矩陣?yán)碚摶A(chǔ)

矩陣?yán)碚摶A(chǔ)第1頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一§2.1矩陣的運算

矩陣的加法2第2頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一運算規(guī)律3第3頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一

矩陣的數(shù)乘運算規(guī)律4第4頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例1解：5第5頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一

矩陣的乘法6第6頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一不存在例27第7頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例38第8頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例4問：E在矩陣乘法中的作用…9第9頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一有了矩陣的乘法，可以得到線性方程組的矩陣表示形式對應(yīng)1.3節(jié)線性非齊次方程組⑴可以用矩陣形式表示為

AX=B

，其中B=b1b2bmA=，a11a21am1a12a22am2a1na2namnX=，x1x2xn稱為方程組的增廣矩陣.對應(yīng)齊次方程組⑵可用矩陣形式表示為

AX=O

10第10頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一運算規(guī)律證(1):記11第11頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一

方陣的冪設(shè)A是n階方陣，定義規(guī)定稱為A的m次多項式。設(shè)為x的m次多項式，運算規(guī)律12第12頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例5舉例說明因下一例題說明(2)(3)不成立。28頁第5題13第13頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例6成立的充要條件是A與B可交換(即AB=BA)。28頁第7題14第14頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例7解15第15頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一注當(dāng)A與B可交換時，有下面二項展開式稱為純量矩陣，它與任何方陣可交換。16第16頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一

矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT。如運算規(guī)律17第17頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例8解法一解法二18第18頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例9解19第19頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例10解20第20頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一注：(1)(2)21第21頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一定義設(shè)A為n階方陣，如果滿足A=AT

,即,則稱A為對稱矩陣.假設(shè)A,B都是n階對稱矩陣，顯然kA,A+B都是對稱矩陣。但AB不一定是對稱矩陣。例如對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等22第22頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例12例11設(shè)，證明和分別是n階和m階對稱矩陣。證證23第23頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一反對稱矩陣:如果則矩陣A稱為反對稱矩陣。作業(yè)27頁1.2.4.6.924第24頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一定義設(shè)A為n階方陣，如果滿足A=AT

,即,則稱A為對稱矩陣.假設(shè)A,B都是n階對稱矩陣，顯然kA,A+B都是對稱矩陣。但AB不一定是對稱矩陣。例如對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等25第25頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一反對稱矩陣:如果則矩陣A稱為反對稱矩陣。26第26頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)§2.4矩陣的秩與矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形§2.3可逆矩陣§2.2n階(方陣的)行列式§2.1矩陣的運算§2.5分塊矩陣§2.6線性方程組解的存在性定理·Cramer法則27第27頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一

行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達(dá)式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。行列式是由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆,對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則。

在很長一段時間內(nèi)，行列式只是作為解線性方程組的一種工具使用，沒有單獨形成一門理論。對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，是法國數(shù)學(xué)家范德蒙，他給出了用二階子式和它們的余子式來展開行列式的法則。28第28頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一

繼范德蒙之后，又一位做出突出貢獻(xiàn)的就是另一位法國大數(shù)學(xué)家柯西。其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。繼柯西之后，雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應(yīng)用，促使行列式理論自身在19世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。29第29頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一§2.2

n階(方陣的)行列式在D中劃掉第i行和第j列元素而剩下的元素按原來相對位置不變所構(gòu)成的低一階的行列式，稱為(i,j)元素的余子式，記為Mij

,稱Aij

=(-1)i+jMij為(i,j)元素的代數(shù)余子式。定義用式子D表示方陣A的元素按某種規(guī)則運算得到的一個數(shù)，稱為A的行列式。30第30頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例如：31第31頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一n階行列式的值定義如下(遞歸定義):當(dāng)n=1時，當(dāng)時，定義定義上式又稱行列式按第一行展開。32第32頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一由定義，可得二階行列式與三階行列式的計算33第33頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一計算下三角行列式按第1行展開按第1行展開例134第34頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一推論1如果行列式有一行（列）為零，則行列式等于零。例如性質(zhì)1行列式按任意一行展開，其值相等。35第35頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例如性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號。再如，證明推論2如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。36第36頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。例如37第37頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一推論3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零。例如推論4

是一個數(shù)。38第38頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)4

若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則可把這兩個數(shù)拆開，其它元素不變寫成兩個行列式的和。例如39第39頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)6行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。說明行列式的性質(zhì)凡是對行成立的，對列也成立，反之亦然。性質(zhì)5

