解析幾何中的定點(diǎn)和定值問題

解析幾何中的定點(diǎn)定值問題考綱解讀：定點(diǎn)定值問題是解析幾何解答題的考查重點(diǎn)。此類問題定中有動，動中有定，并且常與軌跡問題，曲線系問題等相結(jié)合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識。考查數(shù)形結(jié)合，分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。定點(diǎn)問題解題的關(guān)健在于尋找題中用來聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線系、曲線系來解決。例1已知、是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為a和S，當(dāng)a、B變化且a例1已知、是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為a和S，當(dāng)a、B變化且ap兀4時證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：設(shè)（/2p,y1），(T-2-， y)，則2p22ptana= ,tanPy12p代入tan(a+P)=1y2（1）又設(shè)直線 的方程為y=kx+b，則y=kx+b,yy122pb—,y+yk1 2nky2—2py,yy122pb—,y+yk1 22p丁，代入（）式得b=2p+2pkk???直線AB的方程為y—2p=k(x+2p)???直線AB過定點(diǎn)（2p,2p）說明：本題在特殊條件下很難探索出定點(diǎn)，因此要從已知出發(fā)，把所求的定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求直線AB,再從AB直線系中看出定點(diǎn)。例2.已知橢圓C：x2+上=1（。>b〉0）的離心率為—,以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的a2b2 2圓與直線x—y+<2=0相切.⑴求橢圓C的方程；⑵設(shè)P（4,0）,M、N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)PN交橢圓C于另一點(diǎn)E，求直線PN的斜率的取值范圍；⑶在⑵的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點(diǎn).范文范文范文解析：⑴由題意知e=-二旦，所以e2=c2=竺二b2=3,即a2=4b2，又因?yàn)閎二二L=1,所以

