離散數(shù)學 群與半群

離散數(shù)學群與半群第1頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一7.1半群和獨異點的定義及其性質(zhì)定義7.1.1

給定<S，⊙>，若⊙滿足結(jié)合律，則稱<S，⊙>為半群。可見，半群就是由集合及其上定義的一個可結(jié)合的二元運算組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)。定義7.1.2

定<M，○>，若<M，○>是半群且○有幺元或○滿足結(jié)合律且擁有幺元，則稱<M，○>為獨異點。第2頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一可以看出，獨異點是含有幺元的半群。因此有些著作者將獨異點叫做含幺半群。有時為了強調(diào)幺元e，獨異點表為<M，○，e>。如果半群<S，⊙>中的集合S是有限的，則稱半群為有限半群，對于有限半群可以給出下面有趣定理。定理7.1.1<S，⊙>為有限半群(x)(x∈S∧x⊙x=x)本定理告訴我們，有限半群存在等冪元。第3頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.1.3

給定半群<S，⊙>，若⊙是可交換的，則稱<S，⊙>是可交換半群。類似地可定義可交換獨異點<M，○，e>。定義7.1.4

給定半群<S，⊙>和g∈S，以及自然數(shù)集合N，則g為<S，⊙>的生成元:=(x)(x∈S→(n)(n∈N∧x=gn))此時也說，元素g生成半群<S，⊙>，而且稱該半群為循環(huán)半群。類似地定義獨異點<M，○，e>的生成元g和循環(huán)獨異點，并且規(guī)定g0=e。第4頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.1.2

每個循環(huán)獨異點都是可交換的。可見，○是可交換的，故<M，○，e>是可交換的。顯然，每個循環(huán)半群也是可交換的。對于生成元的概念加以推廣便得出生成集的概念。第5頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.1.5

給定半群<S，⊙>及GS，則G為<S，⊙>的生成集:=(a)(a∈S→a=⊙(G))∧|G|這里⊙(G)表示用G中的元素經(jīng)⊙的復(fù)合而生成的元素。類似地定義獨異點<M，○，e>的生成集。第6頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.1.6

給定半群<S，⊙>及非空集TS，若T對⊙封閉，則稱<T，⊙>為<S，⊙>的子半群。類似地定義獨異點<M，○，e>的子獨異點<P，○，e>，應(yīng)注意的是e∈P。第7頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.1.3

給定半群<S，⊙>及任意a∈S，則<{a，a2，a3，…}，⊙>是循環(huán)子半群。顯然，a是<{a，a2，a3，…}，⊙>的生成元。故<{a，a2，a3，…}，⊙>是循環(huán)子半群。第8頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.1.4

給定可交換獨異點<M，○，e>，若P為其等冪元集合，則<P，○，e>為子獨異點。定理7.1.5

設(shè)<M，○，e>為獨異點，則關(guān)于○的運算表中任兩列或任兩行均不相同。第9頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.1.6

給定獨異點<M，○，e>，對任意a，b∈M且a，b均有逆元，則(1)(a-1)-1=a。(2)a○b有逆元，且(a○b)-1=b-1○a-1。第10頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一7.2半群和獨異點的同態(tài)與同構(gòu)

在本節(jié)里，將把代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的同態(tài)與同構(gòu)的概念應(yīng)用于半群與獨異點。有些定義與性質(zhì)，幾乎完全就是平行地搬過來。主要內(nèi)容如下：第11頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.2.1

給定兩個半群<S，⊙>與<T，○>，則半群<S，⊙>半群<T，○>:=(f)(f∈TS∧(x)(y)(x，y∈S→f(x⊙y)=f(x)f(y))并稱f為從<S，⊙>到<T，○>的半群同態(tài)映射。由定義可以知道，半群同態(tài)映射f可以不是唯一的。第12頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一與前面的定義類似，根據(jù)半群同態(tài)映射f是單射(一對一)、滿射、雙射，把半群同態(tài)映射f分別定義半群單一同態(tài)映射、半群滿同態(tài)映射和半群同構(gòu)映射。如果兩個半群，存在一個同構(gòu)映射，則稱一個半群同構(gòu)于另一個半群。由于代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的滿同態(tài)具有保持運算的各種性質(zhì)，對于半群滿同態(tài)當然完全適用。第13頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一下面給出一個半群同態(tài)保持等冪性的定理。定理7.2.1

