二維圖像的小波降噪與壓縮專業(yè)方向課程設(shè)計報告

班級：姓名：學(xué)號：課題：二維圖像的小波降噪與壓縮PAGE2PAGE19“電子信息工程專業(yè)方向”課程設(shè)計報告 課題名稱：二維圖像的小波降噪與壓縮 班級學(xué)號學(xué)生姓名 專業(yè)電子信息工程 院系電氣學(xué)院電子系 指導(dǎo)老師專業(yè)方向課程設(shè)計指導(dǎo)小組 淮陰工學(xué)院 電子與電氣工程學(xué)院 2014年12月目錄一、設(shè)計目的、技術(shù)指標(biāo)及要求 1二、數(shù)字圖像與數(shù)字圖像處理 12.1數(shù)字圖像概述 12.2數(shù)字圖像質(zhì)量指標(biāo)體系 12.2.1主觀指標(biāo) 22.2.2客觀指標(biāo) 22.3數(shù)字圖像存儲格式及其特點 22.4數(shù)字圖像處理概述 62.5數(shù)字圖像處理目的與方法 62.5.1目的 62.5.2方法 6三、小波變換 73.1連續(xù)小波變換 83.1.1連續(xù)小波基函數(shù) 83.1.2連續(xù)小波變換 93.2離散小波變換 103.2.1尺度與位移的離散化 103.2.2二進(jìn)制小波變換 11四、 基于MATLAB的小波降噪 124.1程序流程為： 134.2MATLAB實踐 134.2.1程序主要函數(shù)說明 13五、設(shè)計總結(jié) 18參考文獻(xiàn) 19二維圖像的小波降噪與壓縮一、設(shè)計目的、技術(shù)指標(biāo)及要求1.培養(yǎng)理論聯(lián)系實際的正確設(shè)計思想，訓(xùn)練綜合運用已經(jīng)學(xué)過的理論和生產(chǎn)實際知識去分析和解決工程實際問題的能力。2.學(xué)習(xí)較復(fù)雜的電子系統(tǒng)設(shè)計的一般方法，了解和掌握模擬、數(shù)字電路等知識解決電子信息方面常見實際問題，由學(xué)生自行設(shè)計、自行制作和自行調(diào)試。3.進(jìn)行基本技術(shù)技能訓(xùn)練，如基本儀器儀表的使用，常用元器件的識別、測量、熟練運用的能力，掌握設(shè)計資料、手冊、標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范以及使用仿真軟件、實驗設(shè)備進(jìn)行調(diào)試和數(shù)據(jù)處理等。4.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力5.利用Matlab中小波變換工具包，實現(xiàn)性能可調(diào)的二維圖像的小波降噪與壓縮功能；6.畫出總體流程圖；7.編程、調(diào)試、運行，實現(xiàn)預(yù)期功能；8.提交格式上符合要求，內(nèi)容完整的設(shè)計報告。二、數(shù)字圖像與數(shù)字圖像處理2.1數(shù)字圖像概述數(shù)字圖像，是以二維數(shù)字組形式表示的圖像，將連續(xù)的模擬圖像經(jīng)過離散化處理后變成計算機能夠辨識的點陣圖像，其數(shù)字單元為像元，數(shù)字圖像的恰當(dāng)應(yīng)用通常需要數(shù)字圖像與看到的現(xiàn)象之間關(guān)系的知識，也就是幾何和光度學(xué)或者傳感器校準(zhǔn)，數(shù)字圖像處理領(lǐng)域就是研究它們的變換算法。2.2數(shù)字圖像質(zhì)量指標(biāo)體系圖像質(zhì)量的含義包括兩方面：一個是圖像的逼真度。即被評價圖像與原標(biāo)準(zhǔn)圖像的偏離程度；另一個是圖像的可值度，是指圖像能向人或機器提供信息的能力。主要包括主觀指標(biāo)和客觀指標(biāo)兩種方式。2.2.1主觀指標(biāo)圖像的主觀評價就是通過人來觀察圖像，對圖像的優(yōu)劣作主觀評定，然后對評分進(jìn)行統(tǒng)計平均，就得出評價的結(jié)果。這時評價出的圖像質(zhì)量與觀察者的特性及觀察條件等因素有關(guān)。為保證主觀評價在統(tǒng)計上有意義，選擇觀察者時既要考慮有未受過訓(xùn)練的“外行”觀察者，又要考慮有對圖像技術(shù)有一定經(jīng)驗的“內(nèi)行”觀察者。