a2 a2 a2 4 <1+1x2a2=4,b2=1,故橢圓C的方程為C:一+y2=1.4⑵由題意知直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y=k(x-4)①y=k(x-4)聯(lián)立\x2 1肖去y得：(4k2-1)x2-32k2x+4(16k2-1)=0，彳+y2=1由A=(32k2)2-4(4k2+1)(64k2-4)>0得12k2-1<0,又k=0不合題意，所以直線PN的斜率的取值范圍是——<k<0或0<k<—.66⑶設(shè)點(diǎn)N(x,y),E(x,y),則M(x,-y)，直線ME的方程為y-y=y2+,1(x-x),1 1 2 2 1 1 2x-x 221令y=0,得x=x一y2(x2x),將y=k(x-4),y=k(x-4)代入整理，得x=-1x2-“q+x2).②2y+y 1 1 2 2 x+x-821 12由得①x+x= ,xx=64卜2-4代入②整理，得x=1,1 24k2+112 4k2+1所以直線ME與x軸相交于定點(diǎn)(1,0).【針對性練習(xí)1】在直角坐標(biāo)系【針對性練習(xí)1】在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F1J.3,0),F(3,0)2的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，不過點(diǎn)A的直線l:y=kx+b與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和。.⑴求軌跡C的方程；⑵當(dāng)AP.AQ=0時，求k與b的關(guān)系，并證明直線l過定點(diǎn).的距離之和是4…的距離之和是4…?.M的軌跡C是長軸為4，焦點(diǎn)在x軸上焦中為2v3的橢圓，其方程為x2+y2=1.4⑵將y=kx+b，代入曲線C的方程，整理得(1+4k2)x2+8<2kx+4=0，因?yàn)橹本€l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P和Q，所以A=64k2b2-4(1+4k2)(4b2-4)=16(4k2-b2+1)>0①設(shè)P(x,y),Q(x,y)，則Ux+x=--以2k,xx=---②1 1 2 2 1 2 1+4k2 12 1+4k2)+b2，顯然，曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A(-2,0)，所且y?y=(kx+b)(kx+b)=(k2xx)+kb(x+x1 2 1 2 12 1 2以AP=(x+2,y),AQ=(x+2,y).由AP?AQ=0，得(x+2)(x+2)+yy=0.1 1 2 2 1 2 12將②、③代入上式，整理得12k2-16kb+5b2=0.~所以(2k-b)?(6k-5b)=0,即b=2k或b=6k.經(jīng)檢驗(yàn)，5都符合條件①，當(dāng)b=2k時，直線l的方程為y=kx+2k.顯然，此時直線l經(jīng)過定點(diǎn)(-2,0)點(diǎn).即直線l經(jīng)過點(diǎn)A，與題意不符.當(dāng)b=5k時，直線l的方程為y=kx+6k=k］x+6' (6 、 顯然，此時直線l經(jīng)過定點(diǎn)［-5,0］點(diǎn)，且不過點(diǎn)a?綜上，k與b的關(guān)系是:且直線l經(jīng)過定點(diǎn)/6 、,二，0點(diǎn)?k5 7x2 y2【針對性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓丁+—=1的左、右頂點(diǎn)為A、B,右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x,y)、11N(x,y)，其中m>0,y>0,y<0。22 1 2(1)設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4，求點(diǎn)p的軌跡；(2)設(shè)x=2,x=1，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；1 23(3)設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))?！窘馕觥勘拘☆}主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識?？疾檫\(yùn)算求解能力和探究問題的能力。解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則：F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-[(x-3)2+y2]=4,9故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x=-。乙(2)將x=2,x=1分別代入橢圓方程，以及y>0,y<0得：M(2,1 23 1 2\o"CurrentDocument"y-0x+3 1直線MTA方程為：-5—=---，即y=-x+1,2+3 3-—033-(3,20-9)直線NTB方程為:5562聯(lián)立方程組，解得：＜10,y= 310所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為（7,—）。（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為（9,m）直線MTA方程為:直線NTB方程為:y-0x+3m-0=9+3,直線MTA方程為:直線NTB方程為:y-0x+3m-0=9+3,y-0 x-3m—09—3m即y= (x+3),JL乙m即y=—(x-3)。6x2y2分別與橢圓至+3=1聯(lián)立方程組，同時考慮到x。-3,x豐3,3(80-m2) 40m解得：M(RT'k)、n(3(m2一20) 20m20+m2 20+m2（方法一）當(dāng)『x2時,直線MN方程為:20my+ 20+m23(m2一20)X- 20+m240m 20m 3(80-m2)3(m2-20)^T80+m220+m2 80+m2 20+m2令y=0,解得：％=1。此時必過點(diǎn)d（1,0）；當(dāng)'二X2時,直線MN方程為：X=1,與x軸交點(diǎn)為D（1,0）。所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1,0）。（方法二）若5=X2，則由240一3m23m2-6080+m2 20+m2及m>0,得m=2v10,此時直線MN的方程為X此時直線MN的方程為X=1,過點(diǎn)D（1,0）。若x豐x，則m豐2J10，直線MD的斜率k1 2 MD40m80+m2240-3m21 -180+m210m40-m2,直線ND的斜率kND直線ND的斜率kND-20m20+m23m2-60 -120+m210m40一m2得k=k，所以直線MN過D點(diǎn)。MDND因此，直線MN必過X軸上的點(diǎn)（1,0）?！踞槍π跃毩?xí)3】已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，焦距為2，短軸長為2v3.（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）若直線l：y=kx+m（k豐0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N不是橢圓的左、

