《高等數(shù)學(xué)教程》全套教學(xué)課件

第1章

函數(shù)、極限與連續(xù)性全套可編輯PPT課件本章內(nèi)容1初等函數(shù)回顧2極限的概念3極限的運算法則4兩個重要極限5無窮小與無窮大6函數(shù)的連續(xù)性7連續(xù)函數(shù)的四則運算與

初等函數(shù)的連續(xù)性8利用極限建模1631.1初等函數(shù)回顧1.1.1函數(shù)的概念定義1.1.1設(shè)和

是兩個變量，D

是一個給定的數(shù)集，如果對于每個數(shù)，變量

按照確定的法則總有唯一的數(shù)值與其對應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記作數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，

稱為自變量，

稱為因變量。當(dāng)

取數(shù)值

時,對應(yīng)的

的數(shù)值稱為函數(shù)在

處的函數(shù)值,記作。當(dāng)

取遍D內(nèi)的各個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域。

在實際問題中，函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實際意義確定的。而在數(shù)學(xué)中，有時抽去函數(shù)的實際意義，單純地討論用算式表達(dá)的函數(shù)，此時函數(shù)的定義域是使得算式有意義的一切實數(shù)組成的數(shù)集，這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域。

常見的函數(shù)的定義域有如下原則：(1)對于分式函數(shù)分母不能為零，如，；

(2)偶次根號下的變量不能小于零，如；(3)對于對數(shù)函數(shù)，規(guī)定：底數(shù)，真數(shù)x>0；

(4)對于正切函數(shù)，規(guī)定：；

(5)對于余切函數(shù)，規(guī)定：；(6)對于反正弦函數(shù)

和反余弦函數(shù)規(guī)定：

。1.1.2函數(shù)的幾種特性函數(shù)的特性包括有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性。

下面將這四特性的定義、圖形和幾何意義列入表1-1所示中。

特性定義圖形幾何意義有界性若有正數(shù)M

存在，使函數(shù)

在區(qū)間D

上恒有

M

，則稱在區(qū)間D

上是有界函數(shù)；否則，

在區(qū)間D上是無界函數(shù)有界函數(shù)的圖

形夾在兩條平行

線之間單調(diào)性若對于區(qū)間D內(nèi)任意兩點

及,當(dāng)時，有，則稱在I上單調(diào)增加，區(qū)間D稱為單調(diào)增區(qū)間；

若當(dāng)時，則稱

在D上單調(diào)減少，區(qū)間D

稱為單調(diào)減區(qū)間。

單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間單調(diào)增加函數(shù)

圖形沿

軸正向

上升;單調(diào)減少函

數(shù)圖形沿

軸正

向下降表1-1特性定義圖形幾何意義奇偶性設(shè)D

是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，若對于任意，都有，則稱為偶函數(shù)；若，則稱為奇函數(shù)奇函數(shù)的圖形

關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱周期性若存在不為零的數(shù)T，使得對于任意，有

，且

則稱為周期函數(shù)。通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期周期函數(shù)的圖

形在函數(shù)定義域內(nèi)的每個周期有相同的形狀1.1.3

初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)

統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。為了方便，很多時候也把多項式函數(shù)看作基本初等函數(shù)。這些函數(shù)是我們今后研究其他各種函數(shù)的基礎(chǔ)。

1.基本初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成的、并能用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

例如，

等都是初等函數(shù)。2.初等函數(shù)例1.1.1函數(shù)

是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的?

解

令,則，故是由復(fù)合而成的。例

1.1.2函數(shù)

是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的?

解

令

，

則

；再令，則；再令，則，故是由復(fù)合而成的。若函數(shù)在它的定義域內(nèi)的不同區(qū)間(或不同點)上有不相同的表達(dá)式，則稱它為分段函數(shù)。

例如符號函數(shù)

它就是一個分段函數(shù)，如圖1-1所示。注意：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)。3.分段函數(shù)1.1.4反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)定義1.1.2設(shè)為定義在D

上的函數(shù)，其值域為A，若對于數(shù)集A

上的每個數(shù)，數(shù)集D

中都有惟一確定的一個數(shù)

x

使，即

x變量為

y

的函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記為，其定義域為

A，值域為D。①反函數(shù)解由,可解得。交換x和y

的次序,得

即

為的反函數(shù)。求函數(shù)的反函數(shù)。

例

1.1.4定義1.1.3

設(shè)

y

是

u

的函數(shù)，而

u又是

x

的函數(shù)，且

的值域與的定義域的交集非空，那么，y通過中間變量

u

的聯(lián)系成為x的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為是由函數(shù)

