(938)三角形綜合證明解答題30題(有答案)ok

頁(yè)腳頁(yè)腳三角形綜合解答證明題專項(xiàng)練習(xí)30題.已知，如圖，Z1=Z2,AD±BDf-D,ZACB=90°,AC=BC,證明：AD二4BE..如圖，點(diǎn)P為AABC的邊BC的中點(diǎn)，分別以AB,AC為斜邊作Rt^ABD和Rt^ACE,且NBAD二NCAE,求證：PD=PE..已知，如圖AABC中，ZABC=45°,CDLAB于D,BE平分NABC,且BELAC于E,與CD相交于點(diǎn)F,H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G.求證：(1)BF=AC；.如圖，△ABC中，CA=CB,NACB=90°,D為^ABC外一點(diǎn)，且AD，BD,BD交AC于E,G為BC上一點(diǎn)，且NBCG二NDCA,過G點(diǎn)作GHLCG交CB于H.(1)求證：CD=CG；(2)若AD=CG,求證：AB=AC+BH..如圖，在Rt^ABC和Rt^ADE中，AB=AC,AD=AE,CE與BD相交于點(diǎn)M,BD交AC于點(diǎn)N.試猜想BD與CE有何關(guān)系？并證明你的猜想.

.如圖，4ABC的邊BC的垂直平分線DE交ABAC的外角平分線AD于D,E為垂足，DFLAB于F,且AB>AC,求證:BF=AC+AF..如圖1,NACB=90°,AC=BC,BE，CE,AD，CE于D,(1)ABCE04CAD的依據(jù)是(填字母)；(2)猜想：AD、DE、BE的數(shù)量關(guān)系為(不需證明)；(3)當(dāng)BE繞點(diǎn)B、AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，線段AD、DE、BE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論..如圖，分別以4ABC的邊AB,AC向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,線段BE與CD相交于點(diǎn)O,連接OA.(1)求證:BE-DC；(2)求NBOD的度數(shù);(3)求證：OA平分NDOE..已知：如圖，在Rt^ABC中，NCAB=90°,AB=AC,D為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)作CFLBD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過點(diǎn)作AELAF于點(diǎn).(1)求證：△ABE04ACF；(2)過點(diǎn)作AHLBF于點(diǎn)H,求證:CF=EH..探究題:如圖，在4ABC中，NACB=90°,CE，AB于點(diǎn)E,AD=AC,AF平分NCAB交CE于點(diǎn)F,DF的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)G,試問：DF與BC有何位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由.FG與FE有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

AH.如圖.在平行四邊形ABCD中，0為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為線段BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE—BC?過點(diǎn)E作EF〃CA,交CD于點(diǎn)F,連接OF.(1)求證：OF〃BC；(2)如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明..如圖(1),4ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,ADLMN于點(diǎn)D,BE，MN于點(diǎn)E.(1)請(qǐng)說明：△ADC0△CEB.(2)請(qǐng)你探索線段DE,AD,EB間的等量關(guān)系，并說明理由；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時(shí)，其它條件不變，線段DE,AD,EB又有怎樣的等量關(guān)系？(不必說理由)..已知，如圖：四邊形ABCD中，E在BC邊上，AB=EC,ZB=ZC=ZAED.(1)求證：4AED是等腰三角形；(2)當(dāng)NB=NC=NAED=90°時(shí)，求證：AB2+BE2=AE2..如圖，AD為4ABC的中線，NADB和NADC的平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F.

求證：BE+CF>EF..已知：如圖，ZC=90°,BC=AC,D、E分別在BC和AC上，且BD=CE,M是AB的中點(diǎn)，連接CM,求證:ACEM^ABDM；4MDE是等腰直角三角形..如圖AABC為等邊三角形，P為BC上一點(diǎn)，AAPQ為等邊三角形.(1)求證：AB〃CQ.(2)是否存在點(diǎn)P使得AQLCQ?若存在，指出P的位置；若不存在，說明理由..如圖，已知AC平分NBAD,CE，AB于E,CF，AD于F,且BC=CD(1)試說明CE=CF.(2)ABCE與^DCF全等嗎？試說明理由.(3)若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求CE的長(zhǎng)..如圖，NACB=90°,AC=BC,BE，CE,AD，CE于D.(□△ACD04CBE.(2)若AD=2.5cm,DE=1.1cm.求BE的長(zhǎng)..如圖所示，A,E,F,C在一條直線上，AE=CF,過E,F分別作DE，AC,BF，AC,若AB=CD,可以得到BD平分EF,為什么？說明理由.