把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去,行列式的值不變。40第40頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一計算上三角行列式注意！例241第41頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例3三角形，然后計算行列式的值。只用這種變換，把行列式化為42第42頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一只用變換或只用變換一定能把行列式化為上(下)三角形.行列式的值不變.43第43頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一則性質(zhì)7

44第44頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例4性質(zhì)8設(shè)A，B都是n階方陣，則

45第45頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一行列式的值等于按任一列(行)展開，錯列(錯行)展開必為零。行列式展開定理性質(zhì)9

46第46頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一證明由定理1，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。作輔助行列式第i行(展開)展開定理給出了行列式降階計算的思想。47第47頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例5計算按定義按第3行展開48第48頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一再驗證一下錯列或錯行展開是否為零?49第49頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一求例650第50頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一一、階行列式的定義二、行列式的性質(zhì)行列式的計算:化三角形法;降階法§2.2方陣的行列式51第51頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例152第52頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一解例2．證明行列式53第53頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣由|A|的各元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成稱為A的伴隨矩陣。推論5

伴隨矩陣——研究可逆矩陣由行列式展開定理54第54頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一計算

n階行列式解將第列都加到第一列上,得例355第55頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一特征1：對于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在簡化計算。56第56頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一爪形行列式(P35例7)例4特征2：第一行，第一列及對角線元素除外，其余元素全為零的行列式稱為爪型行列式。57第57頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一范德蒙德(Vandermonde)行列式例5從最后一行開始,每行減去上一行的倍.58第58頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一按最后一列展開再提取每列的公因子59第59頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一60第60頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一61第61頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)解：所以根為x=1,2,3.62第62頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例663第63頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一64第64頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)自學(xué)P39例11行列式常用的計算方法：化三角法、降階法（遞推法）、歸納法、定義法。作業(yè)(P44)2(2)(3);3(3)(4);5;10課后思考4;8;965第65頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)§2.4矩陣的秩與矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形§2.3可逆矩陣§2.2n階(方陣的)行列式§2.1矩陣的運算§2.5分塊矩陣§2.6線性方程組解的存在性定理·Cramer法則66第66頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一§2.3

可逆矩陣定義對于n階矩陣A,如果有一個n階矩陣B,使得則說矩陣A是可逆的,并把矩陣B稱為A的逆矩陣.易知,如果A可逆,則其逆矩陣是唯一的,記作概念的引入:在數(shù)的運算中，當(dāng)數(shù)時，

有其中為的倒數(shù)，

（或稱的逆）；67第67頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一事實上，設(shè)B、C都是A的逆，則B=BE=BAC=EC=CAB=BA=EAC=CA=E從而，逆矩陣是唯一的它的逆矩陣存在嗎？解假設(shè)A的逆矩陣存在記作B,則而由已知得故矛盾,所以A的逆矩陣不存在.思考68第68頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一設(shè),由行列式乘法定理定理2.3.1證設(shè)，由得當(dāng)時,A稱為奇異矩陣,否則稱為非奇異矩陣.該定理也給出了求逆矩陣的方法之一。69第69頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例1A可逆如70第70頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例2求A的逆矩陣71第71頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例372第72頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)例473第73頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一74第74頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一思考:上(下)三角矩陣的逆矩陣仍是上(下)三角矩陣.§2.3

可逆矩陣75第75頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一推論1證推論表明的含義（P.49）76第76頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例5證明A和A+2E都可逆,并求其逆.設(shè)方陣A滿足證77第77頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)(P.49)78第78頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一證79第79頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例6設(shè)A為3階方陣,,求解80第80頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一用初等變換求逆矩陣把單位矩陣分別作第一、第二、第三種初等行變換得到的矩陣分別稱為第一、第二、第三種初等矩陣。定義記號81第81頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一úúú?ùêêê?é100010001úúú?ùêêê?é10001000182第82頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣仍是同一種初等矩陣。性質(zhì)可作如下驗證：83第83頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一計算84第84頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一(“左行右列”原則)P52