與

復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作

②復(fù)合函數(shù)必須指出，不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的。如，

就不能復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)，因為的值域為

與的定義域的交集為空集，因此不能復(fù)合。解因為，而

，u是中間變量，所以。例1.1.4已知，試把表示為

的函數(shù)。例1.1.5

設(shè)，，試把

y

表示為

x

的函數(shù)。解不難看出u，v

分別是中間變量，故。1.2極限的概念1.2.1數(shù)列的極限先給出數(shù)列的定義：在某一對應(yīng)規(guī)則下，當(dāng)依次取時，對應(yīng)的實數(shù)排成一列數(shù)

(1-1)

這列數(shù)就稱為數(shù)列，記為。

從定義看到，數(shù)列可以理解為定義域為正整數(shù)集的函數(shù)

，

當(dāng)自變量依次取1,2,3,…等一切正整數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。數(shù)列(1-1)中的第

n

個數(shù)

稱為數(shù)列的第

n

項或通項。

定義1.2.1

如果數(shù)列的項數(shù)

無限增大時，它的通項

無限接近于某一個確定的常數(shù)a,則稱a是數(shù)列的極限，此時也稱數(shù)列收斂于

a,記作

如，或或定義1.2.2

如果數(shù)列的項數(shù)

無限增大時，它的通項

不接近于任何確定的常數(shù)，則稱數(shù)列沒有極限，或稱數(shù)列

發(fā)散。

注意：當(dāng)n無限增大時，如果

a無限增大，則數(shù)列沒有極限。

這時，習(xí)慣上也稱數(shù)列的極限是無窮大，記作

例1.2.1[彈球模型]一只球從100米的高空掉下，每次彈回的高度為上次高度的，這

樣運動下去，用球第次的高度來表示球的運動規(guī)律，則得數(shù)列從數(shù)列的變化趨勢可以看出，隨著次數(shù)n的無限增大，數(shù)列無限接近于0，即選學(xué)內(nèi)容我們說

n無限增大是什么意思？

說

無限接近于

a

又是什么意思

？如果在數(shù)軸上把

和a表示出來，那么所謂“當(dāng)n無限增大時，

無限接近于a

”的意思是：當(dāng)

n充分大時，

與a可以任意靠近，要多近就能多近。也就是說，

可以小于任意給定的正數(shù)，只要

n

充分大。

遺憾的是，利用這種方法的前提是必須已經(jīng)知道數(shù)列的極限可能是某個數(shù)。

但很多情況下，我們很難猜出數(shù)列的極限可能是什么。

有沒有什么方法可以在不知道數(shù)列極限可能是什么值的情況下判斷極限是否存在呢？柯西收斂準(zhǔn)則肯定地回答了這個問題。定理1.2.1(柯西收斂準(zhǔn)則)數(shù)列收斂的充要條件是：對于任意給定的正數(shù)

，存在正整數(shù)N

，使得當(dāng)時,總有。

定理1.2.2(唯一性)若數(shù)列收斂，則其極限是唯一的。定理1.2.4(保號性)若數(shù)列收斂，且，則當(dāng)或時，存在正整數(shù)

，當(dāng)

時，有或。

定理1.2.3(有界性)若數(shù)列收斂，則必有界。

1.2.2函數(shù)的極限1.

當(dāng)時函數(shù)

的極限

函數(shù)的自變量是指

的絕對值無限增大，它包含以下兩種情況：

(1)取正值，無限增大，記作；

(2)取負(fù)值，它的絕對值無限增大(即

無限減小)，記作。

若

不指定正負(fù)，只是無限增大，則寫成。解作出函數(shù)的圖像(如圖1-3所示)。由圖可以看出當(dāng)和時，

因此當(dāng)時，。

例1.2.2討論函數(shù)

當(dāng)和時的變化趨勢。定義1.2.3

如果當(dāng)無限增大，即時，函數(shù)

無限趨近于一個確定的常數(shù)A，那么就稱

當(dāng)時存在極限A，稱數(shù)A

為當(dāng)時函數(shù)的極限，記作

。類似地，當(dāng)或時，有

或解分別作出函數(shù)

和的圖形(如圖1-4所示)。

由圖形可以看出：

(1)；(2)。

作出函數(shù)

和的圖形，并判斷下列極限：

例1.2.3(1)；(2)。

解

(1)函數(shù)的圖形如圖1-5所示。從圖形可知，當(dāng)時，;當(dāng)