B20.如圖，在AABC中，ZBAC=90°點(diǎn)E,連接DE.求證：B20.如圖，在AABC中，ZBAC=90°點(diǎn)E,連接DE.求證：(1)ZBAF=ZADB；(2)ZADB=ZEDC.且AB=AC,ZABC=ZACB=45°,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AELBD于點(diǎn)F,交BC于,邊長(zhǎng)為6,DE，BC于E,EF，AC于F,FD，AB于D,求AD的長(zhǎng).22.如圖：^ABD和AACE都是Rt4其中NABD=NACE=90°,C在AB上，連接DE,M是DE中點(diǎn)，求證：MC=MB..如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AD〃EB,AC=BE,AD-BC.CF平分NDCE.求證：(D△ACD0ABEC；(2)CF±DE..如圖，BD、CE分別是^ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上，BP=AC,點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB.求證：(1)AP=AQ；(2)AP±AQ..如圖，在AABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于G點(diǎn)，DEXGF,交AB于點(diǎn)E,連接EG.(1)求證：BG=CF；(2)請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.AGAG.(1)如圖1,已知點(diǎn)P在正三角形ABC的邊BC上，以AP為邊作正三角形APQ,連接CQ.①求證：△ABP04ACQ；②若AB=6,點(diǎn)D是AQ的中點(diǎn)，直接寫出當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).(2)已知，△EFG中，EF=EG=13,FG=10.如圖2,把^EPG繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到△EF/G’的位置，點(diǎn)M是邊EF,與邊FG的交點(diǎn)，點(diǎn)N在邊EG,上且EN=EM,連接GN.求點(diǎn)E到直線GN的距離..已知：4ABC是等邊三角形，4BDC是等腰三角形，其中NBDC=120°,過點(diǎn)D作NEDF=60°,分別交AB于E,交AC于F,連接EF.(1)若BE=CF,求證：①4DEF是等邊三角形；②BE+CF=EF.(2)若BEWCF,即E、F分別是線段AB,AC上任意一點(diǎn)，BE+CF=EF還會(huì)成立嗎？請(qǐng)說明理由..如圖甲，已知在4ABC中，NACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且ADLMN于D,BE，MN于E.(1)說明△ADC0△CEB.(2)說明慶口+8￡=DE.(3)已知條件不變，將直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置時(shí)，若DE=3、AD=5.5,則BE二.如圖，已知在^ABC中，AB=AC,NBAC=90°,分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F.(1)如圖①過A的直線與斜邊BC不相交時(shí)，求證：EF=BE+CF；(2)如圖②過A的直線與斜邊BC相交時(shí)，其他條件不變，若BE=10,CF=3,求：FE長(zhǎng).30.如圖1,4ABC和4CDE為等邊三角形.(1)求證:BD=AE；(2)若等邊4CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到BC、EC在一條直線上時(shí)，(1)中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)給予證明；(3)旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)，若F為BD中點(diǎn)，G為AE中點(diǎn)，連接FG,求證：①4CFG為等邊三角形；②FG〃BC.