另外，參加評分的觀察者至少要有20名，測試條件應(yīng)盡可能與使用條件相匹配。2.2.2客觀指標(biāo)客觀指標(biāo)又包括三個方面：均方誤差（MSE）、峰值信噪比（PSNR）、信息熵。（1）均方誤差：（2）信噪比：其中表示重建恢復(fù)后圖像像素的灰度值，表示原始圖像各點的灰度值；表示重建恢復(fù)后圖像灰度值的方差。（3）峰值信噪比：式中表示處理后的圖像的灰度，表示原始圖像的灰度，表示圖像像素的個數(shù)。單位為dB。在實際應(yīng)用中，峰值信噪比是圖像處理中最常用的圖像質(zhì)量評價的客觀標(biāo)準(zhǔn)。以上三種方法是傳統(tǒng)的數(shù)字圖像評價的客觀評價標(biāo)準(zhǔn)，因為操作簡單，在計算機處理中得到廣泛的應(yīng)用。但是，通過定義客觀標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)字圖像進(jìn)行公式化的評價，并不絕對有效，因為這些標(biāo)準(zhǔn)沒有充分考慮人類視覺特性，即：幅度非線性特性，視覺敏感度帶通和多通道，掩蓋效應(yīng)。2.3數(shù)字圖像存儲格式及其特點1.PCX(*.pcx）：Pcx格式最早是由Zsoft公司的PCPaintbrush圖形軟件所支持的一種經(jīng)過壓縮的PC位圖文件格式。后來，Microsoft將PCPaintbrush移植到Windows環(huán)境中，pcx圖像格式也就得到了更多的圖形圖像處理軟件的支持。該格式支持的顏色數(shù)從最早的16色發(fā)展到目前的1677萬色。它采用行程編碼方案進(jìn)行壓縮，帶有一個128字節(jié)的文件頭。該格式比較簡單，適合保存索引和線畫稿模式圖像。其不足之處是它只有一個顏色通道。PCX格式支持I—24位格式顏色深度以及RGB、索引顏色、灰度和位圖顏色模式。2.TIFF(*.tiff）：Tiff格式是由AIdus為Macintosh機開發(fā)的一種圖像文件格式，最早流行于Macintosh，現(xiàn)在Windows上主流的圖像應(yīng)用程序都支持該格式。目前，它是Macintosh和PC機上使用最廣泛的位圖格式，在這兩種硬件平臺上移植tiff圖像十分便捷，大多數(shù)掃描儀也都可以輸出tiff格式的圖像文件。該格式支持的色彩數(shù)最高可達(dá)16M種。其特點是：存儲的圖像質(zhì)量高，但占用的存儲空間也非常大，其大小是相應(yīng)gif圖像的3倍，jpeg圖像的10倍：表現(xiàn)圖像細(xì)微層次的信息較多，有利于原稿階調(diào)與色彩的復(fù)制。該格式有壓縮和非壓縮兩種形式，其中壓縮形式使用的是LZW(Lempel—Ziv-Welch)無損壓縮方案。在PhotoShop中，tiff格式能夠支持24個通道，它是除PhotoShop自身格式(即psd和pdd)外唯一能夠存儲多個通道的文件格式。唯一的不足之處是由于tiff獨特的可變結(jié)構(gòu)，所以對tiff文件解壓縮非常困難。3.BMP(*.bmp）：bmp是Windows及OS/2中的標(biāo)準(zhǔn)圖像文件格式，己成為PC機Windows系統(tǒng)中事實上的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，有壓縮和不壓縮兩種形式。它以獨立于設(shè)備的方法描述位圖，可用非壓縮格式存儲圖像數(shù)據(jù)，解碼速度快，支持多種圖像的存儲，常見的各種PC圖形圖像軟件都能對其進(jìn)行處理。該格式支持1—24位顏色深度，使用的顏色模式可為RGB、索引顏色、灰度和位圖等，與設(shè)備無關(guān)。PhotoShop中，最多可以使用16M的色彩渲染bmp圖像。4.TGA(TragaFormat)：tga是TrueVision公司為其顯示卡開發(fā)的一種圖像文件格式，創(chuàng)建時間較早，最高色彩數(shù)可達(dá)32位，其中包括8位Alpha通道用于顯示實況電視。該格式已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于PC機的各個領(lǐng)域，而且該格式文件Windows與3DS相互交換圖像文件成為可能。