時,。此，當(dāng)無限增大時，函數(shù)無限接近于常數(shù)1，即

討論下列函數(shù)當(dāng)時的極限：

例1.2.4(1)；(2)。

(2)函數(shù)的圖形如圖1-6所示。從圖形可知，

當(dāng)時，;當(dāng)時，

。因此，當(dāng)無限增大時，函數(shù)

不可能無限地趨近某一個常數(shù)，即不存在。理論上可以證明：2.當(dāng)時函數(shù)

的極限

與的情形類似,包含從

大于的方向和

從小于的方向趨近于

兩種情況，分別用：

(1)

表示

從大于的方向趨近于;

(2)表示

從小于

的方向趨近于。

記號表示無限趨近于，兩個方向都要考慮。

解作出函數(shù)的圖形(如圖1-7所示)。從圖形可以看出，不論從

小于2的方向趨近于2還是從大于2的方向趨近于2，函數(shù)的值總是從兩個不同的方向愈來愈接近于3。

所以，當(dāng)時。

例1.2.5討論當(dāng)時，函數(shù)的變化趨勢。解作出函數(shù)的圖形(如圖1-8所示)。函數(shù)的定義域為在處函數(shù)沒有定義，但從圖1-8可以看出，自變量

x不論從大于1還是從小于1兩個方向趨近于1時，函數(shù)的值從兩個不同方向愈來愈接近于2。所以，當(dāng)時，。

例1.2.6討論當(dāng)時，函數(shù)的變化趨勢。定義1.2.4

設(shè)函數(shù)

在點

的某個去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果當(dāng)時，函數(shù)

無限趨近于一個確定的常數(shù)A，那么就稱當(dāng)時存在極限A；數(shù)A

就稱為當(dāng)

時函數(shù)的極限，記作說明:

在數(shù)軸上，以點

a為中心的任何開區(qū)間稱為

a

的領(lǐng)域。設(shè)

為一正數(shù)，則開區(qū)間

就是

a

的一個領(lǐng)域，稱為點

a的

領(lǐng)域，如圖1-9(a)所示，記為，即

，其中

a稱為該領(lǐng)域的中心，

稱為該領(lǐng)域的半徑。

在上述領(lǐng)域中除去領(lǐng)域的中心點

a

稱為點

a

的去心

領(lǐng)域，記為，即

，如圖1-9(b)所示。

解

(1)因為當(dāng)時，的值無限趨近于x0，所以有

。(1)；(2)(C為常數(shù))。

(2)因為當(dāng)時，的值恒等于C，所以有

由此可見，常數(shù)的極限是其本身。

例

1.2.7

求下列極限：(1)如果

從大于的方向趨近于時，函數(shù)

無限地趨近于一個確定的常數(shù)A，那么就稱在處存在右極限A，數(shù)A

就稱為當(dāng)

時函數(shù)的右極限，記作；

(2)如果

從小于

的方向趨近于

時，函數(shù)無限地趨近于一個確定的常數(shù)A，那么就稱在

處存在左極限A，數(shù)A

就稱為當(dāng)時函數(shù)的左極限，記作

。

根據(jù)時函數(shù)的極限定義和左、右極限的定義，容易證明:

例1.2.8已知函數(shù)，討論當(dāng)時的極限。

雖然當(dāng)時的左、右極限都存在但是不等，所以當(dāng)時

的極限不存在。

解這是一個分段函數(shù)在分界點處的極限問題。作出它的

圖形，如圖1-10所示，由圖可見

，，解因為，即

，所以。

例1.2.9已知，求。

解當(dāng)時，；

當(dāng)時，，所以函數(shù)可以分段表示為，于是

即，

所以不存在。例1.2.10已知，是否存在？解因為故

所以，此函數(shù)在處的極限不存在。例1.2.11[矩形波分析]已知矩形波函數(shù)

在

處的極限。1.3極限的運算法則1.3.1極限的四則運算法則

，則定理1.3.1設(shè)(1)(2)特別地，(3)。說明:

(1)使用這些運算法則的前提是自變量的同一變化過程中和的極限都存在；

(2)上述運算法則對于等其他變化過程也同樣成立;

(3)法則1，2可推廣到有限個函數(shù)的情況，于是有

解。例1.3.1求。解由于當(dāng)時，，分母的極限不為0，由商的極限運算法則，得。例1.3.2求。

注意：從例1.3.1、例1.3.2可以看出，求多項式當(dāng)時的極限時,只要用代替多項式中的x,即。對于有理分式函數(shù)