三角形綜合解答證明題30題參考答案：.證明：在Rt^ABD和Rt^NBD中，VADB=ZNDB=90"JBD=BD ,:Z1=Z2/.AABD^ANBD(ASA),/.AD=ND=-AN,2?/ZACB=90°/.Z3+ZAED=ZAED+Z2,/.Z3=Z2,在AACN和ABCE中，V3=Z2JAC=BC,,ZACN=ZBDN/.AACN^ABCE(ASA),/.BE=AN,，AD、BE22.證明：如圖，分別取AB、AC的中點(diǎn)M、N,連接DM、PM、PN、NE.?.?點(diǎn)P為AABC的邊BC的中點(diǎn)，/.PM為AABC的中位線，/.PM=-AC.2又TNE為直角AAEC斜邊上的中線，/.NE=AN=-AC,2/.MP=NE.同理DM=PN.TDM二AM,/.Z1=Z3,.*.Z5=2Z1(三角形外角定理).同理，Z6=2Z2.又N1=N2,/.Z5=Z6.又PM〃AC,PN〃AB,/.Z7=Z9,Z8=Z9,/.Z7=Z8,Z5+Z7=Z6+Z8,即NDMP二NPNE,rDM=PM/.^eamdp與anpe中，*Zdmp=Zpne,lmp=ne二.△MDPSNPE(SAS),/.PD=PE.(1)證明：..〈口，慶8,8￡，慶(2,/.ZBDC=ZADC=ZAEB=90°,/.ZA+ZABE=90°,ZABE+ZDFB=90°/.ZA=ZDFB,VZABC=45°,ZBDC=90°,/.ZDCB=90°-45°=45°=ZDBC,/.BD=DC,在ABDF和^CDA中rZBDF=ZCDA[ZA=ZDFB,;BD=DC.?.△BDFSCDA(AAS),/.BF=AC；(2)證明：:8￡，慶口/.ZAEB=ZCEB,「BE平分NABC,/.ZABE=ZCBE,在^AEB和^CEB中'/AEB:/CEB二，BE=BE ,、Zabe=Zcbe.?.△AEBSCEB(ASA),/.AE=CE,即CE」AC,2;由(1)知AC=BF,，CEjBF2(1)解：TAD^BD,/.ZADB=90°,VZACB=90°,ZAED=ZBEC,/.ZCAD=ZDBH,VZBCG=ZDCA,「在AACD和^BGC中rZDAC=ZDBC*ZDCA=ZBCG、AC=BC/.AACD^ABGC(ASA),/.CD=CG；(2)證明：延長(zhǎng)EC到F使CF二CE,如圖,?/AAGC^ABCD/.AG=BD,VCG=BD,/.AG=CG,/.ZGAC=ZGCA,,/ACDG為等腰直角三角形，/.ZCGD=45°,/.ZGAC=22.5°,VACXBC,CF=CE,，AAEF為等腰三角形，/.ZFAC=ZEAC=22.5°,「△ABC為等腰直角三角形，VZCAB=45°,ZABC=45°,/.ZFAB=22.5°+45°=67.5°,/.ZF=180°-45°-67.5°=67.5°,/.ZF=ZFAB,/.AB=BF,而BF=BC+CF=AC+CE,/.AB=AC+CE.5.解：BD和CE的關(guān)系是BD=CE,BD±CE,證明：:△ABC和AADE是等腰直角三角形,/.ZBAC=ZDAE=90°,/.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即/BAD二NCAE,在ABAD與ACAE中，rAB=AC*ZBAD=ZCAE,，知二AE/.ABAD^ACAE(SAS),/.BD=CE,NABD二NACE,VZABD+ZCBM+ZACB=90°,/.ZACE+ZCBM+ZACB=90°,/.ZBMC=90°,/.BD±CE,即BD=CE,BD±CE.――i 證明：過D作DNLAC,垂足為N,連接DB、DC,則DN=DF(角平分線性質(zhì))，DB=DC(線段垂直平分線性質(zhì))，XVDFXAB,DNXAC,/.ZDFB=ZDNC=90°,在RtADBF和RtADCN中fDFRN/.RtADBF^RtADCN(HL)/.BF=CN,在RtADFA和RtADNA中1D?