右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)A.求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).解(I)設(shè)橢圓的長半軸為〃，短半軸長為b，半焦距為J則‘2c=2,fa=2,(2b=2" 解得<廣… fb=瓜x2 y2—+—=1.4 3ax2 y2—+—=1.4 3???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為%2工y2_1消去y，得(ii)由方程組(彳+弓-—1y=kx消去y，得TOC\o"1-5"\h\z(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. 分由題意△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,整理得：3+4k2-m2>0 ① 分設(shè)M(x,y)、N(x,y)，貝|11 228km 4m2-12x+x= ,xx= 12 3+4k2 12 3+4k2由已知，AM±AN,且橢圓的右頂點(diǎn)為A（2,0）,(x-2)(x-2)+yy=0.1 2 12(1+k2)xx+(km-2)(x+x)+m2+4=0,12 1 2也即G+k2)邸+(km也即G+k2)邸+(km-2).冊整理得7m2+16mk+4k2=0.… 2k_ 2k ?皿- 、解得m=-2k或m=-—，均滿足① 分當(dāng)m=-2k時，直線l的方程為y=kx-2k，過定點(diǎn)（2,0）,不符合題意舍去;2k當(dāng)m=--時. J2直線l的方程為y=kx--I72，過定點(diǎn)（7，0）,故直線i過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）. 分例3、已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=4y的焦點(diǎn)，一一2 、，離心率e—5，過橢圓的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)。(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)設(shè)點(diǎn)M(m,0)是線段OF上的一個動點(diǎn)，且(MA+MB)1AB，求m的取值范圍；(I)設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個定點(diǎn)N,使得C、B、N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在用說明理由。x2y2解法一：(I)設(shè)橢圓方程為一+J=1(a>b>0)，由題意知b-1a2b22 x2二「5na2-5故橢圓方程為—+y2-1(II)由(I)得F(2,0),所以0<m<2，設(shè)l的方程為y=k(x—2)(k豐0)x2代入一+y2-1,得(5k2+1)x2—20k2x+20k2—5=0設(shè)A(x,y),B(x,y),5 11 2220k2 20k2—5則x20k2 20k2—5則x+x ,xx 1 2 5k2+112 5k2+1'「?y+y-k(x+x—4),y—y=k(x—x)12 1212 12「.MA+MB-(x—m,y)+(x—m,y)=(x+x—2m,y+y),AB=(x—x,y—y)122 1212(MA+MB)1AB,.?.(MA+MB)?AB-0,「.(x+x—2m)(x122 12 1—x)+(y—y)(y+y)-01 211 2,..-20k2一= ,..-20k2一= 4k2「. —2m— 0,「.(8—5m)k2—m-0由k25fe^1■ 以2+1——8當(dāng)0<m<-時，有(MA+MB)1AB成立。51- 8>0,「.0<m<-,5(III)在x軸上存在定點(diǎn)￡,0)1使得C、B、Nm點(diǎn)共線。依題意知C(丁”,直線BC的方程為y+y-y2+y1(x—x),令y-0,則Ux-y1(x2x1)+x1x—x1 y+y121 21vl的方程為y-k(x—2),A、B在直線l上，yx+yx:-12 3-^1y+y21:.y=k(x:.y=k(x—2),y=k(x—2)「.x-1122k(x—1)x+k(x—1)x 1 2 2 1-k(x+x)—4k122kxx—2k(x+x)k(x+x)—4k1220k2—5 20k220k2—5 20k22k- —2k- - 5k2+1 5k2+1720k2-

k —4kx2代入丁+y2-1，得(5k2+1)x2—20k2+20k2—5-0設(shè)A(x,y),B(x,y)，則5 11 224k「.y+y-k(x+x—4)=— ,y—y-k(x—x)1 2 1 2 5k2+11 2 1 220k2x+x ,xx1 25k2+112_20k2—5-5k2+1(MA+MB)1AB,「」MAl-lMBI,.；(x1—m)2+y1-(xx2—m)2+y2,5在x軸上存在定點(diǎn)N(5,0),使得CBN三點(diǎn)共線。5k2+1解法二：(II)由(I)得F(2,0),所以0<m<2。設(shè)l的方程為y-k(x—2)(k豐0),:二(x+x—2m)(x—x)+(y+y)(y—y)-0,1 2 . 1 2 12 12128k2 88)k豐0,:.k2>0「.0<m<5(1+k2)(x+.x)—2m—4128k2 88)k豐0,:.k2>0「.0<m<5「.m= ——— 5k2+1 55(5k2+1° 8 .. _.當(dāng)0<m<-時，有(MA+MB)1AB成立。5

(Ill)在X軸上存在定點(diǎn)N(5,0)，使得C、B、N三點(diǎn)共線。CB=(X一X,12設(shè)存在N(t,0)，使得C、CB=(X一X,121X，1?.?.(X2-5)乙-4-\)(乂+y2)=0即(x一x)k(x-2)-(t一x)k(x+x-4)=0^2xX^一(t+2)(x+x)+4t=02 1 1 1 1 2 12 1 2???啜二-(t+2)含+4t=0-2.??存在n4。),使得CBN三點(diǎn)共線。二、定值問題在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，解決這類問題時，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進(jìn)行一般計算推理求出其結(jié)果，選定一個適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡整理求出結(jié)果，；另一種思路是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。同時有許多定值問題，通過特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形式出現(xiàn)，特珠化方法往往比較奏效。例4、已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，OA+OB與a=(3,-1)共線。(1)求橢圓的離心率；，■■■(2)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且OM=九OA+NOB(九，日￡R)，證明九2+從2為定值。x2y2解析：(1)設(shè)橢圓方程為a2+言=1(ab0A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0,y0)，TOC\o"1-5"\h\z'合+二-1 , ,y—y< b2 一■?b2、a2b2 ，兩式相減及—1得到y(tǒng)二一一x，所以直線 的方向向量為on—(1,——)，x2 y2 1 x—x 0a20 a2—+4―1 2 1、a2 b2b2 6—,即a2=3b2,從而得e―――a2 3(2)探索定值因?yàn)镸是橢圓上任意一點(diǎn)，若M與A重合，則OM=OA，此時九二1,日-(2)探索定值,?九2+從2=1證明?.?a2=3b2，,橢圓方程為x2+3y2證明?.?a2=3b2，y=x—cx2+3y2=3b2x+x12y=x—cx2+3y2=3b2x+x123=C2xx123c2—3b2 3 ———C24 8又設(shè)M（xy），fx=Xx+ux則由OM=XOA+uOB得＜ 1 2，代入橢圓方程整理得Iy=Xy+uyX2(x2+3y2)+u2(x2+3y2)+2Xu(xx1 1 2 2 12+3y2y2)—3b2又:x2+3y2—3b2,x2+3y2=3b2,

