勾股定理綜合難題附答案超好打印版

練習(xí)題1如圖，圓柱的高為10cm，底面半徑為2cm.，在下底面的A點處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處，需要爬行的最短路程是多少？2如圖，長方體的高為3cm,底面是邊長為2cm的正方形.現(xiàn)有一小蟲從頂點A出發(fā)，沿長方體側(cè)面到達(dá)頂點C處，小蟲走的路程最短為多少厘米？答案AB=53、一只螞蟻從棱長為1的正方體紙箱的B'到D點，那么它所行的最短路線的長是4、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCDD箱爬進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，?長BC?為10cm.當(dāng)小紅折疊時，頂點D3、一只螞蟻從棱長為1的正方體紙箱的B'到D點，那么它所行的最短路線的長是4、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCDD箱爬進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，?長BC?為10cm.當(dāng)小紅折疊時，頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE）.想一想，此時EC有多長?5.如圖，將一個邊長分別為4、8的長方形紙片ABCD折疊,使C點與A點重合，則EB的長是（ ）.A.3 B.4 C烏 D.56、 已知：如圖，在△ABC中，ZC=90°，ZB=30。，AB的垂直平分線交BC于D，垂足為E，D=4cm. 上A求AC的長.7、 如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使其落在與AE重合，則CD的長為8、 如圖，在矩形ABCD中，AB=6,將矩形ABCD折疊，使點B與點D重合，C落在C'處，若AE：BE=12，則折痕EF的長為 。9、 如圖，已知：點E是正方形ABCD的BC邊上的點，現(xiàn)將△dCe沿折痕-DE-向上翻折，使DC落在對角線DB上，則EB:CE= .邊AC=6，BC=8,斜邊AB上，且10、如圖，AD是厶ABC的中線，ZADC=45o,把厶ADC沿AD對折，點C落在C的位置，若BC=2，貝VBC= 11．AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（A.2cm B.3cm C.4cm D.5cmBC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線）平分線12、有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿ZCABAD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎CDC13、如圖，在△ABC中，ZB=90°，AB=BC=6,把△ABC進(jìn)行折疊，使點A與點D重合，BD:DC=1:2，折痕為EF,點E在AB上，點F在AC上，求EC的長。14.已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm，將此長方形折疊,與點D重合，折痕為已尸，則4ABE的面積為( )15．16、如圖，將矩形ABCD沿］EF折疊…使點D與點B重合，已知AB=3,如圖，每個八方格的邊長都為1?求圖中格點四邊形ABCD的面積。AD=9,15．16、如圖，將矩形ABCD沿］EF折疊…使點D與點B重合，已知AB=3,如圖，每個八方格的邊長都為1?求圖中格點四邊形ABCD的面積。AD=9,求BE的長.如圖，已知B：在AABC中,,gACB三-9年，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫半圓，試說明圖中陰影部分的面積與直第角11三題圖角形的面積相等.17、18.如圖8,有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上(不與A、D重合)，在AD上適當(dāng)移動三角板頂點P：能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由.再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動， I直角邊PH始終通過點B,另一直角邊PF與DC的延長 -~—、匕線交于點Q,與BC交于點E,能否使CE=2cm若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由.21?①能.設(shè)AP=x米，由于BP2=16+x2,CP2=16+(10—x)2，而在Rt^PBC中，有BP2+CP2=BC2，即16+x2+16+(10—x)2=100,所以x2—10x+16=0,即(x—5)2=9,所以x—5=±3,所以x=8,x=2，即AP=8或2,②能.仿照①可求得AP=4.19.