該格式支持帶一個單獨Alpha通道的32位RGB文件，和不帶Alpha通道的索引顏色模式、灰度模式、16位和24位RGB文件。以該格式保存文件時，可選擇顏色深度。5.EPS(*.eps):此格式為壓縮的PostScript格式，是為在PostScript打印機上輸出圖像開發(fā)的。在PostScript圖形打印機上能打印出高品質(zhì)的圖形圖像，最高能表示32位圖形圖像。該格式分為PhotoShopEPS格式(AdobeIllustratorEps)和標(biāo)準(zhǔn)EPS格式，其中標(biāo)準(zhǔn)EPS格式又可分為圖形格式和圖像格式。值得注意的是，在PhotoShop中只能打開圖像格式的EPS文件。EPS格式包含兩個部分：第一部分是屏幕顯示的低解析度影像，方便影像處理時的預(yù)覽和定位：第二部分包含各個分色的單獨資料。eps文件以DCS／CMYK形式存儲，文件中包含CMYK四種顏色的單獨資料，可以直接輸出四色網(wǎng)片。其最大優(yōu)點是可以在排版軟件中以低分辨率預(yù)覽，而在打印時以高分辨率輸出。eps格式還有許多缺陷：首先，eps格式存儲圖像效率特別低：其次，eps格式的壓縮方案也較差，一般同樣的圖像經(jīng)tif的LZW壓縮后，要比eps的圖像小3到4倍。6.GIF(*.gif):該格式由Compuserver公司創(chuàng)建，存儲色彩最高只能達(dá)到256種，僅支持8位圖像文件在顏色深度和圖像大小上，gif類似于pcx：在結(jié)構(gòu)上，gif類似于tif。正因為它是經(jīng)過壓縮的圖像文件格式，所以大多用在網(wǎng)絡(luò)傳輸上和Internet的HTML網(wǎng)頁文檔中，速度要比傳輸其它圖像文件格式快得多。它的最大缺點是最多只能處理256種色彩，故不能用于存儲真彩色的圖像文件，但其G1F89a格式能夠存儲成背景透明的形式，并且可以將數(shù)張圖存成一個文件，從而形成動畫效果。7.JPEG(*.jpg、*.jpe）：JPEG(聯(lián)合圖像專家組)標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)物，該標(biāo)準(zhǔn)由ISO與CCITT(國際電報電話咨詢委員會)共同制定，是面向連續(xù)色調(diào)靜止圖像的一種壓縮標(biāo)準(zhǔn)。由于其高效的壓縮效率和標(biāo)準(zhǔn)化要求，目前已廣泛用于彩色傳真、靜止圖像、電話會議、印刷及新聞圖片的傳送上。但那些被刪除的資料無法在解壓時還原，所以jpeg文件并不適合放大觀看，存在一定程度失真，輸出成印刷品時品質(zhì)也會受到影響，因此，制作印刷品時最好不要選擇此格式。同樣一幅畫面，用jpeg格式儲存的文件是其它類型圖形文件的1/10～1/20。一般情況下,jpeg文件只有幾十KB，而色彩數(shù)最高可達(dá)到24位，所以它被廣泛運用在Internet上，以節(jié)約寶貴的網(wǎng)絡(luò)傳輸資源。JPEG格式支持RGB、CMYK和灰度顏色模式，但不支持Alpha通道。該格式主要用于圖像預(yù)覽和制作HTML網(wǎng)頁。8.RAW(*.raw):如果圖像需要在不同的平臺上被不同的應(yīng)用程序所使用，而對這些平臺又不熟悉，那么可以試試RAW文件格式。該格式支持帶Alpha通道的CMYK、RGB和灰度模式，和不帶Alpha通道的CMYK、RGB和灰度模式，和不帶Alpha多通道、Lab、索引顏色和雙色調(diào)模式。9.PSD(*.psd):psd是PhotoShop中使用的一種標(biāo)準(zhǔn)圖形文件格式，可包括層、通道和顏色模式等信息，且該格式是唯一支持全部顏色模式的圖像格式。psd文件能夠?qū)⒉煌奈锛詫?Layer)的方式來分離保存，便于修改和制作各種特殊效果。pdd和psd一樣，都是PhotoShop軟件中專用的一種圖形文件格式，能夠保存圖像數(shù)據(jù)的每一個細(xì)小部分，包括層、附加的蒙版、通道以及其它內(nèi)容，而這些內(nèi)容在轉(zhuǎn)存成其它格式時將會丟失。另外，因為這兩種格式是PhotoShop支持的自身格式文件，所以PhotoShop能以比其它格式更快的速度打開和存儲它們。在保存圖像時，若圖像中含有層信息，則必須以PSD格式保存。