11 22xx+3yy=4xx—3c(x+x)+3c2=—c2——c2+3c2=012 12 12 1 2 2 2X2+u2—13例5、已知，橢圓C過點(diǎn)A（1,2），兩個焦點(diǎn)為（一1,0）,（1,0）。求橢圓C的方程；E,F是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值。19 3解析：（1）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為 +——1，解得b2=3,b2——-（舍去）1+b24b2 4x2 y2所以橢圓方程為—+y=1。3 x2y2(2)設(shè)直線AE方程為：y=k(x—1)+-，代入—+^-=1得乙 I- J3(3+4k2)x2+4k(3—2k)x+4(2—k)2—12—03設(shè)E(x,y),F(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)A(1,-)在橢圓上，所以EE FF 234(-—k)2—12 q2 7 3 7x= y—kx+——kF 3+4k2 EE2,又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以一K代K,可得34(-+k)2—12 3x——2 ,y——kx+—+kF 3+4k2 EE2n4x2—6cx+3c2—3b2=0所以直線EF的斜率KEFy一y-^F Ex一xFEF E—x一xFE即直線EF的斜率為定值，所以直線EF的斜率KEFy一y-^F Ex一xFEF E—x一xFE即直線EF的斜率為定值，1其值為5。將第二問的結(jié)論進(jìn)行如下推廣：x2 y2結(jié)論1.過橢圓瓦+卷=1（。＞0，b＞0）上任一點(diǎn)4x0，y0）任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于b2xE、F兩點(diǎn)，則直線EF的斜率為定值一（常數(shù)）。a2y0證明：直線AE的方程為y-y=k（x-x），則直線AF的方程為y-y=-k（x-x），x2y2聯(lián)立y-y0=k（x-x0）和二十七=1,消去y可得a2b2(a2k2+b2)x2+2a2k(0y-k)x+ 2a(-y k)2x- 2a2=b00 00設(shè)E(x,y),F(x,y),則x22+x102a2k(y-kx)a2k2x-2a2ky-b2x 0 0 o,同理，a2k2+b2-4a2kyx= 0-,2 a2k2+b2 0 0—a2k2+b2a2k2x+2a2ky-b2x 0 0a2k2+b2y-y=k(x-x)+y+k(x-1210 0x0)--4b2kxy= ^,0 a2k2+b2b2x Q-.a2y0則直線EF的斜率為yi-y2x-x12x2結(jié)論2.過雙曲線—a2卷=1（。＞。力＞。）上任一點(diǎn)4x2結(jié)論2.過雙曲線—a2b2x于E、F兩點(diǎn)，則直線EF的斜率為定值-一o（常數(shù)）。a2y0結(jié)論3.過拋物線y2=2px（p＞0）上任一點(diǎn)A%,y/任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩p點(diǎn)，則直線EF的斜率為定值—-（常數(shù)）。y0例6、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)F到短軸端點(diǎn)的距離是4,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F距離的最大值是6.