如果f為從<S，⊙>到<T，○>的半群同態(tài)映射，對任意a∈S且a⊙a=a，則f(a)○f(a)=f(a)。第14頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一由于半群同態(tài)映射是個函數(shù)，因此可對半群同態(tài)映射進行復(fù)合運算，從而產(chǎn)生新的半群同態(tài)映射。請看如下定理：定理7.2.2

如果g是從<S，⊙>到<T，☆>的半群同態(tài)映射，h是從<T，☆>到<U，○>的半群同態(tài)映射，則h

o

g是從<S，⊙>到<U，○>的半群同態(tài)映射。第15頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.2.2

若g是從<S，⊙>到<S，⊙>的半群同態(tài)映射，則稱g為半群自同態(tài)映射；若g是從<S，⊙>到<S，⊙>的半群同構(gòu)映射，則稱g為半群自同構(gòu)映射。第16頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.2.3

給定半群<S，⊙>，如果A={g|g為<S，⊙>到<S，⊙>的半群自同態(tài)映射}且o是函數(shù)復(fù)合運算，則<A，o>為半群。由于恒等映射i是復(fù)合運算o的幺元，因此可得下面定理：第17頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.2.4

給定半群<S，⊙>，若B={h|h為<S，⊙>到<S，⊙>的半群自同構(gòu)映射}，o為函數(shù)復(fù)合運算，則<B，o

，i>是獨異點。定理7.2.5

給定半群<S，⊙>，又<SS，o>是從S到S的所有函數(shù)在復(fù)合運算o下構(gòu)成的函數(shù)半群，則存在從<S，⊙>到<SS，o>的半群同態(tài)映射g，或者說<S，⊙>半群同態(tài)于<SS，o>。第18頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一上面介紹半群同態(tài)及有關(guān)定理。下面接著來討論獨異點之間的同態(tài)及其有關(guān)定理。定義7.2.3

給定獨異點<M，⊙，eM>和<T，○，eT>，則<M，⊙，eM><T，○，eT>:=(g)(g∈TM∧(x)(y)(x，y∈M→g(x⊙y)=g(x)○g(y))∧g(eM)=eT并稱g為從<M，⊙，eM>到<T，○，eT>的獨異點同態(tài)映射。第19頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一注意，獨異點同態(tài)區(qū)別半群同態(tài)就在于保持幺元，即g(eM)=eT。因此，半群同態(tài)未必是獨異點同態(tài)，反之都真。對于獨異點滿同態(tài)、獨異點單同態(tài)、獨異點同構(gòu)、以及獨異點滿同態(tài)保持運算性質(zhì)等，這里也一并略去了。下面給出一個有關(guān)同構(gòu)的定理以結(jié)束本節(jié)。第20頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

定理7.2.6

給定獨異點<M，⊙>，則存在TMM，使<M，⊙><T，o>。本定理表明，一個獨異點可與復(fù)合運算下的函數(shù)獨異點同構(gòu)。第21頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一7.3積半群把積代數(shù)方法應(yīng)用于特殊一類代數(shù)結(jié)構(gòu)：半群，便產(chǎn)生積半群。第22頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.3.1

給定兩個半群<S，⊙>和<T，○>。稱<S×T，>為<S，⊙>和<T，○>的積半群，其中S×T為集合S與T的笛卡兒積，運算定義如下：<s1，t1><s2，t2>=<s1⊙s2，t1○t2>，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T由于運算是經(jīng)⊙和○定義的，易知，積半群是個半群。第23頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一不難證明下列定理：定理7.3.1

若半群<S，⊙>和<T，○>是可交換的，則<S×T，>也是可交換的。定理7.3.2

給定半群<S，⊙>和<T，○>，且e1和e2分別是它們的幺元，則積半群<S×T，>含有幺元<e1，e2>。換言之，若<S，⊙，e1>和<T，○，e2>是獨異點，則<S×T，，<e1，e2>>是獨異點。第24頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.3.3

給定半群<S，⊙>和<T，○>，且θ1和θ2分別為它們的零元，則積半群<S×T，>含有零元<θ1，θ2>。定理7.3.4

給定半群<S，⊙>和<T，○>，且s∈Ｓ的逆元s-1，t∈T的逆元t-1，則積半群<S×T，>中<s，t>的逆元是<s-1，t-1>。第25頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一7.4群的基本定義與性質(zhì)定義7.4.1

