y(0)=0分別導(dǎo)出尤拉方法和改進(jìn)的尤拉方法的近似解的表達(dá)1y=—ax2+bx式，并與準(zhǔn)確解2相比較。用改進(jìn)的尤拉方法解初值問題[y'=x+y,0<x<1;[y(0)=1,取步長h=0.1計(jì)算，并與準(zhǔn)確解y=-x-1+2外相比較。用改進(jìn)的尤拉方法解y，=x2+x-y;,[y(0)=0,取步長h=0.1計(jì)算y(0.5)，并與準(zhǔn)確解y=x+x2-x+”相比較。用梯形方法解初值問題Jy'+y=0;[y(0)=1,證明其近似解為(2-h丫

y= ,n12+h)并證明當(dāng)hf0時(shí)，它原初值問題的準(zhǔn)確解y=-x。利用尤拉方法計(jì)算積分fxet2dt在點(diǎn)x=在點(diǎn)x=0.5,1,1.5,2的近似值。取卜=0.2,用四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法求解下列初值問題:卜'=x+j,0<x<1；1)[j(0)=1，|j'=3j/(1+x),0<x<1;2)1J9)=1.證明對(duì)任意參數(shù)力下列龍格-庫塔公式是二階的：jnjn+1h=Jn+MK2+K)；nnnnK=f(x+th,j+thK);1K=f(x+(1K=f(x+th,j+thK);1K=f(x+(1-1)h,j+(1-1)hK).證明下列兩種龍格－庫塔方法是三階的：[ h, -、J=J+-(K+3K);n+1 n4 1 3K=f(x,j);1)2)K3=f(xjn+1nhh+于J+1K)；3n3122+—h,j+—hK);

3n3 2h=j+(2K+3K+4K);91 2 3K=f(x,j);

1 nnK3=f(xnhh+—,J+K);

2n2133+—h,j+—hK).4Jn4 2分別用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法和二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列初值問題：J'=1-J,J(0)=0,取h=02J0=0,J1=0.181,計(jì)算J(1.0)并與準(zhǔn)確解J=1-e-x相比較。證明解J'=f(x,J)的下列差分公式1hJ=-(J+J)+7(4J'-J'+3J')

n+1 2n n-1 4 n+1 n n-1是二階的，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。導(dǎo)出具有下列形式的三階方法：j=aj+aj+aj+h(bj，+bj'+bj').

n+1 0n1n-1 2n-2 0n1n-1 2n-2將下列方程化為一階方程組：J〃-3Jr+2j=0,1)J(0)=1,J'(0)=1；J〃-0.1(1-J2)J'+J=0,2)J(0)=1,J'(0)=0；x y一 ~_x(t)=一 ,y(t)=— ,r=ix2+y2,3) r3 r3x(0)=0.4,x'(0)=0,y(0)=0,y'(0)=2..取卜=0.25,用差分方法解邊值問題Jy"+y=0；Iy(。)=0,y⑴=1.68..對(duì)方程y"=f(x，y)可建立差分公式y(tǒng)=2y—y+h2f(x,y),

n+1 n n-1 nn試用這一公式求解初值問題［y〃=i；Iy(0)=y(i)=0,驗(yàn)證計(jì)算解恒等于準(zhǔn)確解x2-x2.取卜=0.2用差分方法解邊值問題(1+x2)y〃-xy，-3y=6x-3;〈Iy(0)-y'(0)=1,y(D=2.第六章方程求根.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求誤差<0.05。.用比例求根法求f(x)=1-xsinx=0在區(qū)間［0,1］的一個(gè)根，直到近似根x滿足精度1f(xk)KO.O05時(shí)終止計(jì)算。.為求方程x3-x2-1=0在x0=上5附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。1)x=1+1/x2,迭代公式xk+1=1+1/x2;I)x3=1+x2，迭代公式x+1=3；1+x2; x2=) x-1，迭代公式x+1T/、：xk1。試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根。.比較求ex+10x-2=0的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量；1)在區(qū)間［0,1］用二分法；2)用迭代法xk+1=(2-ex)/10，取初值x0=0。.給定函數(shù)f(x),設(shè)對(duì)一切x，尸(x)存在且0<m?f，(x)?M,證明對(duì)于圍0<入<2/M的任意定數(shù)入，迭代過程xk+1=x「Xf(xj均收斂于f(x)的根x.已知x=3x)在區(qū)間以回只有一根，而當(dāng)a<x<b時(shí)，I①'(x)l>k>1，試問如何將x=3x)化為適于迭代的形式？

將x=tgx化為適于迭代的形式，并求*=4.5(弧度)附近的根。.用下列方法求f(x)=x3-3xT=0在x0=2附近的根。根的準(zhǔn)確值x*=1.87938524…，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。1)用牛頓法；2)用弦截法，取x0=1,xi=上9;3)用拋物線法，取x0=1,xi=3,x2=2。.用二分法和牛頓法求x-tgx=0的最小正根。.研究求G的牛頓公式1ax=—(x+——),x>0,k+i2kx0_ k證明對(duì)一切k=1,2,…,/aa且序列xJx2,…是遞減的。.對(duì)于〃x)=0的牛頓公式xk+1=X「fQIft(xk)，證明R=(x-x)/(x-x)2