但是由于PSD格式保存的信息較多，因此，其文件非常龐大。10.FilmStrip(*.flm):filmstrip即幻燈片，它是Premiere中的一種輸出文件格式。這種格式的圖像只能在Photoshop中打開、修改和保存，而不能將其它格式的圖像以FLM格式保存。此外，如果在Photoshop中更改了filmstrip文件的大小，則這幅圖片就不能再存回filmstrip格式了，也就不能再返回Premiere了。11.PICT(*.pic、*.pct):pic文件格式主要應(yīng)用的Mac機上，也可在安裝了QuickTime的PC機上使用。該格式的文件不適用于打印，經(jīng)常用于多媒體項目。pic也是Mac應(yīng)用軟件用于圖像顯示的格式之一，其特點是能夠?qū)哂写髩K相同顏色的圖像進(jìn)行有效壓縮該格式支持RGB、索引顏色、灰度和位圖模式，在RGB模式下還支持Alpha通道。12.PDF(*.pdf):該格式是由Adobe公司推出的專為線上出版而制定的，它以PostScriptLevel2語言為基礎(chǔ)，因此，可以覆蓋矢量式圖象和點陣式圖象，并且支持超級連接。該格式可以保存多頁信息，其中可以包含圖形和文本。此外，由于該格式支持超級鏈接，因此是網(wǎng)絡(luò)下載經(jīng)常使用的文件格式。PDF格式支持RGB、索引顏色、CMYK、灰度、位圖和Lab顏色模式，但不支持Alpha通道。13.PhotoCD(*.pCd):pcd是一種PhotoCD文件格式，由Kodak公司開發(fā)，其它軟件系統(tǒng)只能對其進(jìn)行讀取。該格式主要用于存儲CD—ROM上的彩色掃描圖像，它使用YCC色彩模式定義圖像中的色彩。YCC色彩模式是CIE色彩模式的一個變種。CIE色彩空間是定義所有人眼能觀察到的顏色的國際標(biāo)準(zhǔn)。YCC和CIE色彩空間包含比顯示器和打印設(shè)備的RGB色和CMYK色多得多的色彩。PhotoCD圖像大多具有非常高的質(zhì)量，將一卷膠卷掃描為PhotoCD文件的成本并不高，但掃描的質(zhì)量還要依賴于所用膠卷的種類和掃描儀使用者的操作水平，該格式只能在Photoshop中打開，而不能保存。2.4數(shù)字圖像處理概述將圖像離散化轉(zhuǎn)成一個數(shù)據(jù)矩陣存放圖像存儲器中，然后再利用數(shù)字計算機，或其他大規(guī)模集成數(shù)字器件，對圖像信息進(jìn)行數(shù)字運算或處理，從而獲得某種預(yù)期的結(jié)果的技術(shù)。2.5數(shù)字圖像處理目的與方法2.5.1目的一般來講，對圖像進(jìn)行處理（或加工、分析）的主要目的有三個方面：（1）提高圖像的視感質(zhì)量，如進(jìn)行圖像的亮度、彩色變換，增強、抑制某些成分，對圖像進(jìn)行幾何變換等，以改善圖像的質(zhì)量。（2）提取圖像中所包含的某些特征或特殊信息，這些被提取的特征或信息往往為計算機分析圖像提供便利。提取特征或信息的過程是模式識別或計算機視覺的預(yù)處理。提取的特征可以包括很多方面，如頻域特征、灰度或顏色特征、邊界特征、區(qū)域特征、紋理特征、形狀特征、拓?fù)涮卣骱完P(guān)系結(jié)構(gòu)等。（3）圖像數(shù)據(jù)的變換、編碼和壓縮，以便于圖像的存儲和傳輸。不管是何種目的的圖像處理，都需要由計算機和圖像專用設(shè)備組成的圖像處理系統(tǒng)對圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行輸入、加工和輸出。2.5.2方法數(shù)字圖像處理常用方法有以下幾個方面：（1）圖像變換：由于圖像陣列很大，直接在空間域中進(jìn)行處理，涉及計算量很大。因此，往往采用各種圖像變換的方法，如傅立葉變換、沃爾什變換、離散余弦變換等間接處理技術(shù)，將空間域的處理轉(zhuǎn)換為變換域處理，不僅可減少計算量，而且可獲得更有效的處理（如傅立葉變換可在頻域中進(jìn)行數(shù)字濾波處理）。新興研究的小波變換在時域和頻域中都具有良好的局部化特性，它在圖像處理中也有著廣泛而有效的應(yīng)用。（2）圖像編碼壓縮：圖像編碼壓縮技術(shù)可減少描述圖像的數(shù)據(jù)量（即比特數(shù)），以便節(jié)省圖像傳輸、處理時間和減少所占用的存儲器容量。