如圖△ABC中，/ACB=90°,AC=12,BC=5,AN=AC,BM=BC則mn=420、※直角三角形的面積為S，斜邊上的中線長為d，則這個三角形周長為( )（A）2+S+2d （B）2—S—d（C）2\d2+S+2d （D）2\d2+S+d, S=—ab解:設(shè)兩直角邊分別為a,b，斜邊為c，則c=2d, 2.由勾股定理，得a2+b2=c2.所以（a所以（a+b）2=a2+2ab+b2=c2+4S=4d2+4S所以a+b=2\d2+S.所以a+b+c=2d2+S+2d.故選（c）21※.在^ABC中,AB=AC=1,BC邊上有2006個不同的點卩2丄化06,vm=AP2+BP-PC（i=1,2,L2006）記iiii ,則1 2 2006= .22※.如圖所示，在RfMBC中,^BAC=90°,AC=AB,/DAE=45°，且BD=3CE=4,求de的長.23、如圖，在△ABC中，AB=AC=6,P為BC上任意一點，請用學(xué)過的知識試求PC?PB+PA2的值。

24、 ※如圖在RtAABC中,ZC=9°°，AC=4,BC=3,在RtAAB^的外部拼接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形。如圖所示：要求：在兩個備用圖中分別畫出兩種與示例圖不同的拼接方法在圖中頁明拼接的直角三角形的三邊長（請同學(xué)們先用鉛筆畫出草圖，確定后再用0.5mn的，廳色，簽字筆畫出正確的圖形）如圖，A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=lkm,BD=3km,CD=3km,現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，蔚設(shè)水管的費用為20000元/千米，請你在CD選擇水廠位置0，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費用F。26.已知：如圖，AABC中，ZC=90°，點OABC的三條角平分線的交點，OD丄BC，OE丄AC,OF丄AB，點D、E、F分別是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于？??????????????????????????????？cm27.（8分）C28、AC和BC的距離分別等于？??????????????????????????????？cm27.（8分）C28、\卄八29.如圖0^△ABC中，AB=AC,P為BC上任意一點，請說明:0。,AM=CM,MP丄AB于P.求證:分）如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬,小屋B的西BP2=■AP2+BC2B'2-AP2=PBXPCo他正位于他8km北第26處圖他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成魏I情所走的最短路程是多少30.（本題滿分630.（本題滿分6分）如圖所示，某住宅小河社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高■B小屋請問這輛送家具的卡車能否通過這個在一棵樹的■B小屋請問這輛送家具的卡車能否通過這個在一棵樹的10米高B處有兩只猴子樹走到離樹20米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高多少米？通道.一只猴子爬下"距.離以直線計算12.6m在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮移到一邊，花朵齊及水面已知紅蓮移動的水平距離為2米，求這里的水深是多少米?長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了 m.34.已知：如圖，△ABC中，ZC=90°,D為AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且DE丄DF.求證：AE2+BF2=EF2.35.已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為CB的四等分點且CE=證：AF丄FE.已知△ABC中，a2+b2+c2=10a+24b+26c—338,試判定△ABC的形狀，并說明你的理由.已知a、b、c是厶ABC的三邊，且a2c2—b2c2=a4—b4，試判斷三角形的形狀.如圖，長方體的底面邊長分別為lcm和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B,那么所用細(xì)線最短需要多長?如果從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B,那么所用細(xì)線最短需要多長?C39、a、b為任意正數(shù)，且a>b,求證：邊長為2ab、a2—b2、a2+b2的三角形是直角三角形C40.三角形的三邊長為（a+b）2二c2+2ab，則這個三角形是（）（A）等邊三角形 （B）鈍角三角形（C）直角三角形 （D）銳角三角形.