kk k-1 k-1 k-2收斂到-f"(x*)/(2f,(x*))，這里x*為f(x)=0的根。.試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度：f(x)=<x,f(x)=1)—v—x,x<0；1)3x2,x>0；2)—Yx2,x<0.2).應(yīng)用牛頓法于方程x2—a=0，導(dǎo)出求立方根/的迭代公式，并討論其收斂性。f(x)=1——=0 — —-.應(yīng)用牛頓法于方程 x2，導(dǎo)出求、—的迭代公式，并用此公式求門15的值。f(x)=1——=0.應(yīng)用牛頓法于方程f(x)=xn-a=0和 x,分別導(dǎo)出求%a的迭代公式，并求lim(na—x)/(na—x)2.k+1.證明迭代公式xk+1x(x2+xk+1-k k 3x2+ak是計(jì)算、是計(jì)算、a的三階方法。假定初值x0充分靠近根x*，求lim(Xa—x)/(v——x)3., k+1 kk-8第七章解線性方程組的直接方法考慮方程組：0.4096x+0.1234x+0.3678x+0.2943x=0.4043;12 3 40.2246x+0.3872x+0.4015x+0.1129x=0.1550;《 1 2 3 40.3645x+0.1920x+0.3781x+0.0643x=0.4240;12340.1784x+0.4002x+0.2786x+0.3927x=—0.2557;1234(a)用高斯消去法解此方程組(用四位小數(shù)計(jì)算)，(b)用列主元消去法解上述方程組并且與⑶比較結(jié)果。(a)設(shè)人是對(duì)稱陣且〃1尸0，經(jīng)過高斯消去法一步后，人約化為a aT1110A2證明人是對(duì)稱矩陣。⑸用高斯消去法解對(duì)稱方程組：f0.6428x+0.3475x—0.8468x=0.4127;1 2 310.3475x+1.8423x+0.4759x=1.7321;1 2 3—0.8468x+0.4759x+1.2147x=—0.8621.123.設(shè)A為口階非奇異矩陣且有分解式人^5其中1為單位下三角陣，U為上三角陣，求證人的所有順序主子式均不為零。.由高斯消去法說明當(dāng)T0(i=1,2,…,n—1)時(shí)，則人力5其中1為單位下三角陣，U為上三角陣。Ia1>￡Ia1(i=1,2,…,n),ii ij.設(shè)A為口階矩陣，如果 j戛1 稱人為對(duì)角優(yōu)勢陣。證明：若人是對(duì)角優(yōu)勢陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A具有形式a aT1110A2。7.設(shè)人是對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，人約化為a aT1110A2，其中A=(a),A=(a(2));其中 ijn2ijn—1證明(i)a的對(duì)角元素a>0(i=1,2，…,n);(2)4是對(duì)稱正定矩陣；(3)a(n)<a,(i=1,2,…,n);(4)A的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上;maxIa(2)|<maxIaI;(5)2<i,j<nij 2<i,j<nij(6)從(2)，(3)，(5)推出，如果〔ajX1，則對(duì)所有卜Ia(k)I<1.ij.設(shè)L為指標(biāo)為卜的初等下三角陣，即mk+1,kmnk?求證當(dāng)mnk?求證當(dāng)i，j>k時(shí)，Lk列陣。二ILIijkij」（除第卜列對(duì)角元下元素外，和單位陣1相同）也是一個(gè)指標(biāo)為卜的初等下三角陣，其中'j為初等排.試推導(dǎo)矩陣人的方。仇分解A=LU的計(jì)算公式，其中1為下三角陣，U為單位上三角陣。.設(shè)U=d，其中U為三角矩陣。（a）就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，病寫出算法。（b）計(jì)算解三角形方程組U=d的乘除法次數(shù)。（c）設(shè)U為非奇異陣，試推導(dǎo)求U-1的計(jì)算公式。.證明（2）如果人是對(duì)稱正定陣，則A-1也是正定陣；（b）如果人是對(duì)稱正定陣，則Am唯一寫成A=LtL，其中1是具有正對(duì)角元的下三角陣。12.用高斯-約當(dāng)方法求人的逆陣:23-11112.用高斯-約當(dāng)方法求人的逆陣:23-111120-304-1-17-2513.用追趕法解三對(duì)角方程組A%=b,其中14.用改進(jìn)的平方根法解方程組2-1115.,下述矩陣能否分解為14.用改進(jìn)的平方根法解方程組2-1115.,下述矩陣能否分解為LU（其中1為單位下三角陣解是否唯一？U為上三角陣）？若能分解，那么分123一一111一12 6241,B=221C=251546733161546,2-10001-12-10000-12-10,b=000-12-10000-120.試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組u=aririEiurkkik=max(1,i-1)2)lir=(au=aririEiurkkik=max(1,i-1)2)lir=(a-乙lu)/uir ikkrrrk=max(1,i-1)(i=r+1,…,min(n,r+1))18.設(shè)a0.60.5A=

