第三節(jié)開集的可測性

第三節(jié)開集的可測性第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一注：開集、閉集既是型集也是型集；

有理數(shù)集是型集，但不是型集；

無理數(shù)集是型集，但不是型集。有理數(shù)集可看成可數(shù)個單點(diǎn)集的并，而單點(diǎn)集是閉集；通過取余型集與型集相互轉(zhuǎn)化（并與交，開集與閉集互換）例區(qū)間是可測集，且注：零集、區(qū)間、開集、閉集、型集（可數(shù)個開集的交）、型集（可數(shù)個閉集的并）、Borel型集（粗略說：從開集出發(fā)通過取余，取交或并（有限個或可數(shù)個）運(yùn)算得到）都是可測集。證明見書本p66第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一

2.可測集與開集、閉集的關(guān)系即：可測集與開集、閉集只相差一小測度集（可測集“差不多”就是開集或閉集），從而可測集基本上是至多可數(shù)個開區(qū)間的并。第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一證明：若(1)已證明，由Ec可測可知取F=Gc，則F為閉集第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一(1).若E可測，則

證明:(1)當(dāng)mE<+∞時，由外測度定義知從而（這里用到mE<+∞）第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一對每個Ei應(yīng)用上述結(jié)果(2)當(dāng)mE=+∞時，這時將E分解成可數(shù)個互不相交的可測集的并：第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一例證明：對任意的1/n，第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一例：設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，試各寫出一個與E只相差一小測度集的開集和閉集。例：設(shè)E*為[0,1]中的無理數(shù)全體，試各寫出一個與E*只相差一小測度集的開集和閉集。開集:(0,1)

閉集：開集：閉集：空集第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一3.可測集與集和集的關(guān)系可測集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若E可測，則存在型集H,使(1).若E可測，則存在型集O,使第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一(1).若E可測，則存在型集O,使(2).若E可測，則存在型集H,使證明：若(1)已證明，由Ec可測可知取H=Oc，則H為型集，且第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一(1).若E可測，則存在型集O,使證明：對任意的1/n，

第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一例：例：設(shè)E*為[0,1]中的無理數(shù)全體，試各寫出一個與E*只相差一零測度集的型集或型集。設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，試各寫出一個與E只相差一零測度集的型集或型集。注：上面的交與并不可交換次序第12頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一類似可證：證明:由外測度定義知第13頁，共14頁，2023年，2月20日，星期一第四節(jié)不可測集存在不可測集（利用選擇公理構(gòu)造，教材p73;1970，R.Solovay證明不可測集存在蘊(yùn)涵選擇公理）存在不是B