41.（12分）如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險42.（14分）△ABC中，BC二a,AC=b,AB二c,若ZC=90°，如圖（1）,根據(jù)勾股定理，則a2+b2=c2,若厶ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3）,請你類比勾股定理，試猜想a2+b2與C2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論..解：若△ABC是銳角三角形，則有a2+b2>c2若厶ABC是鈍角三角形，ZC為鈍角，則有a2+b2vc2當(dāng)厶ABC是銳角三角形時，證明：過點A作AD丄CB，垂足為D。設(shè)CD為x，則有DB=a—x根據(jù)勾股定理得 b2—x2=c2—（a—x）2即 b即 b2—x2=c2一a2+2ax一x2?°?a2+b2=c2+2axVa>0，x>0???2ax>0 a2+b2>c2當(dāng)厶ABC是鈍角三角形時,（10分）如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以10“千米/時的速度向北偏西60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心200?千米范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.（1） A市是否會受到臺風(fēng)的影響寫出你的結(jié)論并給予說明；（2） 如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時間有多長44、 將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是（ ）.A.hW17cm B.h±8cm C.15cmWhW16cm D.7cmWhW16cm45如圖，已知：NC=90。， ， 于P.求證： .46【變式2】已知：如圖，ZB=ZD=90°，ZA=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。A47【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5A47【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?(一)轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決．49、如圖所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE丄DF,若BE=12,CF=5.求線段EF的長?！闒￡FC50如圖，在等腰厶ABC中，ZACB=90°,D、E為斜邊AB上的點，且ZDCE=45°O求證：DE2=AD2+BE2。51如圖，在AABC中，AB=13,BC=14,AC=15，則BC邊上的高AD= 。52如圖，長方形ABCD中，AB=8,BC=4，將長方形沿AC折疊，點D落在點E處，則重疊部分AAFC的面積是 。53在厶ABC中，AB=15,AC=20,BC邊上的高AD=12,試求BC邊的長.54在AABC中，D是BC所在直線上一點，若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17，求△ABC的面積。若厶ABC三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,AABC是直角三角形嗎為什么在厶ABC中，BC=1997,AC=1998,AB2=1997+1998，則△ABC是否為直角三角形為什么注意BC、AC、AB的大小關(guān)系。ABVBCVAC。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997X(1+1997)+1998=1997X1998+1998=19982=AC2。一只螞蟻在一塊長方形的一個頂點A處，一只蒼蠅在這個長方形上和蜘蛛相對的頂點C1處，如圖，已知長方形長6cm,寬5cm,高3cm。蜘蛛因急于捉到蒼蠅，沿著長方形的表面向上爬，它要從A點爬到C1點，有很多路線，它們有長有短，蜘蛛究竟應(yīng)該沿著怎樣的路線爬上去，所走的距離最短你能幫蜘蛛求出最短距離嗎木箱的長、寬、高分別為40dm、30dm和50dm，有一70dm的木棒，能放進(jìn)去嗎請說明理由。已知△ABC的三邊a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13,AABC是否是直角三角形你能說明理由嗎如圖，E是正方形ABCD的邊CD的中點，延長AB到F,使BF=4AB，那么FE與FA相等嗎為什么如圖，ZA=60°,ZB=ZD=90°O若BC=4,CD=6，求AB的長。如圖，Zxoy=60°,M是Zxoy內(nèi)的一點，它到ox的距離MA為2。它到oy的距離為11。版的用面積證明勾股定理方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形。方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。方法三：將四個全等的直角三角形分別拼成如圖（3）—1和（3）—2所示的兩個形狀相同的正方形。形面積）,形面積）,角三角形面積）,在（3）—1中，甲的面積=（大正方形面積）—（4個直角三角在（3）—2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）—（4個直所以，甲的面積=乙和丙的面積和卩：/=袒+h\方法四：如圖（4）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形。方法四：如圖（4）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形。練習(xí)題1如圖，圓柱的高為10cm，底面半徑為2cm.，在下底面的A點處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處，需要爬行的最短路程是多少？2如圖，長方體的高為3cm，底面是邊長為2cm的正方形.現(xiàn)有一小蟲從頂點A出發(fā)，沿長方體側(cè)面到達(dá)頂點C處，小蟲走的路程最短為多少厘米？答案AB=5