0.10.3

L」,計(jì)算人的行數(shù)，列數(shù)，2-數(shù)及F-數(shù)。.求證llxll<llxll<nllxll1nnllAll<llAll<cllAllF 2 2F.設(shè)PeRnxn且非奇異，又設(shè)llxll為Rn上一向量數(shù)，定義llxll=llPxll

p試證明"x11P是Rn上的一種向量數(shù)。.設(shè)AeRnxn為對(duì)稱正定陣，定義llxll=(Ax,x)1/2A ，試證明"x"a為Rn上向量的一種數(shù)。22.設(shè)xeRn,x=(x.x，…,x)tlim(Ey-8i=1，求證llxllp)1/p=maxx=llxlli i 81<i<n.如果方陣A有0(li一">t)，則稱A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設(shè)A滿足三角分解條件，試推導(dǎo)A-LU的計(jì)算公式，對(duì)"L2,…，兒(i=r,r+1,…,min(n,r+1)).,.證明：當(dāng)且盡當(dāng)*和曠線性相關(guān)且xTy<0時(shí)，才有l(wèi)lx+yll=llxll+llyll2 2 2。.分別描述R2中(畫圖)S={xlllxll=1,xeR2},(v=1,2,8)

V V o.令H是Rn(或C)上的任意一種數(shù)，而P是任意非奇異實(shí)(或復(fù))矩陣，定義數(shù)llxll'=llPxll,證明llAll'=llPAP-1llo.設(shè)“A11s,"A"t為Rnxn上任意兩種矩陣算子數(shù)，證明存在常數(shù)C1,C2>0，使對(duì)一切AeRnxn滿足cllAll<llAll<cllAlls t2 s

27.28.29.設(shè)AeRnxn，求證AtA與AAt特征值相等，即求證MAtA)=Maat)o27.28.29..IIAII min 8A-1II 尸°IIjII8 8。IIA-1—(A+BA)-1II<IIA-1II—IIBIIA-1—(A+BA)-1II<IIA-1II—IIBAIIcond(A) IIAII： 一、IIBAII.1—cond(A) IIAII30.矩陣第一行乘以一數(shù)，成為證明當(dāng)九二±2時(shí)，。。n(A)8有最小值31.設(shè)A為對(duì)稱正定矩陣，且其分解為A-LDLt-WTW，其中W-D1/2LT,求證(a)cond(a)cond(A)=[cond(3)]2；(b)32.設(shè)(b)32.設(shè)1009999一98cond(A)-cond(3t)cond(3).計(jì)算人的條件數(shù)。cond(A),(v-2,8).證明：如果人是正交陣，則cond(A)2-1。.設(shè)A，BGRnxn且,為上矩陣的算子數(shù)，證明cond(AB)<cond(A)cond(B)o第八章解方程組的迭代法1.設(shè)方程組5x+2x+x=—12123—x+4x+2x-20123x—3x+10x-3(a)考察用雅可比迭代法，高斯-塞德爾迭代法解此方程組的收斂性；⑻用雅可比迭代法，高斯-塞德爾迭代法解此方程組嚏求當(dāng)"x(k+1)—x(k)]<10-4時(shí)迭代終匕A-2.A-2.設(shè)00一20」,證明:即使IIAII-IIAII>1級(jí)數(shù)I+A+A2H FAkH—也收斂.3.證明對(duì)于任意選擇的A,序列111I,A,-A2,A3, A4,…2 3! 4!收斂于零．4.收斂于零．4.設(shè)方程組ax+ax111 122ax+ax211 222迭代公式為x(k)

1x(k)

2a111X(k-1))；122a22(bx(k)

1x(k)

2a111X(k-1))；122a22(b一ax(k-1))；2 211 (k=1,2,…).求證：由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列｛X(k)｝收斂的充要條件是aa1221aa1122<1.5.設(shè)方程組x+0.4x+0.4x=140.4x+X+0.8X=212<X+X+X

123=13(a)0.4x+0.8x+X=323(b)〔23試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯-塞德爾迭代法的收斂性。limA.求證k-sk.設(shè)Ax=b,5包)方程組。.設(shè)方程組=A的充要條件是對(duì)任何向量x,都有l(wèi)imAX=AX.k-s其中人對(duì)稱正定，問解此方程組的雅可比迭代法是否一定收斂？試考察習(xí)題11X一一X——X434411X一一X——X43 4412；12；1 1一一X——X+X4142 31 1一一X一一X+X〔4142 412；1(a)求解此方程組的雅可比迭代法的迭代矩陣B0的譜半徑；(b)求解此方程組的高斯－塞德爾迭代法的迭代矩陣的譜半徑；(c)考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯－塞德爾迭代法的收斂性。9.用50口方法解方程組(分別取松弛因子°=1.03,°=1,°=1.1)’4x一x=1;12〈一x+4x一x=4;1 23一x+4x=一3.11x*=(一,1,一)T,精確解2 2要求當(dāng)||x*一％(k)||w<5*10一6時(shí)迭代終止，并且對(duì)每一個(gè)3值確定迭代次數(shù)。10.用50口方法解方程組(取3=0.9)5x+2x+x=-12;1 2 3<一x+4x+2x=20;1232x-3x+10x=3.12要求當(dāng)||x(k+1)—x(k)|1<10-4時(shí)迭代終止。ii.設(shè)有方程組Ax=b，其中人為對(duì)稱正定陣，迭代公式x(k+1)=x(k)+o(b-Ax(k)),(k=0,1,2，…)20<3〈一試證明當(dāng)P時(shí)上述迭代法收斂(其中0<a?九(A)?B)。12.用高斯-塞德爾方法解Ax=b,用X：k+1)記X(k+1)的第》個(gè)分量，且12.r(k+1)iEx(kr(k+1)iEx(k)ijij=ij=1r(k+1)X(k+1)=x(k)+-i 證明i如果￡證明i如果￡(k)=x(k)一x*，是方程組的精確解，求證：￡(k+1)i-2na￡(k)