對一個矩陣施行一次初等行變換，相當(dāng)于在它的左邊乘以一個相應(yīng)的初等矩陣；對一個矩陣施行一次初等列變換，相當(dāng)于在它的右邊乘以一個相應(yīng)的初等矩陣。結(jié)論例785第85頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一任一可逆矩陣可經(jīng)過有限次初等行變換化成單位矩陣。即當(dāng)可逆矩陣經(jīng)過初等行變換化為行最簡形矩陣時，行最簡形矩陣為單位矩陣。定理2.3.2（證明略書P.52）86第86頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)即有初等矩陣使得問作一次行變換再作一次行變換繼續(xù)…考慮對作行變換求逆矩陣的初等變換法87第87頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一任一可逆矩陣必可分解為有限個初等矩陣的乘積。從而,矩陣可逆的充要條件是它可分解為有限初等矩陣的乘積。定理2.3.388第88頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一記為例889第89頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一的解90第90頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一矩陣方程AX=B(假設(shè)A可逆)，如何求解？方法一：先求，再計算方法二：則方法一：求，再計算XA=B

(假設(shè)A可逆)？方法二：91第91頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一記為練習(xí)92第92頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一作業(yè)P541(2)(4);2;5(3)(4);6(2);7;8;12課后思考P543;4;9;1093第93頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)§2.4矩陣的秩與矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形§2.3可逆矩陣§2.2n階(方陣的)行列式§2.1矩陣的運算§2.5分塊矩陣§2.6線性方程組解的存在性定理·Cramer法則94第94頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一§2.4矩陣的秩與等價標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的秩是矩陣的一個數(shù)值特征之一;利用矩陣秩的概念可以清楚地去闡述線性方程組解的存在性和向量組的線性相關(guān)性等問題.95第95頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一在矩陣A中,任取k行k列,位于這些行列交點上的元素按原次序構(gòu)成的k階行列式,稱為A的k階子式.定義例如等等,它們都是二階子式.等等,它們都是三階子式.每一個元素都是一階子式.問:子式的最高階數(shù)？96第96頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一矩陣A的非零子式的最高階數(shù),稱為A的秩,記做r(A).規(guī)定:零矩陣的秩是零.定義例如97第97頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)定義回答下面問題：(2)m×n的矩陣A,其秩最大可能是?_______________r(A)≤min(m,n)(3)A有一個r階子式不為零,其秩至少是?________r(A)≥r(4)A有一個r階子式不為零,且所有r+1階都等于零,所有r+2子式都等于___,A的秩等于___。如果A的所有r階子式都等于零,則A的秩最大可能是_____。(5)r(A)?=r(AT)_____________零r(6)n階矩陣A為可逆矩陣的充要條件是r(A)=___。r(A)=r(AT)n(7)A=O的充要條件是r(A)=__。0r-1(1)矩陣的秩是否惟一?__________當(dāng)然惟一滿秩矩陣定理2.4.198第98頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一定理2.4.1設(shè)A為n階方陣，則A可逆的充要條件是r(A)=n。解：例199第99頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一解例2100第100頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一如何求矩陣的秩？階梯形矩陣的秩就是其非零行數(shù)！101第101頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一初等變換不改變矩陣的秩。秩的基本定理(P58定理2.4.2)例3求矩陣A的秩建議只用行變換階梯形不唯一102第102頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例4求和103第103頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一用初等變換必能將矩陣A化為如下相抵標(biāo)準(zhǔn)形（也稱等價標(biāo)準(zhǔn)形）：等價標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。其中秩(A)=r。(等價標(biāo)準(zhǔn)形定理)定理2.4.3下面討論對一個矩陣實施初等變換(既可用行變換又可用列變換)能把任意一個矩陣化成最簡單的形狀是什么?104第104頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例5形狀為105第105頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一定理2.4.4(1)A與B等價(3)存在可逆矩陣P和Q使得(2)r(A)=r(B)A,B均為m行n列矩陣，則以下條件等價：106第106頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一(其中P，Q是可逆矩陣)推論1設(shè)秩(A)=r，存在有限個初等矩陣和使得或表述為：例6設(shè)設(shè)求107第107頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一秩的重要性質(zhì)定理2.4.5108第108頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一性質(zhì)5定理2.4.6性質(zhì)2(A稱為列滿秩矩陣)(A稱為行滿秩矩陣)性質(zhì)4109第109頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一證：例6作業(yè)P642;4;8;9;11110第110頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)§2.4矩陣的秩與矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形§2.3可逆矩陣§2.2n階(方陣的)行列式§2.1矩陣的運算§2.5分塊矩陣§2.6線性方程組解的存在性定理·Cramer法則111第111頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一§2.5