3、一只螞蟻從棱長為1的正方體紙箱的B'到D3、一只螞蟻從棱長為1的正方體紙箱的B'到D點，那么它所行的最短路線的長是4、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCDD箱爬進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm,?長BC?為10cm.當(dāng)小紅折疊時，頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE）.想一想，此時EC有多長?5.如圖，將一個邊長分別為4、8的長方形紙片ABCD折疊,使C點與A點重合，則EB的長是（ ）.A.3 B.4 C后 D.56.已知：如圖，在△ABC中，ZC=90°，ZB=30。，AB的邊AC=6，BC=8,斜邊AB上，且垂直平分線交BC于D，垂足為E邊AC=6，BC=8,斜邊AB上，且7、如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使其落在與AE重合，則CD的長為TOC\o"1-5"\h\z8、如圖，在矩形ABCD中，AB=6,將矩形ABCD折疊，使 °點B與點D重合，C落在C'處，若AE：BE=12，則折 D\丁痕EF的長為 。 \ ''、、9、 如圖，已知：點E是正方形ABCD的BC邊上的點，現(xiàn)將△dCe沿折痕DE向上翻折，使DC落在對角線DB上，則EB:CE= .10、如圖，AD是厶ABC的中線，ZADC=45。，把厶ADC沿AD對折，點C落在C的位置，若BC=2，貝VBC= C11?如圖1，題有圖塊直角三角形紙片， ACC11?如圖1，題有圖塊直角三角形紙片， AC=6cm，BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm12、有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿ZCABAD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎C如圖1，題有圖塊直角三角形紙片,平分線DCD使點BB將此長方形折前D使點BB將此長方形折前ED、12cm213、如圖，在△ABC中，ZB=90°，AB=BC=6,把△ABC進(jìn)行折疊，使點A與點D重合，BD:DC=1:2，折痕為EF，點E在AB上，點F在AC上，求EC的長。14．已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm與點D重合，折痕為EF,VAABE的面積為（ ）A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2BD

16、如圖，將矩形ABCD沿EF折疊—使點D與點B重合，已知AB=3,16、如圖，將矩形ABCD沿EF折疊—使點D與點B重合，已知AB=3,AD=9，求BE的長.如圖，每個八方格的邊長都為1?求圖中格點四邊形ABCD的面積。如圖，已娜:在AABC中,,gACB三-9年，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫半圓，試說明圖中陰影部分的面積與直第角11三題圖角形的面積相等．18.如圖8,有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上(不與A、D重合)，在AD上適當(dāng)移動三角板頂點P：能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由.再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B,另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q,與BC交于點E,能否使CE=2cm若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由.21?①能.設(shè)AP=x米，由于BP2=16+x2,CP2=16+(10—x)2，而在RBC2，即16+x2+16+(10—x)2=100,所以x2—10x+16=0,即(x—5)2=9,所以x=8,x=2，即AP=8或2,②能.仿照①可求得AP=4.17、uCBC中，有BP2+CP2=所以X—5=±3,19.如圖△ABC中，/ACB=90°,AC=12,BC=5,AN=AC,BM=BC則mn=420、※直角三角形的面積為S，斜邊上的中線長為d，則這個三角形周長為( )（A）\''d2+S+2d （B） 2—S—d（C）2雪d2+S+2d （d）2\d2+S+d, S=—ab解:設(shè)兩直角邊分別為a,b，斜邊為C，則c=2d, 2.由勾股定理，得a2+b2=c2.所以（a+b）2=a2+2ab+b2=c2+4S=4d2+4S所以a+b=2yd2+S.所以a+b+c=2*d2+S+2d.故選（c）21※.在AABC中,AB=AC=1,BC邊上有2006個不同的點Pj卩2丄化06,vm=AP2+BP-PC（i=1,2,L2006）記iiii ,則12 2006= 解:如圖，作AD丄BC于D，因為AB=AC=則BD=CD.由勾股定理，得AB2=AD2+BD2,AP2=AD2+PD2.所以所以AP2+BP-PC=AB2=12.因此m1+m+Lm22006=12x2006=200622※.如圖所示，在RfMBC中,ZBAC=90°，AC=AB，'DAE=45°，且BD=3CE=4,求de的長.解:如右圖：因為AABC為等腰直角三角形，所以'ABD=ZC=45°.所以把AAEC繞點A旋轉(zhuǎn)到AAFB，則AAFB=AAEC所以BF=EC=4,AF=AE,/ABF=ZC=45。.連結(jié)df.所以ADBF為直角三角形.由勾股定理，得DF2=BF2+BD2=42+32=52.