iji

j=i證明￡(k+1)i-2na￡(k)

iji

j=i證明Q(￡(k+1))-Q(￡(k))=一￡j=1Q(￡(k))=(A￡(k),￡(k))(r(k+1))2/—j ajj。(d)由此推出，如果人是具有正對(duì)角元素的非奇異矩陣，且高斯－塞德爾方法對(duì)任意初始向量x(0)是收斂的，則人是正定陣。.設(shè)A4B為口階矩陣，人為非奇異，Az+Bz12考慮解方程組=b,Bz+Az11 2=b2,其中z,z,d,dGRn其中1 2 1 2 。找出下列迭代方法收斂的充要條件Az(m+1)=b一Bz(m),Az(m+1)=b一Bz(m)(m>0);12221找出下列迭代方法收斂的充要條件Az(m+1)=b-Bz(m),Az(m+1)=b-Bz(m+1)(m>0);11比較兩個(gè)方法的收斂速度。.證明矩陣2221r(k+1)-i aiir(k+1)=2a￡(k+1)其中i j=1ijj(c)設(shè)人是對(duì)稱的，二次型1aa--<a<1對(duì)于2是正定的，11—<a<

而雅可比迭代只對(duì)2 2是收斂的。A=.設(shè)51231aa--<a<1對(duì)于2是正定的，11—<a<

而雅可比迭代只對(duì)2 2是收斂的。A=.設(shè)512302043-12-10307試說明人為可約矩陣。.給定迭代過程，X(k+1)=J(k)+g，其中CERnxn(k=0，1，2,…)，試證明：如果C的特征值"C)=0(i=1,2，…)，則迭代過程最多迭代n次收斂于方程組的解。.畫出SOR迭代法的框圖。.設(shè)人為不可約弱對(duì)角優(yōu)勢陣且0<3?1，求證：解Ax=b的50口方法收斂。.設(shè)Ax=b，其中人為非奇異陣。(a)求證AtA為對(duì)稱正定陣;(b)求證cond(AtA)=(cond(A))2第九章矩陣的特征值與特征向量計(jì)算1.用冪法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量：A=173-234-1-2-133-43-463當(dāng)特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)迭代終止。2.方陣丁分塊形式為t11t12t22t11t12t22t1nt2ntnn其中丁卜1,2,…,n)為方陣，丁稱為塊上三角陣如果對(duì)角塊的階數(shù)至多不超過2，則稱丁為準(zhǔn)三角形形式，用°(T)記矩陣丁的特征值集合，證明0(T)=U0(T).3.利用反冪法求矩陣ii

i=3.利用反冪法求矩陣TOC\o"1-5"\h\z一6 2 1一2 3 11 1 1的最接近于6的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。

4.求矩陣400031013與特征值4對(duì)應(yīng)的特征向量。.用雅可比方法計(jì)算101.0 0.5A=1.01.00.250.50.252.0的全部特征值及特征向量，用此計(jì)算結(jié)果給出例3的關(guān)于口的最優(yōu)值。.(a)設(shè)人是對(duì)稱矩陣，入和M||xy=1)是人的一個(gè)特征值及相應(yīng)的特征向量，又設(shè)P為一個(gè)正交陣，使Px=e=(1,0，…,0)t1證明B=PAPt的第一行和第一列除了入外其余元素均為零。(b)對(duì)于矩陣210 2A=105—82—811人=9是其特征值，人=9是其特征值，21T3)是相應(yīng)于9的特征向量，試求一初等反射陣P,使Px=e1,并計(jì)算B=PAPt。.利用初等反射陣將一134A=312421Pi為使Pi為使aj2)=0的平面旋轉(zhuǎn)陣，試推導(dǎo)計(jì)算PJ第i.設(shè)AeRnxn，且an，aj1不全為零,行，第：行元素公式及AP；第》列，第：列元素的計(jì)算公式。.設(shè)4.1是由豪斯荷爾德方法得到的矩陣，又設(shè)"是4.1的一個(gè)特征向量。⑶證明矩陣人對(duì)應(yīng)的特征向量是x=P1P2…Pn.2y⑸對(duì)于給出的"應(yīng)如何計(jì)算X?.用帶位移的QR方法計(jì)算(a)20-(a)20-1113飛10B=121011(b)全部特征值。.試用初等反射陣人分解為QR,其中Q為正交陣，R為上三角陣，1 1A=2-1-1-45

。數(shù)值分析習(xí)題簡答（適合課程《數(shù)值方法人》和《數(shù)值方法8》）西北工業(yè)大學(xué)第一章緒論習(xí)題參考答案1．2．3．4．5．6．8(x*)8(xn)x*=8(x*)=8

r3=3=0.02nx*有5位有效數(shù)字，x2有2位有效數(shù)字，x*有4位有效數(shù)字，x4有5位有效數(shù)字，x*有2位有效數(shù)字。8(x*+x*+x*)x8(x*)+8(x*)+8(x*)=0.5x10-4+0.5x10-3+0.5x10-3=1.05x10-31248(x*x*x*)x123x*8(T)