=DN/.RtADFA^RtADNA(HL)/.AN=AF,/.BF=AC+AN=AC+AF,即BF=AF+AC(1)解：AAS.(2)證明：VZACB=9ol,/.ZACD+ZBCE=90°,VADXDE,/.ZACD+ZCAD=90°,/.ZCAD=ZBCE,XAC=BC,/.AACD^ACBE(AAS),/.AD=CE,BE=CD,DE=CE-CD=AD-BE.(3)解：DE=CD-CE=BE-AD.證明：?.?NACB=90°,/.ZACD+ZBCE=90°,VADXDE,/.ZACD+ZCAD=90°,，NCAD二NBCE,又AC=BC,/.△ACD^ACBE(AAS),AAD=CE,BE=CD,DE=CD-CE=BE-AD(1)證明：:^慶8口和AACE都是等邊三角形，，AB二AD,AE=AC,ZBAD=ZBDA=ZDBA=ZCAE=60°/.ZBAC+ZCAE=ZBAC+ZBAD,即NBAE二NDAC.在AABE和AADC中’2AD「ZBAE=ZDAClAE=AC/.AABEAADC(SAS),二.BE=DC.(2)解：由(1)知：AABE^AADC,/.ZADC=ZABE/.ZADC+ZBDO=ZABE+ZBDO=ZBDA=60°/.在△BOD中，ZB0D=180°-ZBDO-ZDBA-ZABE=180°-ZDBA-(ZADC+ZBDO)=180°-60°-60°=60°.(3)證明：過點(diǎn)A分別作AM,BE,AN±DC,垂足為點(diǎn)M,N.;由(1)知：AABE^AADC,**^AABE^AADC丁?《?BE?頌二《叩口球/.AM=AN.?.點(diǎn)A在NDOE的平分線上,即0A平分NDOE.D9.證明：(1)VAEXAF,ZCAB=90°,/.ZEAF=ZCAB=90°/.ZEAF-ZEAC=ZCAB—ZEAC即NBAE二NCAF,VCFXBD,/.ZBFC=90°=ZCAB,/.ZBDA+ZABD=90°,ZDCF+ZFDC=90°,,/ZADB=ZFDC,/.ZABD=ZDCF,在AABE和AACF中，rZBAE=ZCAF，AB二AC ,、Zabd=Zdcf/.AABE^AACF(ASA),(2);由(1)知△ABE04ACF,/.AE=AF,VZEAF=90°,/.ZAEF=ZAFE=45°,VAHXBF,/.ZAHF=ZAHE=90°=ZCFH,/.ZEAH=180°-ZAHE-ZAEF=45°=ZAEF,，AH二EH,VD為AC中點(diǎn)，，AD二CD,在AADH和^CDF中，'NAHF■二NCFH*ZADB=ZFDC,:AD=CD二.△ADH0ACDF(AAS),/.AH=CF,，EH二CF10.解:(1)DF〃BC,理由是：VAF平分NBAC,/.ZCAF=ZDAF,在^CAF和^DAF中'AC二AD*ZCA?=ZDAF,，研二AF.?.△CAFSDAF(SAS),/.ZADF=ZACF,VCE±AB,ZACB=90°,/.ZCEB=ZACB=90°,/.ZACF+ZBCF=90°,ZB+ZBCF=90°,/.ZB=ZACF=ZADF,，DF〃BC.(2)FG=EF,證明：:設(shè)〃83次8=90°948,/.ZAGF=ZACB=90°,/.FG±AC,VCEXAB,AF平分NCAB,/.FG=EF.11.(1)證明：延長(zhǎng)EF交AD于G(如圖)，在平行四邊形ABCD中，AD〃BC,AD=BC,VEF〃CA,EG〃CA,，四邊形ACEG是平行四邊形，/.AG=CE,又VCE=^BC,AD=BC,???AGXE二十時(shí)總知二GD,VAD〃BC,/.ZADC=ZECF,在^CEF和4口6尸中，VZCFE=ZDFG,ZADC=ZECF,CE=DG,/.ACEF^ADGF(AAS),/.CF=DF,?/四邊形ABCD是平行四邊形，/.OB=OD,/.OF#BC.(2)解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四邊形ABCD是矩形.證明：VOF#CE,EF〃CO,二.四邊形OCEF是平行四邊形，/.EF=OC,又...梯形OBEF是等腰梯形，/.BO=EF,.\OB=OC,?..