給定<G，⊙>，若<G，⊙>是獨異點且每個元素存在逆元，或者①⊙是可結(jié)合的，②關(guān)于⊙存在幺元，③G中每個元素關(guān)于⊙是可逆的，則稱<G，⊙>是群?？梢?，群是獨異點的特例，或者說，群比獨異點有更強的條件。第26頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.4.2

給定群<G，⊙>，若G是有限集，則稱<G，⊙>是有限群。并且把G的基數(shù)稱為該有限群的階數(shù)，若集合G是無窮的，則稱<G，⊙>為無窮群。第27頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一由群的定義可知，群具有半群和獨異點的性質(zhì)，這里不再重復(fù)羅列了，而且群還有自己獨特的性質(zhì)，僅此討論如下：定理7.4.1<G，⊙>是群∧|G|＞1<G，⊙>無零元。定理7.4.2<G，⊙>是群<G，⊙>中的唯一等冪元是幺元。第28頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.4.3

給定群<G，⊙>，則有(a)(b)(c)(a，b，c∈G∧((a⊙b=a⊙c∨b⊙a=c⊙a)→b=c))即群滿足可約律。第29頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.4.4

給定群<G，⊙>，則(a)(b)(a，b∈G→((!x)(x∈G∧a⊙x=b)∨(!y)(y∈G∧y⊙a=b))或(a)(b)(a，b∈G→(!x)(!y)(x，y∈G∧(a⊙x=b∨y⊙a=b))即群中方程解是唯一的。第30頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.4.5<G，⊙>是群(a)(b)(a，b∈G→(a⊙b)-1=b-1⊙a-1)定義7.4.3

給定群<G，⊙>，若⊙是可交換的，則稱<G，⊙>是可交換群或<G，⊙>是Abel群。定理7.4.6

給定群<G，⊙>，則<G，⊙>為Abel群(a)(b)(a，b∈G→(a⊙b)2=a2⊙b2第31頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一

定義7.4.4

給定群<G，⊙>，且a∈G，幺元e，則a的階或周期為n:=(k)(k∈I+∧{ak=e}=n)，并稱a的階是有限的；否則，a的階是無窮的。第32頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.4.7

給定群<G，⊙>，且a∈G的階n是有限的，則(m)(m∈I+∧k=mn)ak=e推論：若an=e且沒有n的因子d(1＜d＜n)使ad=e，則n為a的階。定理7.4.8

給定群<G，⊙>及a∈G，則a與a-1具有相同的階。第33頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一7.5置換群和循環(huán)群

本節(jié)里，將討論群論中兩種常見而又重要的群：置換群和循環(huán)群，特別在研究群的同構(gòu)群時，置換群扮演著極重要的角色。在正式討論置換群以前，需要先作些必要的準備。第34頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.5.1

令X是非空有窮集合，從X到X的雙射，稱為集合X中的置換，并稱|X|為置換的階。若X={x1，x2，…，xn}，則n階置換表為第35頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一并稱為置換中的反置換，記為p-1。特別把置換稱為X中的幺置換或恒等置換，記為pe。第36頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一此外，用PX表示集合X中的所有置換的集合。為了說明n個元素的集合可以有多少不同的置換，特給出如下定理：定理7.5.1

若X={x1，x2，…，xn}，則|PX|=n!第37頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.5.2

給定集合X且pi，pj∈PX，由X的元素先進行置換pi后繼之作置換pj所得到的置換，表為pi

pj，稱pi

pj是置換pi和pj的復(fù)合，

是復(fù)合置換運算。可以看出，若把置換看成一種特殊關(guān)系時，復(fù)合置換pi

pj就是復(fù)合關(guān)系piopj，常稱之右復(fù)合；又若把置換看成函數(shù)時，那么復(fù)合置換又可表成如下的復(fù)合函數(shù)即所謂左復(fù)合：pi

pj=pj

o

pi，其中o表示函數(shù)的復(fù)合于是，對于x∈X有：(pi

pj)(x)=(pj

o

pi)(x)=pj(pi(x))第38頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一由定義7.5.1可知，置換即是雙射，亦即1-1函數(shù)，故PX中的元素滿足下列四個性質(zhì)：(1)(p1)(p2)(p1,p2PXp1