x*4x*x*8(x*)+x*x*8(x*)+x*x*8(x*)=0.21479082523x*41x*

—2

x*2413128(x*)=8.855668x10-6428(R)=8(r8(Y)=100x100136兀V28(V)/18(V)=18(V)=0.0033333V3r3V4兀11 1—x-x10-3=x10-310027．8．9．x=28—”783= 一X X0.01786x1=28+V783x55.982,2 28+7783 55.9821, 兀18 dx=--arctgNN1+x2 2一1 18(x)=8(\S)X—S一28(S)=0.00528(S)X

rgt￡(t) 28(t) 0.210．11．8(S)Xgt8(t)=0.1gt,

絕對(duì)誤差增加，相對(duì)誤差減小。8(y)=10108(y)=1x10810 0 2t,故t增加時(shí)S的12．f=?2—1)6X0.005051,13．14．15．1.2.計(jì)算過程不穩(wěn)定。如果令"=1.4,則f1=(點(diǎn)-1)6=0.004096,f2—J=0.005233Q2+1)6f=——1^=0.005125f3=(3—2、：2)3=0.008,4 (3+2s)3f:99-70線=1,f4的結(jié)果最好。f(30)=—4.0946228=1x10-42中￡(f)=ln(1開平方時(shí)用六位函數(shù)表計(jì)算所得的誤差為分別代入等價(jià)公式f1（x）=ln（x-YX2—1),f(x)=—ln(x+\X2+1)+ 1 X—、、:X2—18(于?二ln(1+=(x+、/X2—1)8=60x2x10-4=3x10-3x 8 =—x1x10—4=8.33x10-7x+Jx2—1 6021000000000x= 方程組的真解為1999999999999999998X1.000000,x= X1.0000002999999999而無論用方程一還是方程二代人消元均解得\=1.00,x2=1-00靠。bsincAa+asincAb+abcoscAcabsinc第二章插值法習(xí)題參考答案V(x)=nn—1(x—x)

nin(x-x)i=0 0<j<i<n—1V(x,x，…,x)=nn—1 0 1 n—1ij；(X—X)

ij，結(jié)果十分可0<j<i<n—1 .(x+1)(x—2) (x—1)(x—2) (x—1)(x+1)L(x)=0- +(—3)- +4- 2 (1+1)(1—2) (—1—1)(—1—2) (2—1)(2+1)5 37——x2+—x——6 2 3 .3.線性插值：取x0—0.5,x1—0-6,>0——0.693147,y1—-0.510826，則ln0.542L(0.54)—y10二次插值：取+y1-y0.(0.54-x)=—0.620219x-x 0 ；10 ；x—0.4,x—0.5,x—0.6,y—-0.916291,y—-0.693147,y—-0.5108260120 1 2 ，ln0.54yL(0.54)2(0.54-x)(0.54-x)―y, 1 2-+y0 (x—x)(x—x) 1010 2=-0.616707.(0.54—x)(0.54—x) 0 2-+y(x—x)(x—x) 21 01 2(0.54—x)(0.54—x) 0 U-(x—x)(x—x)

2 02 11R(x)=f(x)—L(x)=-f&)(x—x)(x—x) 占4. 1 1 2 0 1,其中^^[x0,x1].1IR(x)l<—maxIcos(x)I-maxI(x—x)(x—x)I所以總誤差界12x<x<x x<x<x ° 101 011(x-x)2 1(1兀丫—?1?10—xIx=1.06x10—82 4 8160180)5.l2(x)—(x—x)(x—x)(x—x) 0 1 3——(x—x)(x—x)(x—x)2 02 12 3_ +4土行h當(dāng)x-x0 '時(shí)，取得最大值10+7.<7max11(x)I- 2 27x0<x<x36.i)對(duì)f(x)=x%,(k=0,1,…,n)在x0,x1,…,xn處進(jìn)行n次拉格朗日插值，則有xk-P(x)+R(x)

nnEl(x)xk+jji—01(n+1)!f(n+1)(5)(x-x)???(x—x)0n3 E1(x)xk三xk由于f(n+1)化)-0，故有，oJji—0ii)構(gòu)造函數(shù)g(x)—(x—)k,在xo,xi,…,xn處進(jìn)行門次拉格朗日插值，有L(x)—En(x—t)kl(x)

n jji—0(x-t)k—L(x)-g(n+1)—)Ini(x—x)

插值余項(xiàng)為 n (n+1)!j-0 j,由于g(n+1)化)-0,(k=1,2,…,n).故有(x—t)k—L(x)—En(x—t)kl(x).

n jji—0g(x-t)kl(x)=0令t=x,即得,_。 jj.7.以a,匕兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)作f(x)的一次插值多項(xiàng)式TOC\o"1-5"\h\zf(b)-f(a) 、L(x)=f(a)+ (x-a)b-a ，1f(x)-L(x)=f化)(x-a)(x-b虎g[a,b]據(jù)余項(xiàng)定理， 1 2 ,由于f(a)=f(b)=0,故If(x)-L(x)I=If(x)I<—maxIf(x)ImaxI(x-a)(x-b)I=—(b-a)2maxIf(x)I.