四邊形ABCD是平行四邊形，/.AC=20C,BD=2B0./.AC=BD,，平行四邊形ABCD是矩形..解：(1)理由:因?yàn)镹ACD+NACB+NBCE=180°,ZACB=90°,所以NACD+NBCE=90°.又ADLMN,BE±MN,則NADC=NCEB=90°,ZDAC+ZACD=90°.故NDAC二NECB■AC=CB.所以△ADC04CEB(AAS).(2)等量關(guān)系:DE=AD+EB.理由：由(1)>AADC^ACEB.則AD=CE,DC=EB.因?yàn)镈E=CE+DC,所以DE=AD+EB.(3)等量關(guān)系：DE=AD-EB.(1)證明：VZB=ZC=ZAED,設(shè)NB=NC二NAED二a/.Zl+Z2=180°-a,Z2+Z3=180°-a,/.Z1=Z3,在AABE和AECD中，21二N3*ZB=ZC:AB=EC/.AABE^AECD(AAS)/.AE=DE,即AAED是等腰三角形.(2)解：VZB=90°,.?.在Rt^ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2;AE214.證明：AH延長(zhǎng)ED到H,使DE=DH,連接CH,FH,VAD是4ABC的中線，/.BD=DC,「DE、DF分別為NADB和NADC的平分線，/.Z1=Z4=-ZADB,Z3=Z5=^ZADC,2 2/.Z1+Z3=Z4+Z5=-ZADB+—ZADC=ixi8Qo=9Q°,2 2 2VZ1=Z2,/.Z3+Z2=9Q°,即NEDF二NFDH,在^EFD和^HFD中，rDE=DH*ZPDE=ZFDH,、DF=D?.?.△EFDSHFD(SAS),/.EF=FH,在^BDE和^CDH中，rDE=DH，Z1=Z2,、BD=DC.?.△BDESCDH(SAS),，BE二CH,在ACFH中，由三角形三邊關(guān)系定理得：CF+CH>FH,「CH=BE,FH=EF,，BE+CF>EF15.證明：(1)「NACB=9Q°,BC=AC,/.ZA=ZB=45°,「M是AB的中點(diǎn)，/.CM±AB,ZACM=ZBCM=45°,CM=BM=AM,/.ZDBM=ZECM,「在^CEM和^BDM中，rCE=BD*ZECM=ZB,:CM=BM.?.△CEMSBDM(SAS)；(2)「^CEM"BDM,/.EM=DM,ZEMC=ZDMB,VZDMC+ZDMB=90°,/.ZDMC+ZEMC=90°,即NDME=90°,，AMDE是等腰直角三角形16.(1)證明：:△ABC和AADQ都是等邊三角形,/.AB=AC,AP=AQ,ZBAC=ZPAQ=60°,/.ZBAC-ZPAC=ZPAQ-ZPAC,/.ZBAP=ZCAQ,在AABP和AACQ中‘2AC，ZBAP=ZCAQ,二版/.AABP^AACQ(SAS),/.ZACQ=ZB=ZBAC=60°,，AB〃CQ；(2)存在點(diǎn)P使得AQLCQ,當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)符合，理由是：;由(1)知，AABP^AACQ,/.ZACB=ZAQP=ZACQ=ZB=ZBAC=60°,BP=CQ,VP為BC中點(diǎn)，/.PC=BP=CQ,/.ZCQP=ZQPC^(180°-ZPCQ)=-X(180°-60°2 2-60°)=30°,,/AAPQ是等邊三角形，/.ZAQP=60°,/.ZAQC=60°+30°=90°,/.AQ±QC,即存在點(diǎn)P使得AQLCQ,當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)符合.17.解(1)TAC平分/BAD,CE±AB,CF±AD,/.CE=CF.ABCE^ADCF.理由是：VCEXAB,CF±AD,二.△BCE與ADCF都是直角三角形,在RtABEC和RtADFC中?.產(chǎn)D,lCE=CF/.RtABEC^RtADFC(HL)；VRtABEC^RtADFC,/.BE=DF,VCFXAF,CE±AB,/.ZF=ZCEA=90°,VAC平分NBAF,ZFAC=ZEAC,在AFAC和AEAC中Vf=ZaecVZFAC=ZEAC,、AC=AC/.AFAC^AEAC(AAS),/.AE=AF,設(shè)BE=x,則AE=21-x,DF=x,AF=9+x,.