p2PXp2

p1PX)(2)(p1)(p2)(p3)(p1,p2,p3PX(p1

p2)

p3=p1

(p2

p3))第39頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一(3)(pe)(pePX(p)(pPXpe

p=p

pe=p))(4)(p)(pPX(p-1)(p-1PXp

p-1=p-1

p=pe)) (1)表明PX對于

是封閉的；(2)表明PX對于

是可結(jié)合的；(3)表明PX中有幺置換；(4)表明PX中每個置換都有反置換。因此，可知<PX,

>是一個群，并稱它為對稱群，習慣上記為<S|X|,

>。若QPX=S|X|，則稱由Q和

構(gòu)成的群<Q,

>為置換群。第40頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一對稱群<S3,

>獨立于集合X中各個元素，但卻依賴于集合X中的元素個數(shù)。這就是說，任何三個其它元素的集合都會生成“同樣”的置換，這就是為什么將對稱群<PX,

>寫成<S|X|,

>，即<S3,

>的理由。此外，把集合X的基數(shù)稱為對稱群<S3,

>的次數(shù)。因此，<S3,

>是三次六階群，因為|S3|=3!=6。第41頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一一般地說來，由n個元素的集合而構(gòu)成的所有n!個n階置換的集合Sn與復(fù)合置換運算

構(gòu)成群<Sn,

>，它便n次n!階對稱群。應(yīng)該注意，置換群一般都不是對稱群，因為它并不要求一定要包括全部給定階的置換。例如，三次置換群<{p1,p2},

>和<{p1,p5,p6},

>都不是對稱群，其中p1,p2,p5,p6S3。第42頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一若說置換是個關(guān)系即有序?qū)?，那么由置換和

構(gòu)成置換群，它會確立怎樣的二元關(guān)系呢？下面就來回答這個問題。定義7.5.3

令<Q，

>是一置換群且QS|X|。稱R={<a，b＞|a，b∈X∧p∈Q∧p(a)=b}為由<Q，

>所誘導(dǎo)的X上的二元關(guān)系。第43頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.5.2

由置換群<Q，

>誘導(dǎo)的X上的二元關(guān)系是一等價關(guān)系。定理7.5.3

在有限群<G，⊙>中，每行或每列都是G中元素的置換。第44頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一一階群僅有幺元，即<{e}，⊙>。二階群除幺元e外，還有一個元素，比如a，則有<{e，a}，⊙>，其運算表如表7.5.2。由定理7.5.3可知，不可能再有其它運算表。在此預(yù)先指出，所有的二階群都與該群<{e，a}，⊙>同構(gòu)。第45頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一三階群，可令<{e，a，b}，⊙>，其運算表如表7.5.3。由定理7.5.3知，不可能再有別的運算表。同樣，任何三階群都與它同構(gòu)。從運算表可以看出，所有二階群和三階群都是Abel群。事實上，四、五階群也是Abel群，但六階群未必都是Abel群。第46頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一第47頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一上面講了由有限集合X到X的雙射即置換，以及置換群；下面不再限于X是有限集，換言之，它可以是個無窮集。這時從集合X到X的雙射，稱之為一一變換或變換。如果令TX表示所有從集合X到X的變換的集合，則顯然有TXXX，并且TX類似PX所具有的四條性質(zhì)，具體如下：(1)(f)(g)(f,gTXfog,gofTX)(2)(f)(g)(h)(f,g,hTX(fog)oh=fo(goh)(3)(i)(iTX(f)(fTXiof=foi=f(4)(f)(fTX(f-1)(f-1TXfof-1=f-1of=i))第48頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一因而，可證<TX,o>構(gòu)成群，在代數(shù)中稱為變換群，顯然，置換群是變換群的特例。請注意，由TX中的一些變換與運算o構(gòu)成的群，都稱為變換群，而<TX,o>只不過是個特殊情形而已。第49頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一最后，介紹循環(huán)群。定義7.5.4