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率e(II)若F'為焦點(diǎn)F關(guān)于直線j=3的對稱點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足q=e，問是否存在一個定點(diǎn)A，使M到2 |MF1點(diǎn)A的距離為定值？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.解析：(I)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為mc，由已知得a=4,f， 解得a=4,c=2.a+c=6,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為"+二=1.離心率e=2=1.1612 42(II)F(0,2),F'(0,1)，設(shè)M(x,y),由M^=e得|MF|v'x2+(y2)2_Jv'x2+(yT)2 272化間得3x2+3y2-14y+15=0,即x2+(y一—)2=(3)2故存在一個定點(diǎn)A(0,7),使M到A點(diǎn)的距離為定值，其定值為2.33例7、已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，P(2,0)為定點(diǎn).(I)若點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；(II)若動圓M過點(diǎn)P,且圓心M在拋物線C上運(yùn)動，點(diǎn)A、B是圓M與y軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線。使入81為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由.解析：(I)設(shè)拋物線方程為y2=2px(p豐0),則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(p,0).由已知，p=2,即p=4，故拋物線C的方程是y2=8x.(II)設(shè)圓心M(a,b)(a>0),點(diǎn)A(0,y1),B(0,y2).因?yàn)閳AM過點(diǎn)P(2,0),則可設(shè)圓M的方程為.則y1+y2=2b,y1,y2=4a-4所以IA51=<(yi-y2)2.則y1+y2=2b,y1,y2=4a-4所以IA51=<(yi-y2)2=\：：(yi+y2)2-4by2=4bb2-16a+16.設(shè)拋物線C的方程為y2=mx(m豐0),因?yàn)閳A心M在拋物線C上，則b2=ma.所以IABI=4mma-16a+16=J4a(m-4)+16,由此可得，當(dāng)m=4時，IABI=4為定值.故存在一條拋物線y2=4x,使IABI為定值4.例8、已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為21-1,離心率為e=：■.2(I)求橢圓E的方程；(II)過點(diǎn)(1,0)作直線?交E于P、Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個定點(diǎn)M,MP-MQ為定值?

若存在，求出這個定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.a—c=V2-1解析：(I)設(shè)橢圓E的方程為x2+y2=1,由已知得：L五。?！?分

a2b2 c=2±〔a2TOC\o"1-5"\h\z...<a—?dú)v...b2-22—c2=1.?.橢圓E的方程為x—+y2=1。。。。 3分1c-1 2)(II)法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0),又設(shè)P(x,y),Q(x,y),則:1 1 2 2MP-(x—m,y),MQ=(x—m,y),MP?MQ=(x—m)?(x—m)+yy1 1 2 2 1 2 12-xx—m(x+x)+m2+yy。。。。。5分12 1 2 12①當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：y-k(x—1)，貝U,x2+y2-1-由\2 得x2+2k2(x—1)2—2—0y-k(x—1), , , 4k2 2k2—2八TOC\o"1-5"\h\z(2k2+1)x2—4k2x+(2k2—2)-0x+x ,x?x 7分k22k2+11 22k2+1 k22k2+1yy-k2(x—1)(x—1)-k2[xx—(x+x)+1]-12 1 2 12 1 22k2—24k2 k2 (2m2—4m+1)k2+(m2—2)所以MP?MQ m +m2 -- 9分2k2+1 2k2+1 2k2+1 2k2+1對于隹意的4值，MP?MQ為定值，所以2m2-4m+1-2(m2—2)，得m-1,5 7所以M(-,0),MP?MQ―--； 11分4 16②當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l:x-1,x+x-2,xx-1,yy—-11 2 12 12 2, 5 7由m——得MP?MQ———4 16綜上述①②穌符合條件的點(diǎn)M存在，起坐標(biāo)為(5,0). 13分4法二：假設(shè)存在點(diǎn)M(m,0),又設(shè)P(x,y),Q(x,y),則：MP=(x—m,y),MQ=(x—m,y)11 22 1 1 2 2MP?MQ=(x—m)?(x —m)+yy=xx—m(x +x)+m2+y y.… 5分1 2 12 12 1 2 12 .①當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為x-ty+1,由]2 得(t2+2)y+2ty—1-0/.y+y ,y?y 7分1 2 ) 。0t2+212t2+2—12—2t2+—12—2t2+t2+2t2+2—2t2+2t2+2xx-(ty+1)?(ty+1)=1yy+t(y+y)+112 1 2 212 1 24t2+2—2t2+2t4t2+2x+x-t(y+y)+2 1 2 "1 t2+29分—2t2+24m 1(m2—2)t2+2m2—4m+9分MP?MQ +m2 t2+2 t2+2 t2+2 t2+2(m2—2)t2+2m2—4m+1t2+t2+25「.(m2—2)t「.(m2—2)t2+2m2—4m+1-X(t2+2)「.(m2—2—X)t2+2m2—4m+1-2X-02m2—4m+1—2X=04 ?.M(5,0)11分7 7 4X—-—16