1 2a<x<b a<x<b 8 a<x<b18,截?cái)嗾`差R2(x)=—e&(x-x)(x-x)(x8,截?cái)嗾`差R2(x)=TOC\o"1-5"\h\z6 0 1 2其中x0x=x其中x0=x1+h，則1 3時(shí)取得最大值一、/ 、/ Xl2-7maxI(x-x)(x-x)(x-x)1=—%3-h3-4<x<4 0 1 2 9由題意

所以，,h<由題意

所以，,h<0.006.，c，、， 1IR(x)I<e4?2 6?h3)=10-6,.Ay=2n+1-2n,A2y=(2n+2-2n+1)-(2n+1-2n)=2n,則可得A4y=A2(A2y)=2n.5y=2n+1/2—2n-1/2n ，52y=(2n+1—2n)—(2n5y=2n+1/2—2n-1/2n ，54y=52(52y)=2n-2..數(shù)學(xué)歸納法證當(dāng)k=1時(shí)，△于(x)=f(x+h)-f(x)為m-1次多項(xiàng)式；假設(shè)4f(x)(0<k<m)是印-k次多項(xiàng)式，設(shè)為g(x)，則△k+1f(x)=g(x+h)-g(x)為印-也+1)次多項(xiàng)式，得證。.右=f(g-g)+g(f-f)=fg-fg. kk+1 k k+1k+1 k k+1k+1 k12.gk=013.gf△g=fg12.gk=013.gf△g=fg-fg+fg-fg+…+fgkk01 00 12 11k=0n-1ngM=fg-fg+fg—fg+…+fg—fk+1nn n-1j=0=(y-y)一(y-y)+(y-y)一(y-y)+—+(y-y)一(y-y)2 1 1 0 3 2 2 1n+1-^-(y1-y0)=A北一Ay0.n+1 n n n-114.由于xjx2,…，xn是f(x)的門個(gè)互異的零點(diǎn)，所以對(duì)/(%)求導(dǎo)得f(x)=a(x-x)(x-x)???(x-x)01 2 n=aH(x-x)=a(x-x町(x-x),

0 i0 j ii=1 i=1i豐jf(x)=H(x-x)+(x-x)(H(x-x))Li=0ji=1i巧0i=1i巧j=1xk j——f(x)ja0j=1xk j Hn(x-x)jig(n-1)(x)=記gk(x)=Xk,則由以上兩式得i=1i豐j0,0<k<n-2,(n-1)!,k=n-1.￡nj=1xk j——f，(x)j1￡n g(x)￡kja0j=1Hn(x-x)jii=1i巧1g(n-1)化)10,0<k<n-2,k (n-1)!a-1,k=n-1.01 「 ]=g[x,x，…，x]ak12 n015.i)工.F[x,x，…，x]=￡-

01 nj=0c,f(x)(x-x)???(x-x)(x-x )???(x-x)j0 jj-1jj+1 jnj=0 j (x-x)???(x-x)(x-x)???(x-x)j0 jj-1j j+1 jn=c-f[x,x，…,x]01 n16.17.ii)證明同上。f[20,21，…,27]=ff)=7!=1;f(8)(己)f[20,21,-,28]=f^)=0.即。_r 一一一一.R(x)=f(x)-p(x)=0,R(x)=f(x)-p(x)=0,j=k,k+1.3j j j 3j j j,xk+1均為R3(x)的二重零點(diǎn)。因而有形式：十R(x)=K(x)(x-x)2(x-x )2.3 k k+1作輔助函數(shù)叭t)=f(t)-P(t)-K(x)(t-x)2(t-x)2.k k+1則5(x)=0,5(x)=0,5(x)=0,①'(x)=0,①'(x)=0.k k+1 k k+1由羅爾定理，存在Ae(xk，x)，己2e(x，xk+1)，使得6&)=0,6&)=0.類似再用三次羅爾定理，存在&e(、工2)u(x),使得+①⑷(己)=0,又①⑷(t)=f(4)(t)-4!K(x),可得K(x)=f(4)化)/4!,即R(x)=f(4)(己)(x—x)2(x—x)2,4!.,己e(x,x).3 k k+1-- k k+118.采用牛頓插值，作均差表：p(x)=0p(x)=012+(A+Bx)(x一x)(x一x)(x一x)=0+x+x(x-1)(-1/2)+(A+Bx)x(x-1)(x-2)31A=--.B=—.又由p'(0)=0,P'(1)=1,得4, 4,所以p(x)W(x-3)2.h=19.記,x=a+kh.,k 則h=19.記,x=a+kh.,k 則①(x)=f(x)x-x +f(x)x-xi++1i i+1x-xi+1 ii i+1因?yàn)閒(x)eC[a,b],所以f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。b-ah= <o _當(dāng)n>N時(shí)，n,此時(shí)有maxIf(x)—①(x)1=maxmaxIf(x)-3(x)In0<i<n-1x<x<x=maxmaxf(x)一f(x)0<i<n-1xEx<xi+1=maxmax[f(x)一f(x)]0<i<n-1x.<x<x,,ii+1ix—i+1xi+1x—i+1xi+1+1xx-xI+f(x) -Ii+1x-xIi+1 i」x-x+[f(x)-f(x )]———i+1x-xi+1i<<maxmax￡0<i<n-1x.<x<x.,ii+1x-xx-x i+1 +￡ i-x-xx-xi+1 i i+1 i由定義知當(dāng)n"時(shí)，Q(x)在［a,b］上一致收斂于f(x)。Ih(x)在每個(gè)小區(qū)間［xk，X+1］上表示為x—x,xx—x,x—xI(x)= k+1-f+ k-hx—xkx—xk k+1 k+1 k計(jì)算各值的C程序如下：#include"stdio.h"f,(x<x<x).k+1 kk+1#include"math.h"floatf(floatx){return(1/(1+x*x));}floatI(floatx,floata,floatb){return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b));}voidmain(){inti;floatx[11],xc,xx;x[0]=-5;printf("x[0]=%f\n",x[0]);for(i=1;i<=10;i++){x[i]=x[i-1]+1;printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}for(i=0;i<10;i++){xc=(x[i]+x[i+1])/2;I(xc,x[i],x[i+1]);printf("I[%d]=%f\n",i+1,I(xc,x[i],x[i+1]));}for(i=0;i<10;i++){xx=(x[i]+x[i+1])/2;f(xx);printf("f[%d]=%f\n",i+1,f(xx));}}Ih(x)在每個(gè)小區(qū)間［xk，x+i］上為x—xx—xI(x)= k+1-x2+ k-x2=(x +x)x一xxh x—xkx—x k+1 k+1 k kk+1k k+1 k+1 kh2"4IR(x)1=1I(x)—f(x)1=1x2—(x+x)x+xx