壓縮可以在不失真的前提下獲得，也可以在允許的失真條件下進(jìn)行。編碼是壓縮技術(shù)中最重要的方法，它在圖像處理技術(shù)中是發(fā)展最早且比較成熟的技術(shù)。（3）圖像增強和復(fù)原：圖像增強和復(fù)原的目的是為了提高圖像的質(zhì)量，如去除噪聲，提高圖像的清晰度等。圖像增強不考慮圖像降質(zhì)的原因，突出圖像中所感興趣的部分。如強化圖像高頻分量，可使圖像中物體輪廓清晰，細(xì)節(jié)明顯；如強化低頻分量可減少圖像中噪聲影響。圖像復(fù)原要求對圖像降質(zhì)的原因有一定的了解，一般講應(yīng)根據(jù)降質(zhì)過程建立“降質(zhì)模型”，再采用某種濾波方法，恢復(fù)或重建原來的圖像。（4）圖像分割：圖像分割是數(shù)字圖像處理中的關(guān)鍵技術(shù)之一。圖像分割是將圖像中有意義的特征部分提取出來，其有意義的特征有圖像中的邊緣、區(qū)域等，這是進(jìn)一步進(jìn)行圖像識別、分析和理解的基礎(chǔ)。雖然已研究出不少邊緣提取、區(qū)域分割的方法，但還沒有一種普遍適用于各種圖像的有效方法。因此，對圖像分割的研究還在不斷深入之中，是圖像處理中研究的熱點之一。（5）圖像描述：圖像描述是圖像識別和理解的必要前提。作為最簡單的二值圖像可采用其幾何特性描述物體的特性，一般圖像的描述方法采用二維形狀描述，它有邊界描述和區(qū)域描述兩類方法。對于特殊的紋理圖像可采用二維紋理特征描述。隨著圖像處理研究的深入發(fā)展，已經(jīng)開始進(jìn)行三維物體描述的研究，提出了體積描述、表面描述、廣義圓柱體描述等方法。（6）圖像分類（識別）：圖像分類（識別）屬于模式識別的范疇，其主要內(nèi)容是圖像經(jīng)過某些預(yù)處理（增強、復(fù)原、壓縮）后，進(jìn)行圖像分割和特征提取，從而進(jìn)行判決分類。圖像分類常采用經(jīng)典的模式識別方法，有統(tǒng)計模式分類和句法（結(jié)構(gòu)）模式分類，近年來新發(fā)展起來的模糊模式識別和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模式分類在圖像識別中也越來越受到重視。三、小波變換小波（Wavelet)這一術(shù)語，顧名思義，“小波”就是小區(qū)域、長度有限、均值為0的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間（空間）頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號（函數(shù))逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波變換分成兩個大類：\o"連續(xù)小波轉(zhuǎn)換"連續(xù)小波轉(zhuǎn)換和\o"離散小波變換"離散小波變換。3.1連續(xù)小波變換3.1.1連續(xù)小波基函數(shù)所謂小波(Wavelet)，即存在于一個較小區(qū)域的波。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)為一平方可積函數(shù)，即，若其傅立葉變換滿足：(3.1.1)時，則稱為一個基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式是小波函數(shù)的可容許條件。根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點;另一方面，根據(jù)可容許性條件可知，即直流分量為零，因此小波又具有正負(fù)交替的波動性。將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，設(shè)其伸縮因子(亦稱尺度因子)為，平移因子為，并記平移伸縮后的函數(shù)為，則:，并稱為參數(shù)和小波基函數(shù)。由于和均取連續(xù)變換的值，因此又稱為連續(xù)小波基函數(shù)，它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。定義小波母函數(shù)的窗口寬度為，窗口中心為，則可以求得連續(xù)小波基函數(shù)的窗口中心及窗口寬度分別為：。