*.21-x=9+x,x=6,即BE=6,在Rt^BCE中，?「BC=10,BE=6,...由勾股定理得:CE=8.解:(1)VZACB=90°,AC=BC,BE±CE,AD±CE于D,/.ZACD=ZACB-ZBCE=90°-ZBCE,ZCBE=90°-ZBCE,(三角形角和定理)/.ZACD=ZCBE,在AACD與^CBE中〃/ADC:NCEB，ZACD=ZCBE,、AC=BC.?.△ACDSCBE(AAS).(2)由(1)知，△ACD04CBE,ACE=AD=2.5BE=CD=CE-DE=AD-DE=2.5-1.1=1.4.答：BE的長(zhǎng)是1.4cm..解：BD平分EF,理由是：證法一、連接BE、DF.VDE±AC,BF±AC,/.ZAFB=ZCED=90°,DE#BF,VAE=CF,.?.AE+EF=CF+EF,即AF=CE,在Rt^ABF和Rt^CDE中fAB=CD.AF=CE,.一△ABF0RSCDE,.DE二BF,?「DE〃BF,二.四邊形DEBF是平行四邊形，.BD平分EF；證法二、二DE，AC,BF，AC,/.ZAFB=ZCED=90°,DE#BF,VAE=CF,.AE+EF=CF+EF,即AF=CE,在RtAABF和RtACDE中fAB=CD1AF=CE'/.RtAABF^RtACDE,/.DE=BF,「在ARFG和ADEG中Vbfg=Zdeg4ZBGP=ZDGE,、BF=DE/.ABFG^ADEG(AAS),/.EG=FG,即BD平分EF.20.(1)證明：VZBAC=90°,/.ZBAF+ZDAF=90°,VAEXBD,/.ZAFD=90°,/.ZDAF+ZADB=90°,/.ZBAF=ZADB.(2)證明：過C作CMLAC,交AE的延長(zhǎng)線于M,則NACM=90°=ZBAC,/.CM#AB,/.ZMCE=ZABC=ZACB,VZBAF=ZADB,ZADB+ZFAD=90°,ZABD+ZBAF=90°,/.ZABD=ZCAM,在AABD和ACAM中黜二/ACM,JAB=AC,lZabd=Zcm/.AABD^ACAM(ASA),/.ZADB=ZM,AD=CM,VD為AC中點(diǎn)，/.AD=DC=CM,在ACDE和ACME中，，C口二CM「zdce=znce,、CE=CE/.ACDE^ACME(SAS),/.ZM=ZEDC,?/ZM=ZADB,/.ZADB=ZEDC..解：由^ABC是等邊三角形得，ZABC=ZACB=ZBAC=60°又TDELBC于E,EFLAC于F,FDLAB于D,「.△DEF為等邊三角形，/.AADF^ADEB^AEFC,/.AD=BE=CF,VFD±AB,ZAFD=30°,,AD理以巴2 2解得：AD=2.答：AD的長(zhǎng)為2..證明：延長(zhǎng)CM、DB交于G,?/△ABD和AACE都是Rt4,，CE〃BD,即CE〃DG,/.ZCEM=ZGDM,ZMCE=ZMGD又/M是DE中點(diǎn)，即DM=EM,二.△ECMSDMG,二.CM二MG,/G在DB的延長(zhǎng)線上，.?.△CBG是RSCBG,...在Rt^CBG中，二CM.證明：(1)/AD〃BE,/.ZA=ZB,在AACD和^BEC中Mbc，ZA=ZB、AC=BE.?.△ACDSBEC(SAS),(2)MACD"BEC,/.CD=CE,又/CF平分NDCE,/.CF±DE.證明：（1）VBDXAC,CE±AB（已知），/.ZBEC=ZBDC=90°,/.ZABD+ZBAC=90°,ZACE+ZBAC=90°（垂直定義）,/.ZABD=ZACE（等角的余角相等），rBP=AC在4ABP和4QCA中，（ZABD=ZACE/.AABP^AQCA（SAS）,?.AP=AQ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.（2）由（1）可得NCAQ二NP（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）,VBDXAC（已知），即NP+NCAP=90°（直角三角形兩銳角互余），/.ZCAQ+ZCAP=90°（等量代換），即NQAP=90°,AAPXAQ（垂直定義）.