h k+1 k kkh2"422.f'(x)=4x3,則)在每個(gè)小區(qū)間［xk,x+i］上表示為22.Ih(X)=/x-X k+1、X-X -X-Xk+1k/X-X、 k+1-2(X-X)X3+4?kk(X—X-v]XJ k~x-Xk+1 k/2、X-X k+1-X-X,kk+17X4k+1(X-X )X3.k+1 k+1k+k+1)2h44!=-16IR(x)1=1f(4)(己)(x-x)2(x-x )2/4!lk k+1X+X X<4!-(—k^1 k--X)2(—k+12k23h=x-x1 2 1=0.05,h=x-x=0.06,h43 4h23=X-X5 4-x=0.09,

2=0.08. i+1—h+hii+1h+hi i+1m-yi+1h+hi i+1m-yi+1 hi+1y-y—i hi則三次樣條插值函數(shù)表達(dá)式為/、m/ 、m/ 、/yS(X)=-i=1(X-X)3+—i-(X-X)3+(—L=L

i6hi 6h i-1 hii iymh)(x-x)+(---^h)(x-x)h6i i-1iii)由S'(0.25)=1.0000,S'(0.53)=0.6868,得a=0.6429,a=0.4,a=0.57141 2 3P=6(f[x,x]-1)=-0.276P=-4.3157,P=-3.264,P0 0 1 ， 1 2 3P=6(0.6868-f[x,x])=-0.16924 3 4關(guān)于m0,mjm2,m3,m4的方程組為=-2.4324.i)因?yàn)閒(x)eC2[〃,b],所以TOC\o"1-5"\h\z右二Jb[f〃(x)-S〃(x)]2dx+2JbS〃(x)[f〃(x)-S〃(x)]dxa a=Jb{[f〃(X)-S〃(x)]2+2S〃(x)[f〃(x)-S〃(x)]}dx=Jb(f〃(X)2-S〃(X)2)dx_立a =左。ii)由于S(x)為三次函數(shù)，故S以x)為常數(shù)，又f(XJ=s(X),則卜+1[尸(x)-S工x)]dx=0所以JbS〃(x)[f〃(x)-S〃(x)]dx=ZJXi+1S〃(x)[f〃(x)-S〃(x)]+Sm(x)[f'(x)-S'(x)]dxa x=0i=Jb[S''(x)(f〃(x)-S〃(x))+S義x)(f(x)-S'(x))]dxa=S''〃(b)[f'(b)-SS(b)]-S''〃(a)[f'(a)-S'(a)]。第三章函數(shù)逼近與計(jì)算習(xí)題參考笞案1.(a)區(qū)間變換公式為代入原公式可得新區(qū)間里的伯B(f,x)=Zf(k(b-a)+a)P(—_-),P(x)=Ckxk(1―x)n一k恩斯坦多項(xiàng)式為〃 Jn kb一akn——u(b)2 3x2x、 6.3x2 2x、 8x3B(f,x)——一x,B(f,x)———(1—―)2+ (1―一)+ 一1 兀3 兀兀 兀2 兀兀3，相應(yīng)的麥克勞林級(jí)數(shù)分別為P(x)——x,P(x)——x—1x3 R(x)<—兀3X0.6459646 ，部分和誤差則為1 48 ,R(x)< 兀5X0.07969263 3840大于伯恩斯坦多項(xiàng)式的誤差。2.m——mEP(x)<Ef(k)P(x)——B(f,x)<MEnP(x)——M