②當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l:y=0,由M(5,0)得：4TOC\o"1-5"\h\z--5 -5 25 7MP?MQ=(；2——)?(一\：2——)=——2=——4 4 16 16綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為(5,0)。。。。13分4三、定直線問題例9、設(shè)橢圓C：上+號=1(〃>b>0)過點(diǎn)M(V2,1)，且焦點(diǎn)為F(—\:2,0)a2b2 i(I)求橢圓C的方程；(II)當(dāng)過點(diǎn)P(4,1)的動直線l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn)AB時，在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足AP^QB卜Aq「PB「證明：點(diǎn)Q總在某定直線上解析(1)由題意：c2=22 1一 -一 .X2y2 -<+--=1，解得a2=4,b2=2，所求橢圓方程為――+—--1a2b2 42PA,|pb|,|AQ|,QBPA,|pb|,|AQ|,QB網(wǎng)不為零。⑵設(shè)點(diǎn)Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設(shè)，且圖-陷AQQB又P,A,Q,B四點(diǎn)共線，可設(shè)PA--九AQ,PB-九BQ-0,±1),于是4一九x 1一九yVT一T,y1-E4+九x 1+九yTOC\o"1-5"\h\zX—~—,y―—52 1+九2 1+九由于A(XJyj,B(X2,y2)在橢圓C上,將⑴，⑵分別代入C的方程X2+2y2-4,整理得 (X2+2y2一4)九2一4(2x+y一2)九+14-0 (3)(X2+2y2-4)九2+4(2x+y-2)九+14-0 (4)(4)—(3)得 8(2x+y—2)九二0:九w0,???2x+y一2-0，即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線2x+y一2-0上例10、已知橢圓C的離心率e--，長軸的左右端點(diǎn)分別為A(-2,0),A(2,0)。(I)求橢圓C2 12的方程；(I)設(shè)直線x-my+1與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線AP與AQ交于點(diǎn)S。試問：當(dāng)m變化時，12

點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。TOC\o"1-5"\h\z解法一：（1）設(shè)橢圓C的方程為x2+y2=1（a〉b〉0）。 1分a2b2a=2,e=—=—，,c=、：3,b2=a2-c2=1。 4分a2???橢圓C的方程為x2+y2=1。 5分42,Q[-忘]，直線A1P的方程是y=今x+孝,直線A2Q的方程是y=4一、3，交點(diǎn)為S1J：3）? 7分,(若p(若p*1，I由對稱性可知交點(diǎn)為S2(4,-v3)若點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為〃:x=4。 8分X2X2 [由K+y2=1得

x=my+1以下證明對于任意的m,直線AP與直線AQ的交點(diǎn)S均在直線0；x=4上。事實(shí)上，1 2(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0t己P(x,y),Q(x,y),則Uy+y=-2m,yy=-3。 9 分 2 22 1 2m2+412m2+4 2設(shè)AP與；交于點(diǎn)S(4,y),由一V="^,得y=色—.0 0 4+2x+2 0x+2\o"CurrentDocument"1 1設(shè)AQ與?交于點(diǎn)S'(4,y'),由匚二二^,得y'=二^. 100 0 4-2x-2 0x-22 24myy4myy-6(y+y)12、， 12(x1+2)(x-2)2

1 2,6y2yy-y= 1 2—0 0x+2x-21 26y(my-1)-2y(my+3)TOC\o"1-5"\h\z-12m -12m12分m2+4m2+12分(x+2)(x-2)=0，13分\o"CurrentDocument"1 213分??y0=y0即S與S'重合，這說明，當(dāng)m變化時，點(diǎn)S恒在定直線〃：x??y0=y0解法二：（II）取m=0,得P（1,#1,Q（1,-芋）直線A1P的方程是y=gx+乎，直線A2Q的方程是y=興x-瓜交點(diǎn)為S1Q,"） 7分取m=1,得P（8,3],Q（0,-1），直線AP的方程是y=1x+1,直線AQ的方程是y=1x-1,交點(diǎn)為S（4,1）.V55J 1 6 3 2 2 2???若交點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為〃：x=4。 8分-V