設(shè)是的傅立葉變換，頻域窗口中心為，窗口寬度為，的傅立葉變換為，則有:。所以此時頻域窗口中心及窗口寬度分別為：。由此可見，連續(xù)小波的時、頻窗口中心和寬度均是尺度因子的函數(shù)，均隨著的變化而伸縮，并且還有。即連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積是不變的，這正是Heisenberg測不準(zhǔn)原理。將不同、值下的時頻窗口繪在同一個圖上，就得到小波基函數(shù)的相平面（如圖2.1所示）。圖3.1.1小波基函數(shù)的相平面3.1.2連續(xù)小波變換將空間的任意函數(shù)在小波基下進(jìn)行展開，稱其為函數(shù)的連續(xù)小波變換CWT，變換式為：(3.1.2)當(dāng)小波的容許性條件成立時，其逆變換為：(3.1.3)其中為的容許性條件。另外，在小波變換過程中必須保持能量成比例，即:(3.1.4)由CWT的定義可知，小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，其中為小波變換系數(shù)?？梢娦〔ㄗ儞Q對函數(shù)在小波基上的展開具有多分辨率的特性，這種特性正是通過縮放因子和平移因子來得到的。根據(jù)、的不同，可以得到小波變換下不同時、頻寬度的信息，從而實現(xiàn)對信號的局部化分析。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：①線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和。②平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。③伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為。④自相似性：對應(yīng)于不同尺度因子和不同平移因子的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。⑤冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面：1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說，信號的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換則是一一對應(yīng)的。2）小波變換的核函數(shù)即小波基函數(shù)并不是唯一的，即存在許多可能的選擇（如：它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的，即在一個很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)具有速降特性，以便獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個迅速衰減的函數(shù)。一個一維函數(shù)的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數(shù)，變量比多一個，因此稱連續(xù)小波變換是超完備的，因為它要求的存儲量和它代表的信息量都顯著增加了。對于變量超過一個的函數(shù)來說，這個變換的維數(shù)也將增加。若是一個二維函數(shù)，則它的連續(xù)小波變換是：(3.1.5)其中，，表示在兩個維度上的平移，二維連續(xù)小波逆變換為：(3.1.6)同樣的方法可以推廣到兩個或兩個以上的變量函數(shù)上。3.2離散小波變換計算機中的圖像信息是以離散信號形式存放的，所以需要將連續(xù)小波變換離散化。而最基本的離散化方法就是二進(jìn)制離散，一般將這種經(jīng)過離散化的小波及其變換叫做二進(jìn)小波和二進(jìn)變換。需要注意的是這里的離散化都是針對連續(xù)的尺度因子和連續(xù)平移因子的，而不是針對時間的。這兒限制尺度因子總是正數(shù)。3.2.1尺度與位移的離散化對連續(xù)小波基函數(shù)尺度因子和平移因子進(jìn)行離散化可以得到離散小波變換，從而減少小波變換系數(shù)的冗余度。在離散化時通常對尺度因子和平移因子按冪級數(shù)進(jìn)行離散化，即?。