k nk n kk——0 k——0 k——03.當(dāng)f(xXx時(shí)，sin4x—0|<1B(f,x)——乙一Ckxk(1—x)n—k——x乙Ck—1xk—1(1一x)(n—1)—(k—1)——xn nn n一1k——0 k——11 ,、x——上區(qū),k——1 .8對(duì)任意不超過6次的多項(xiàng)式g(x)，在 8，，，時(shí)，若有|g(x)—sin4x|<L則g(x)在［0，2兀］上至少有7個(gè)零點(diǎn)，這與g(x)不超過6次矛盾，所以1g(x)—sin4xl21,g(xX0就是所求最佳一致逼近多項(xiàng)式。4設(shè)所求為g(x)——cA(f，g)——max(|M—C，m—c|)，M——maxf(x),m——minf(x)由47頁定理4可知g(x)在LR上至少有兩個(gè)正負(fù)交錯(cuò)的偏差點(diǎn)，恰好分別M—c———(m—c),c———(M+m)為f(x)的最大值和最小值處，故由 2可以解得g(xX1(M+m)B2即為所求。5._J3a原函數(shù)與零的偏差極大值點(diǎn)分別為——亍,x——故用—a呼)——a—16.7._3解方程可得出唯一碎——4。a——-x0.6366201兀224cosx——一，曰x——arccos—x0.880689,f(x)x0.771178故兀，得2 兀 」22a——fM)—a巴x0.1052570 2 12 ，故所求最佳一次逼近多項(xiàng)式為P1(x)——0.636620x+0-105257，又因?yàn)閮蓚€(gè)偏差點(diǎn)必在區(qū)間端點(diǎn)，故誤差限為max卜inx—P(x)|<P(0)——0.1052570<x<2 1 1 。a1——e—1x1.71828，故由2——e—1可以解得x廣0.541325，f(x2)x1.71828，8.9.10.11.12.13.a則有0*2x-a--0.89406712 ,故所求最佳一次逼近多項(xiàng)式為P(x)—1.71828x+0.8940671。切比雪夫多項(xiàng)式在[-1,1]上對(duì)零偏差最小，所求函數(shù)必為切比雪夫多項(xiàng)式的常數(shù)倍，11P(x)—2T2(x)—x2-2,解得唯一解,―-作變換[-1,1]_11x——+—t22代入f(x)得上的1S(t)—g(t)- T(t)―1283次5 25g(t)=1512。3 11 916最佳11 73—13+12+t- 8 16 8 128828―16,則g(t)在逼近多項(xiàng)式為作逆變換t=2x-1代入S(t)，則n、_5_5 1_129f(x)在［0，1］上的三次最佳逼近多項(xiàng)式為(x)一x3-4x2+4x-128。T*(x)—T(2x-1)—1T*(x)—T(2x-1)—2x-1T*(x)—T(2x-1)—8x2-8x+1，1T*(x)=T(2x-1)=32x3-48x2+18x-133f1T*(x)T*(x)n_mr——0\；'x-x2交。，2 2其中x￡[。，1]

，。/_f1T(2x-1)T(2x-1)/J112T(x)T(x)/dx-n -m dx—n_ m^ dx0 \；'x-x2 -12 、:1-x22k-1用T4(x)的4個(gè)零點(diǎn)x「cosk皿—，，，4)做插值節(jié)點(diǎn)可求得三次近似最

佳逼近多項(xiàng)式為L3(x)―-0.0524069+0.855066x+0.0848212x2-0.0306032x3。f(x)—ex，則有fn(x)二⑥，其中x￡[-1，1]。由拉格朗日插值的余項(xiàng)表達(dá)公式f(x)-L(x)

n T(x)n+1fn+1&)(n+1)!2n(n+1)!2ne-1(n+1)!2n(n+1)!2n,則待證不等式成立，得證。14.由泰勒叭x)=M (x)-5,3級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)節(jié)約,151 1651… T(x) T(x)38484 3840165、7［-1,1］M(x)=T(x)+裊T(x)+黑］T(x)―

5,3 38484 3840165183，21甘r+i,口￥REI+maxM(x)-M(x)―其中誤差限為-1<x<1 5,311f(x)—sinx—x--x3+ x5+15. 6 120 ,151+- x3- 1024 1281651 311993即1101x2 x+ 4096 1096氏0.0075683638483840164096 。11P(x)—x一一x3+ x5、取5 6 120為f(x)的近似,16.17.18.誤差限為mx1可以得. .1f(x)-P(x)<氏0.0001984135 '7!5,3到原函數(shù)的311 5/83- T(x)=--x3+ 120165 32 384，再對(duì)冪級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行節(jié)約就次逼近多項(xiàng)其誤差限, 1 11maxf(x)-M(x)<—+ 氏0.000719246-1<x<1 5,3 7!120165,3即為所求上的奇函數(shù)時(shí)，設(shè)F：(x)為原函數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式，n，對(duì)-F;(—x)有(-x)-f(x)|=|^*(-x)-f(-x)|<En，以-F;(-x)也是最佳逼近多項(xiàng)式，由最佳逼近多項(xiàng)式的唯一性-F*(-x)=F*(x)n，即-F；(—x)是奇函數(shù)。同理可證，當(dāng)f(x)為l-a,a]上的偶函數(shù)時(shí)，最佳逼近多項(xiàng)式F；(x)也是偶函數(shù)。J2lax+b-sinx]2dx=—a2+—b2+—ab-2a-2b+—0 24 2 4 4,為使均方誤差最小,兀3 兀2 兀2a+—b—2=0,—a+兀b—2=0則有12 4 4 ，解得96-24兀，8兀一24a= ,b= (a)(f,g)=(g,f)=Jbf'(x)g'(x)dx (cf,g)=c(f,g)=cJbf'(x)g'(x)dx(f+f,g)=(f,g)+(f,g)=J12(f,f)>0(f,g)=Jba但當(dāng)f(x)=c2時(shí)，abf'(x)g'(x)dx+Jb1c為常f'2(x)g'(x)dx(f,fh0，不滿足定義，，所以f(x)g(x)dx不構(gòu)成積。(b)(f,