所以DF=5.因為/DAE=45。,所以/DAF二/DAB+/EAC二45。.所以AADE=AADF（SAS）.所以de二DF二5.23、如圖，在△ABC中，AB=AC=6,P為BC上任意一點，請用學(xué)過的知識試求PC?PB+PA2的值。24、 ※如圖在Rt^ABC中,/C=9°。，AC=4,BC=3,在RtAABC（的外部拼接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形。如圖所示：要求：在兩個備用圖中分別畫出兩種與示例圖不同的拼接方法在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長（請同學(xué)們先用鉛筆畫出草圖，確定后再用°.5mn的黑色「簽字筆畫出正確的圖形）解：要在Rt^ABC的外部接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形，關(guān)鍵是腰與底邊的確定。要求在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長，這需要用到勾股定理知識。下圖中的四種拼接方法供參考。如圖，A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=lkm,BD=3km，CD=3km，現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費用為2°°°°元/千米，請你在CD選擇水廠位置0，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費用F。26.已知：如圖，AABC中，ZC=90°，點O ABC的三條角平分線的交點，OD丄BC，OE丄AC,OF丄AB，點D、E、F分別是垂足，且BC=8cm，OE丄AC,OF丄AB，點D、E、F分別是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于？??????????????????????????????？cm圖27．28、29.C（8分）E0^△ABC中，AB=AC，P為BC上任意一點，請說明:°。，AM二CM，MP丄AB于P.求證:牧童在小河的南4km的A處牧馬,小屋B的西BP2=:AP2+BC2H2-AP2=PBXPCo他正位于他題滿分分）如圖，8km北族樹題圖他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路第28題圖程是多少3°.（本題滿分3°.（本題滿分6分）如圖所示，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高請問這輛送家具的卡車能否通過這個在一棵樹的1°米高請問這輛送家具的卡車能否通過這個在一棵樹的1°米高B處有兩只猴子樹走到離樹2°米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，’距■離以直線計算如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高多少米？在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮移到一邊，花朵齊及水面已知紅蓮移動的水平距離為2米，求這里的水深是多少米?2.6m通道.一只猴子爬下4m33.長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為6°°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了 m.34.已知：如圖，△ABC中，ZC=90°,D為AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且DE丄DF.求證：AE2+BF2=EF2.35.已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為CB的四等分點且CE證：AF丄FE.已知△ABC中，a2+b2+c2=10a+24b+26c—338,試判定△ABC的形狀，并說明你的理由.已知a、b、c是厶ABC的三邊，且a2c2—b2c2=a4—b4，試判斷三角形的形狀.如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B,那么所用細(xì)線最短需要多長?如果從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B,那么所用細(xì)線最短需要多長?C39、a、b為任意正數(shù)，且a>b，求證：邊長為2ab、a2—b2、a2+b2的三角形是直角三角形C三角形的三邊長為（a+b）2二c2+2ab，則這個三角形是（）（A）等邊三角形 （B）鈍角三角形（C）直角三角形 （D）銳角三角形.（12分）如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險42.（14分）△ABC中，BC二a，AC=b，AB二c,若ZC=90°，如圖（1）,根據(jù)勾股定理，則a2+b2=c2,若厶ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3）,請你類比勾股定理，試猜想a2+b2與C2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論..解：若△ABC是銳角三角形，則有a2+b2>c2若厶ABC是鈍角三角形，ZC為鈍角，則有a2+b2vc2當(dāng)厶ABC是銳角三角形時，證明：過點A作AD丄CB,垂足為D。設(shè)CD為x,則有DB=a—x根據(jù)勾股定理得b2—x2=c2—（a-x）2即 b即 b2—x2=c2-a2+2ax-x2?°?a2+b2=c2+2axVa>0,x>0???2ax>0 a2+b2>c2當(dāng)厶ABC是鈍角三角形時,（10分）如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以10“'7千米/時的速度向北偏西60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心200?千米范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.（1） A市是否會受到臺風(fēng)的影響寫出你的結(jié)論并給予說明；（2） 如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時間有多長44、 將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是（ ）.A.hW17cm B.h±8cm C.15cmWhW16cm D.7cmWhW16cm45如圖，已知：二?！? , 于P.求證：