給定群<G，⊙>及I為整數(shù)集合，若(g)(g∈G∧(a)(a∈G)→(n)(n∈I∧a=gn)))，則稱<G，⊙>是循環(huán)群。同時也可說循環(huán)群<G，⊙>是由g生成的，g是循環(huán)群<G，⊙>的生成元。第50頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.5.5

設(shè)g生成循環(huán)群<G，⊙>且I+是正整數(shù)集合，則g的周期或階為n:=(k)(k∈I+∧ {gk=e}=n)，如果這樣n不存在，則稱g的周期為無窮。第51頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.5.4

每個循環(huán)群都是Abel群。定理7.5.5

設(shè)<G，⊙>是g生成的有限循環(huán)群，如果|G|=n，則gn=e，G={g，g2，…，gn=e}及 {gk=e}=n，并且把n稱為循環(huán)群<G，⊙>的周期。第52頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一7.6子群與陪集子群概念，類似于子群和子獨異點。定義7.6.1

給定群<G，⊙>及非空集合HG，若<H，⊙>是群，則稱<H，⊙>為群<G，⊙>的子群。顯然，<{e}，⊙>和<G，⊙>都是<G，⊙>的子群，并且分別是<G，⊙>的“最小”和“最大”的子群，這對任何群來說，都有這樣的子群，因此稱為平凡子群，而其余子群稱為真子群。第53頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一群與其子群有如下的明顯性質(zhì)：定理7.6.1<H，⊙>是群<G，⊙>的子群eH=eG，其中eH和eG分別是<H，⊙>和<G，⊙>的幺元，即群與其子群具有相同幺元。第54頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一下面給出關(guān)于子群充要條件的定理。定理7.6.2

給定群<G，⊙>及非空HG，則<H，⊙>是<G，⊙>的子群(a)(b)(a，b∈H→a⊙b∈H)∧(a)(a∈H→a-1∈H)本定理表明<H，⊙>為<G，⊙>的子群的充要條件是H對于⊙封閉及H中每個元素存在逆元。第55頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.6.3

給定群<G，⊙>及非空HG，則<H，⊙>是<G，⊙>的子群(a)(b)(a，b∈H→a⊙b-1∈H)定理7.6.4

給定群<G，⊙>及非空有限集HG，則<H，⊙>是<G，⊙>的子群(a)(b)(a，b∈H→a⊙b∈H)第56頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.6.2

群<G，⊙>的中心為一集合，記作centG，centG:={a|a∈G∧(x)(x∈G→a⊙x=x⊙a)}。可見，cent

G包含了所有與G中的每個元素皆可交換的元素。并且顯然若<G，⊙>為群，則<G，⊙>是Abel群，當且僅當cent

G=G。定理7.6.5<cent

G，⊙>是群<G，⊙>的子群第57頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.6.6

若<G1，⊙>和<G2，⊙>都是群<G，⊙>的子群，則<G1∩G2，⊙>也是群<G，⊙>的子群。確定已知群的全部子群，一般來說是很困難的，但對于循環(huán)群而言，卻是容易辦到的，這可由下面定理得出：定理7.6.7

循環(huán)群<G，⊙>的任何子群都是循環(huán)群。第58頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.6.3

令<H，⊙>是群<G，⊙>的子群且a∈G，則把下面集合：a⊙H={a⊙h|h∈H}稱為由元素a所確定的群<G，⊙>中的H的左陪集，或簡稱為左陪集并簡記aH。此外，稱a是左陪集aH的代表元素。第59頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一類似地可定義由a所確定群<G，⊙>中的H的右陪集Ha。顯然，若<G，⊙>是Abel群，并且<H，⊙>是其子群，則aH=Ha，即任意元素的左陪集等于其右陪集。定義7.6.4

給定群<G，⊙>，子群<H，⊙>的左陪集關(guān)系，記作，其定義為：:={<a，b＞|a，b∈G∧b-1⊙a∈H}。第60頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)左陪集的定義，可得到下列結(jié)論：(1)若<H，⊙>為群<G，⊙>的子群，則H為<G，⊙>中的左陪集。因為若e是<G，⊙>的幺元，則e⊙H={e⊙h|hH|=H。(2)若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，對任意a∈G，則a∈aH。因為eH，故a=a⊙eaH。第61頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一(3)若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，則H的每個左陪集與H勢等。令f(aH)H如下：f(h)=a⊙h,其中hH則f是雙射。滿射是顯然的，下面再證它是單射。若a⊙h1=a⊙h2，h1,h2H，則根據(jù)群的可約律知h1=h2，即f(h1)=f(h2)導(dǎo)出h1=h2。第62頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一對于右陪集有同樣結(jié)論，不重復(fù)了。下面介紹有關(guān)左陪集的定理。定理7.6.8