檎麛?shù)，但一般都假定），得到離散小波函數(shù)為：其對應(yīng)系數(shù)為：(3.2.1)3.2.2二進(jìn)制小波變換二進(jìn)小波變換是一種特殊的離散小波變換，特別地令參數(shù)，，則有。該二進(jìn)尺度分解的原理在二十世紀(jì)三十年代由Littlewood和Paley在數(shù)學(xué)上進(jìn)行了研究證明。離散小波變換為：(3.2.2)離散二進(jìn)小波變換為：(3.2.3)二維離散小波變換：我們考慮二維尺度函數(shù)是可分離的情況，也就是：(3.2.4)設(shè)是與對應(yīng)的一維小波函數(shù)，則有：(3.2.5)(3.2.6)(3.2.7)這說明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進(jìn)行。先沿方向分別用和做分析，把分解成平滑和細(xì)節(jié)兩部分，然后對這兩部分再沿方向用和做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級平滑逼近，其它三路輸出，，都是細(xì)節(jié)函數(shù)。如果把和的對應(yīng)頻譜，設(shè)想成理想的半帶低通濾波器和高通濾波器，則反映的是,兩個方向的低頻分量，反映的是水平方向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，反映的是水平方向的高頻分量和垂直方向的低頻分量，反映的是兩個方向的高頻分量。對圖像進(jìn)行小波變換就是用低通濾波器和高通濾波器對圖像的行列進(jìn)行濾波（卷積），然后進(jìn)行二取一的下抽樣。這樣進(jìn)行一次小波變換的結(jié)果便將圖像分解為一個低頻子帶（水平方向和垂直方向均經(jīng)過低通濾波）和三個高頻子帶，即用表示水平高通、垂直低通子帶，用表示水平低通、垂直高通子帶，用表示水平高通、垂直高通子帶。分辨率為原來的1/2，頻率范圍各不相同。第二次小波變換時只對子帶進(jìn)行，進(jìn)一步將子帶分解為，，和，分辨率為原來的1/4,頻率范圍進(jìn)一步減半，以此類推。所以，進(jìn)行一次小波變換得到4個子帶，進(jìn)行M次分解就得到3M+1個子帶，如下圖所示。圖3.2.2圖像的三級小波分解圖基于MATLAB的小波降噪常用的圖像降噪方式是小波閾值降噪方法。這是一種實現(xiàn)簡單而效果較好的降噪方法。閾值降噪方法的思想很簡單，就是對小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進(jìn)行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的圖像。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計方法。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真等現(xiàn)象。而軟閾值處理相對較光滑，但可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們提出了半軟閾值函數(shù)。小波閾值降噪方法處理閾值選取的另一個關(guān)鍵因素是閾值的具體估計。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲；相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。從直觀上講,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。4.1程序流程為：讀去圖像讀去圖像 預(yù)處理 預(yù)處理添加噪聲添加噪聲 小波分解小波分解低頻分量高頻分量 低頻分量高頻分量閾值處理閾值處理分析去噪后圖像小波重建分析去噪后圖像小波重建圖4.1程序流程圖4.2MATLAB實踐4.2.1程序主要函數(shù)說明=1\*GB2⑴讀取圖像函數(shù)（預(yù)處理）一般bmp和jpg格式圖像都可以用MATLAB圖像處理工具箱的imread函數(shù)來讀取，如本文用到的lena的圖。