思路點撥:思路點撥:圖中已有兩個直角三角形，但是還沒有以BP為邊的直角三角形.因此，我們考慮構(gòu)造一個以BP為一邊的直角三角形.所以連結(jié)BM.這樣，實際上就得到了4個直角三角形.那么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系.解析：連結(jié)BM,根據(jù)勾股定理，在 中，. 而在 中，則根據(jù)勾股定理有MP2=AM1-AP2 -BP2=BM2-{AM2-AP2）=BM2-AM2+AP2又?.?= （已知）， .?.時二亡十甘產(chǎn)1.在 中，根據(jù)勾股定理有 ， :,BP^=BC^AP^46【變式246【變式2】已知：如圖，ZB=ZD=90°，ZA=60°，AB=4,CD=2。求：四邊形ABCD的面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長AB、DC交于F,或延長AD、BC交于點E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。解析：延長AD、BC交于E。問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH.如圖所示，點問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH.如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD丄AB,VZA=Z60°,ZB=90°,AZE=30°O???AE=2AB=8,CE=2CD=4,???BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=^=4忑。?DE2=CE2-CD2=42-22=12,??.DE=屁=2羽。11???S、abcd=SABE-Scde=^AB*BE-'cDDE=6循47【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，解:0C=1米（大門寬度一半），OD=0.8米（卡車寬度一半）在RtAOCD中，由勾股定理得：CD= 二 =0.6米，與地面交于H．CH=0.6+2.3=2.9（米）＞2.5（與地面交于H．因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門．48、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且ZQPN=30°，點A處有一所中學(xué)，AP=160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒思路點撥：(1)要判斷拖拉機的噪音是否影響學(xué)校A，實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。(2)要求出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學(xué)校，行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校。解析：作AB丄MN，垂足為B。在RtAABP中，TZABP=90°,ZAPB=30°,AP=160,???AB=^AP=80。(在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半)???點A到直線MN的距離小于100m,?這所中學(xué)會受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學(xué)校開始受到影響，那么AC=100(m),由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,ABC=60。同理，拖拉機行駛到點D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD=100(m)，BD=60(m),?CD=120(m)。拖拉機行駛的速度為:18km/h=5m/st=120mF5m/s=24s。答：拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒。(一)轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決．49、如圖所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE丄DF,若BE=12，CF=5.求線段EF的長。思路點撥：現(xiàn)已知BE、CF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD.

解：連接AD．因為ZBAC=90°,AB=AC. 又因為AD為厶ABC的中線,所以AD=DC=DB.AD丄BC.且ZBAD=ZC=45°.因為ZEDA+ZADF=90°. 又因為ZCDF+ZADF=90°.所以ZEDA=ZCDF.所以△AED^^CFD(ASA).所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12.在RtAAEF中，根據(jù)勾股定理得：E護(hù)二血'十曲2二寧十12：二療，所以ef=13?？偨Y(jié)升華