若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，則aH=Ha∈H。定理7.6.9

若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，則aH=bHb-1⊙a∈H第63頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一推論左陪集aH中的任何元素a1均可決定該陪集，或者說，陪集中的每個元素都可作為陪集的代表。因為若a1aH，則存在h1H，使得a1=a⊙h1，于是a-1⊙a1=h1H。再根據(jù)定理7.6.9知，a1H=aH。定理7.6.10

若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，則或者aH∩bH=或者aH=bH。第64頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一由于G中每個元素a必在H的左陪集aH中，從定理7.6.10又知道，G中每個元素恰好能屬于H的某個左陪集中。因此H的左陪集簇構(gòu)成G的劃分，而且劃分中每個塊與H具有相同的元素個數(shù)。因此可得下面定理：定理7.6.11

若<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，則<G，⊙>中的H的左陪集簇構(gòu)成G的一種劃分。并且稱它為G的對于H的左陪集劃分。第65頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一假若群<G，⊙>為有限群，其子群是<H，⊙>，且|G|=n，|H|=m，則G的對于H的左陪集劃分可表為G=a1H∪a2H∪···∪akH，其中k為不同的左陪集個數(shù)，稱為H在G中的指標，由于每個左陪集皆有m個元素，故G具有km個元素，即n=mk，這便得到著名拉格朗日(J.L.Lagrange)定理：第66頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定理7.6.12

若<H，⊙>是有限群<G，⊙>的子群，且|G|=n，|H|=m，則n=mk，其中k∈I+，I+是正整數(shù)集合。本定理表明，任何有限群的階均可被其子群的階所整除。第67頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一推論任何其階為素數(shù)的有限群必無真子群。最后應(yīng)用陪集概念來定義一個子群，它是非常重要的子群——正規(guī)子群或不變子群。第68頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一定義7.6.5

設(shè)<H，⊙>是群<G，⊙>的子群，若對于G中任意元a，有aH=Ha，則稱<H，⊙>是群<G，⊙>的正規(guī)子群。由本定義可知，每個Abel群的子群均為正規(guī)子群。請注意，正規(guī)子群<H，⊙>導(dǎo)出可交換性是比較弱的。這是因為，若h∈H，并非總有a⊙h=h⊙a，而僅僅知道必存在h1，h2∈H，使得a⊙h1=h2⊙a。第69頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一下面定理提供了簡便的手段判定一已知子群是否為正規(guī)子群，它很有用途。定理7.6.13

給定群<G，⊙>的子群<H，⊙>，它是群<G，⊙>的正規(guī)子群(a)(a∈G→aHa-1H)。第70頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一本節(jié)一開始已討論了，一個群的子群所確定的左陪集關(guān)系是等價關(guān)系。一般地說，它未必是同余關(guān)系，那么自然會問，滿足怎樣的條件才能是同余關(guān)系呢？下面定理回答了這個問題。定理7.6.14

群<G，⊙>的正規(guī)子群<H，⊙>所確定的左(或右)陪集關(guān)系 (或 )是同余關(guān)系。第71頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一7.7群的同態(tài)與同構(gòu)本節(jié)中，將同態(tài)與同構(gòu)概念作用于群，便導(dǎo)出群的同態(tài)和同構(gòu)。定義7.7.1

給定群<G，⊙>和群<H，○>，則群<G，⊙>群<H，○>:=(g)(g∈HG∧(a)(b)(a，b∈G→g(a⊙b)=g(a)○g(b)))，并稱g為從群<G，⊙>到群<H，⊙>的群同態(tài)映射。第72頁，共80頁，2023年，2月20日，星期一群同態(tài)有很好的性質(zhì)，它保持幺元、逆元和子群，請看下面定理：定理7.7.1

設(shè)g為從群<G，⊙>到群<H，○>的群同態(tài)映射，則(1)若eG和eH分別為兩群的幺元，那么，g(eG)=eH。(2)若a∈