但MATLAB小波工具箱不能直接處理RGB真彩色圖像，可以使用圖像處理工具箱的rgb2ind函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為工具箱能夠處理的索引圖像，然后再進(jìn)行加噪消噪等處理。論文最后附上一RGB圖像處理例子。=2\*GB2⑵加噪部分MATLAB是功能強大的軟件含有很多封裝工具。這里我們用信號處理工具箱的imnoise函數(shù)，第二個參數(shù)設(shè)為’gaussian’即為高斯噪聲。=3\*GB2⑶小波處理部分如上述，MATLAB小波處理工具箱含有大量函數(shù)，可以直接應(yīng)用。用第三章知識自己編寫圖像小波分解與重建函數(shù)也行。圖像的2維小波多層分解同2層分解原理一樣，對上一層低頻分量再一次進(jìn)行分解即可，如下圖所示：LL2LH2HL2HH2HL1HH1LL1對LL1再次小波變換對LL1再次小波變換HL1HH1一層小波分解兩層小波分解圖4.2.1圖像兩層小波變換示意圖LL，LH，HL,HH分別表示低頻分量，高頻水平、高頻垂直、高頻對角方向分量。本文用MATLAB小波工具箱中函數(shù)wavedec2對圖像進(jìn)行二維小波多層分解；wrcoef2和wdencmp函數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)。其中wdencmp函數(shù)設(shè)置不同參數(shù)可使用不同閾值萎縮消噪并重構(gòu)。小波函數(shù)程序：clearallcloseallclc%裝載原始圖像信號，根據(jù)情況也可以使用偽彩色（如jet,cool），查看colormap函數(shù)的幫助。map=gray(256);%輸入圖像可以使用灰度圖像。彩色圖像使用rgb2hsv命令轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換后的v通道是灰度的X=imread('c:\wy.bmp');subplot(2,2,1);%新建窗口image(X);%顯示圖像%定義一些map的值有'jet'（默認(rèn)）,'hsv','hot','cool','spring','gray'等，可以看colormap的幫助。title('原始圖像')colormap(map);%生成含噪圖像init=2055615866;%初始值rand('seed',init);%初始化rand函數(shù)內(nèi)部信息X=double(X);%強制轉(zhuǎn)化為double格式。注意和im2double的區(qū)別。XX=X+12*randn(size(X));%添加均值為0，方差為12^2的正態(tài)分布噪聲。XXshow=uint8(XX);subplot(2,2,2);image(XXshow);colormap(map);title('含噪圖像');%對圖像消噪[c,l]=wavedec2(XX,2,'sym5');%首先用sym5小波函數(shù)對圖像進(jìn)行2層分解a1=wrcoef2('a',c,l,'sym5',1);%圖像第一層重構(gòu)a2=wrcoef2('a',c,l,'sym5',2);%圖像第二層重構(gòu)subplot(2,2,3);image(a1);colormap(map);title('第一層重構(gòu)圖像');subplot(2,2,4);image(a2);colormap(map);title('第二層重構(gòu)圖像');通過閾值的選取，MATLAB小波去噪程序；clearallcloseallclcmap=gray(256);F=imread('c:\wy.bmp');subplot(2,2,1);image(F);colormap(map);title('原始圖像');%生成含噪聲圖像init=2055615886;randn('seed',init);F=double(F);FF=F+8*randn(size(F));FFshow=uint8(FF);subplot(2,2,2);image(FFshow);colormap(map);title('含噪圖像');[c,l]=wavedec2(FF,2,'coif2');%用小波函數(shù)coif2對圖像進(jìn)行2層分解n=[1,2];%設(shè)置尺度向量p=[10.