分塊矩陣把大矩陣分成小矩陣處理。(1)簡化矩陣計算；(2)通過小矩陣的性質(zhì)推斷大矩陣的性質(zhì)；(3)突出矩陣結(jié)構(gòu),方便理論推導(dǎo).112第112頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一稱為按列分塊稱為按行分塊稱為2×2的分塊矩陣,小矩陣A11等稱為A的子塊.113第113頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一運算規(guī)則(1)設(shè)A,B的行數(shù)、列數(shù)相同,且有相同的分法114第114頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一(2)設(shè)則115第115頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一(3)設(shè)A與B可乘,且A的列分法與B的行分法相同其中則116第116頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例1求AB直接計算分塊計算117第117頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一118第118頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一(4)設(shè)則119第119頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一(5)設(shè)A是n階方陣其中都是方陣,則稱A為分塊對角矩陣.120第120頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例2，求解121第121頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例3請驗證其正確性.作業(yè)P732;3122第122頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)§2.4矩陣的秩與矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形§2.3可逆矩陣§2.2n階(方陣的)行列式§2.1矩陣的運算§2.5分塊矩陣§2.6線性方程組解的存在性定理·Cramer法則123第123頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一§2.6線性方程組解的存在性定理·Cramer法則在第一章中，我們學(xué)習(xí)了利用初等行變換求解線性方程組的方法,通過回顧再結(jié)合本章知識，給出線性方程組解的存在性定理。124第124頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣只用行變換化階梯形最后一行對應(yīng)的方程是：0=2,所以無解。復(fù)習(xí)125第125頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一解方程組第一步:把增廣矩陣用行變換化階梯形,如果,則無解.如果,則繼續(xù)化為最簡階梯形。問:此時其含義是獨立(或有效)方程的個數(shù)。以下問題針對的一般方程組來回答。復(fù)習(xí)126第126頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一第二步：寫出等價的(獨立的)方程組，保留第一個未知數(shù)在左邊其余的移到右邊，移到右邊的稱為自由變量。問：自由變量的個數(shù)=即未知數(shù)的個數(shù)減去獨立方程的個數(shù)。問：何時有唯一解？何時有無窮多解？當(dāng)出現(xiàn)自由變量時，令該量為任意數(shù)就可得到無窮多解，當(dāng)沒有自由變量時有唯一解。即當(dāng)時，有無窮多解，當(dāng)時有唯一解。127第127頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一第三步：令自由變量為任意實數(shù)，寫出通解。再改寫為向量形式。令，得通解即(取任意實數(shù))128第128頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一對于非齊次方程組定理2.6.1對于齊次方程組非齊次方程組解的判別定理定理2.6.2齊次方程組解的判別定理129第129頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例1時，有無窮多解。，時，無解。，時，有無窮多解。問a,b為何值時,方程組有解,無解。解：130第130頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)的線性方程組的系數(shù)行列式定理2.6.3Cramer法則131第131頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一則方程組有唯一解,且解為:證明P.77132第132頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一對于齊次方程組系數(shù)行列式方程組只有零解或者說：方程組有非零解定理2.6.4易由定理2.6.2得證。133第133頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一解方程組的系數(shù)行列式由Cramer法則，它有唯一解。解線性方程組例2134第134頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一同理可得故方程組的解為:135第135頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一問取何值時，齊次方程組有非零解？解系數(shù)行列式按第3行展開結(jié)論…例3136第136頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一例4解：系數(shù)矩陣是方陣首選行列式法問為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多解。有無窮多解時，求通解。137第137頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一分析：當(dāng)時有唯一解，當(dāng)時，此時系數(shù)矩陣中的參數(shù)已確定，方程組可能無解，也可能有無窮多解，這取決于右端項。再用初等行變換法加以判別。當(dāng)時，方程組有唯一解。當(dāng)時當(dāng)時，，方程組無解。

當(dāng)時，，方程組有無窮多解。138第138頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一通解為作業(yè)P733;4;5139第139頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)問a為何值時，該方程組有非零解，并求通解。解：(顯然對a=0也成立)140第140頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一令得通解當(dāng)a=－10時，同解方程組為令得解a=0時，同解方程組為當(dāng)a=0或a=－10時有非零解。141第141頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一計算n階行列式解將按第一行展開得例11142第142頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一得遞推公式特征3：所求行列式某一行（列）至多有兩個非零元素。143第143頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一計算n階行列式解：注意與例7的形式不同。例12144第144頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一145第145頁，共165頁，2023年，2月20日，星期一特征4：除對角線元素外，