證明：（1）VBG#AC,/.ZDBG=ZDCF.VD為BC的中點(diǎn)，/.BD=CD又「ZBDG=ZCDF,在ARGD與4CFD中，「/DBG:/DCF「BD=CDlZbdg=Zcdf/.ABGD^ACFD（ASA）./.BG=CF.（2）BE+CF>EF.VABGD^ACFD,/.GD=FD,BG=CF.XVDEXFG,，EG=EF（垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等）./.^lAEBG中，BE+BOEG,即BE+CF>EF.26.解：（1）①證明：:△ABC和AADQ是正三角形，/.AB=AC,AP=AQ,ZBAC=ZPAQ./.ZBAC-ZPAC=ZPAQ-ZPAC./.ZBAP=ZCAQ.所以△ABP04ACQ.（3分）②3（5分）（2）解法一：過點(diǎn)E作底邊FG的垂線，點(diǎn)H為垂足.在AEPG中，易得EH=12.（6分）類似（1）可證明AEFM^AEGN,（7分）/.ZEFM=ZEGN.VZEFG=ZEGF,/.ZEGF=ZEGN,■是NFGN的角平分線,（9分）...點(diǎn)E到直線FG和GN的距離相等，■E到直線GN的距離是12.（10分）解法二：過點(diǎn)E作底邊FG的垂線，點(diǎn)H為垂足.過點(diǎn)E作直線GN的垂線，點(diǎn)K為垂足.在AEPG中，易得EH=12.（6分）類似（1）可證明AEFM^AEGN,（7分）/.ZEFM=ZEGN.可證明△EFH/^EGK,（9分）二.EH=EK.所以點(diǎn)E到直線GN的距離是12.（10分）解法三：把4EFG繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)著點(diǎn)M在邊FG上從點(diǎn)F開始運(yùn)動(dòng).由題意，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E到直線GN的距離不變.不失一般性，設(shè)NEMF=90°.類似（1）可證明△EFMSEGN,/.ZENG=ZEMF=90°.求得EM=12....點(diǎn)E到直線GN的距離是12.（酌情賦分）（1）證明：延長(zhǎng)AB到N,使BN二CF,連接DN,「△ABC是等邊三角形，/.ZABC=ZACB=60°,「△DBC是等腰三角形，NBDC=120°,/.ZDBC=ZDCB=30°,/.ZACD=ZABD=30°+60°=90°,在4EBD和4FCD中rBE=CF，ZEBD=ZFCD,、BD=DC.?.△EBDSFCD（SAS）,/.ED=DF,VZEDF=60°,...△EDF是等邊三角形，,/△EBD^^FCD,/.ZEDB=ZFDC,「在ANED和AFCD中rBD=DC*ZNBD=ZFCD=90c,、BN=C?/.ANBD^AFCD(SAS),/.DN=DF,ZNDB=ZFDC,VZEDB=ZFDC,/.ZEDB=ZBDN=ZFDC,VZBDC=120°,ZEDF=60°,/.ZEDB+ZFDC=60°,/.ZEDB+ZBDN=60°,即NEDF二NEDN,在AEDN和AEDF中rDE=DEJZEDP=ZEDN,,DN=D?/.AEDN^AEDF(SAS),/.EF=EN=BE+BN=BE+CF,即AEDF是等邊三角形，BE+CF=EF.(2)解：BE+CF=EF還成立，理由是：延長(zhǎng)AB到N,使BN二CF,連接DN,,/AABC是等邊三角形，/.ZABC=ZACB=60°,「△DBC是等腰三角形，ZBDC=120°,/.ZDBC=ZDCB=30°,/.ZACD=ZABD=30°+60°=90°=ZNBD,「在ANED和AFCD中rED=DC*ZNBD=ZFCD=90",、BN=C?/.ANBD^AFCD(SAS),/.DN=DF,ZNDB=ZFDC,VZBDC=120°,ZEDF=60°,/.ZEDB+ZFDC=60°,/.ZEDB+ZBDN=60°,即NEDF二NEDN,在△EDN和△EDF中rDE=DE*ZEDP=ZEDN,、DN=D?.?.△