TOC\o"1-5"\h\z以下證明對于任意的m,直線AP與直線AQ的交點(diǎn)S均在直線〃：x=4上。事實(shí)上，1 2X27+y2=1得x=my+1記 P( J(,)yX27+y2=1得x=my+1記 P( J(,)y，,貝Q1 1 2 2—2m —3y+y= ；,yy= ；?！? m2+4 m2+4 y=yy=y2(x—2),x—2AP的方程是y=一二(x+2),AQ的方程是y=—口(x—2),消去y,得一二(x+2)=一二(x—2)???1 x+2 2y x—2 x+2 x—21 2 1 2①以下用分析法證明x=4時，①式恒成立。要證明①式恒成立，只需證明色「=3^,即證x+2x—2123y(my—0=y(my+3即證2myy=3(y+y). ②1 2 2 1 12 122myy—3(y+y)=二6m-—二6m=0,二②式恒成立。這說明，當(dāng)m變化時，點(diǎn)S恒在定直線〃：x=4上。1 m2+4m2+42 1 上解法三：(II)由4+y2=1得(my+11+4y2=4,即(m2+4)y2+2my—3=解法三：(II)由x=my+1記P(x,y),Q(x,y),則y

1 1 2 21+y2—2m—7,yym2+412—3m2+4AA1P的方程是y=七1(x+2),A2Q的方程是y=j］(x—2),2y—1—y—1—x+219分y=，(x+2),x+2,口得

(x+2)=J(x-2),

x—22即x=4y、(x+2)+y(x—2)(x1+2)-y1(x,-2).y(my+3)+y(my,-1)_

/y)(my1+3)-y1(my)—1)無21 122myy+3y—y12 3y+y

2=2d2m—3—+3

m2+4—y1 =4.12分這說明四、13分當(dāng)m變化時，點(diǎn)S恒在定直線e:x=這說明四、13分例u、已知雙曲線Ca-卷=皿>0/>0)的離心率為，”，右準(zhǔn)線方程為x=告(1)求雙曲線c的方程;(II)設(shè)直線I是圓。：x2+y2=2上動點(diǎn)玖x0,y。)(x0y0W0)處的切線,,與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B，證明ZAOB的大小為定值解析：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．)由題意，得)由題意，得《，解得a=1,c=%3，y2?,.b2=c2—a2=2，，所求雙曲線C的方程為x2--=1(…P0)G0y0選圓x2+y2=2上,圓在點(diǎn)P0)處的切線方程為y-y0=-3G-x0)，0TOC\o"1-5"\h\zy2 1x2— =1化簡得xx+yy=2由＜ 2 及X2+y2=2得0 0 00xx+yy=200Qx2-4)x2-4xx+8-2x2=0 ①0 00(3x2-4)y2-8yx-8+2x2=0 ②0 00??切線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且0<x2<2,0,.3x2-4豐0，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,y),(x,y),0 11 22則xx128-2x2 2x2則xx12 0-,yy=-0——3x2-4123x2-400TOC\o"1-5"\h\z??OA-OB=xx+yy=0,.?.ZAOB的大小為90。12 12x2 y2.例12：己知橢圓一+7-=1(a>b>0)，過其中心O的任意兩條互相垂直的直徑是PP.、a2b2 12Q1Q2,求證：以兩條直徑的四個端點(diǎn)所成的四邊形P1Q1P2Q2與一定圓相切。探索定圓：取橢圓長軸和短軸為兩直徑，則AB的方程為22xy abTOC\o"1-5"\h\z-+t-=1,原點(diǎn)到直線AB的距離為r=. ,ab 22 aa2+b2 -a2b2則與菱形ABAB內(nèi)切的圓方程為x2+y2= -1122 a2+b2

1(k2+1)a2b2同理OQ22=丁E"作OH，P2Q2則(k2+1)a2b2同理OQ22=丁E"作OH，P2Q2則O^H\=ab|OQ|2 aa2+b2.y=kxx2y2——+—=1、a2b2a2b2?解得］“ b2+a2k2?OP2_(k2+1)a2b2k2a2b2V2——2b2+a2k2y-、 b2+a2k2與曲線的另一個交點(diǎn)P（-x,-竺），其斜率ka2?kPP2a2pp0的方程為y-y2a4x與曲線的另一個交點(diǎn)P（-x,-竺），其斜率ka2?kPP2a2pp0的方程為y-y2a4x3a2x3P1P2PP1a2(x-x)a2（定值）yOxPpP2證明：設(shè)PP1的斜率為k，則PP2的斜率為一/.PP1的方程為y-y_=k(x-x)1pp.的萬程為y-y=