(其中，為多項式),當(dāng)分母時，依商式極限運算法則，有

：解當(dāng)時，，分母的極限是0,不能直接使用商的極限運算法則。通常的方法是設(shè)法消去分母為零的因式，然后再利用有理運算法則。例1.3.3求。解當(dāng)

時，，不能直接用商的極限運算法則，但可采用分母有理化消去分母中的零因子。

例1.3.4求。解

當(dāng)時,分式的分子、分母都趨向于無窮大，極限都不存在，故不能直接使用商的極限運算法則。當(dāng)時，

。因此，求時，可以首先將分式的分子與分母同除以分子、分母中自變量的最高次冪，然后再用極限運算法則，即例1.3.5求。解仿照例1.3.5，分子、分母同除以分子、分母中自變量的最高次冪，得例1.3.6求。解由于當(dāng)

時，括號中兩項均無限變大，極限都不存在，故不能直接使用減法運算法則，考慮消去分母為零的因式。例1.3.7求。1.3.2復(fù)合函數(shù)的極限法則定理1.3.2

設(shè)函數(shù)與滿足如下兩個條件：（1）、；（2）、當(dāng)時，，且，則

。

該定理可以形象地解釋為“極限可以放到函數(shù)號里面進(jìn)行”。解令，從而可把看作是由復(fù)合而成的。

所以例1.3.8求。解令，從而可把看作是由

，，，復(fù)合而成的。所以例1.3.9求。例1.3.10[產(chǎn)品價格預(yù)測]設(shè)一產(chǎn)品的價格滿足(單位:元)，隨著時間的推移，產(chǎn)品價格會隨之變化，請你對該產(chǎn)品的長期價格做一預(yù)測。解下面通過求產(chǎn)品價格在時的極限來分析該產(chǎn)品的長期價格

即該產(chǎn)品的長期價格為20元。1.3.3函數(shù)極限的性質(zhì)選學(xué)內(nèi)容

(1)唯一性：當(dāng)時

的極限是唯一的;

(2)局部有界性：在的某個去心領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)

有界;

(3)局部保號性：當(dāng)時，在的某個去心領(lǐng)域內(nèi)，

；

(4)保序性：又設(shè)

且在

的某個去心領(lǐng)域內(nèi)恒有，則必有。

1.3.4兩個重要準(zhǔn)則選學(xué)內(nèi)容定理1.3.3(夾逼準(zhǔn)則)若函數(shù)在點a的某去心領(lǐng)域內(nèi)滿足條件。則函數(shù)必收斂，且

(1)(2)選學(xué)內(nèi)容定理1.3.3′(數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則)設(shè)數(shù)列滿足條件則數(shù)列必收斂，且

(1)(2)解應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則因為，且。所以，例1.3.10求。

定理1.3.4(單調(diào)有界準(zhǔn)則)

單調(diào)有界數(shù)列必收斂。圖1-11所示為單調(diào)增加有上界的數(shù)列的情形，從數(shù)軸上看，對應(yīng)于單調(diào)數(shù)列的點

只能向一個方向移動(單調(diào)增加數(shù)列只向右方移動，單調(diào)減少數(shù)列只向左方移動)，所以只有兩種可能情形：或者點

沿數(shù)軸向無窮遠(yuǎn)處(，或)；或者點

無限接近于某個定點A(但不會超過上界M

或小于下界m)。1.4兩個重要極限

1.4.1第一個重要極限:

注意：如果那么得到推廣的結(jié)果：

例1.4.1求。。解例1.4.2求。解。例1.4.3求。解。例1.4.4求。解令，則且時，于是。1.4兩個重要極限

1.4.2第二個重要極限：注意：這個重要極限也可以變形和推廣：(2)若則

(1)令，則

時

代入后得到

；或若則

第二個重要極限及其變形和推廣，在

不定式極限計算及理論推導(dǎo)中也有重要應(yīng)用。例1.4.5求。解法一令，則當(dāng)時，于是。解法二。解法一令，則當(dāng)時，于是。解法二。例1.4.6求。解法一設(shè)，則當(dāng)時，于是。解法二例1.4.7求。例1.4.8設(shè)某人以本金Q

元進(jìn)行一項投資，投資的年利率為r，如果按月計算復(fù)利(即每月結(jié)算一次利息并把利息加入本金繼續(xù)投資，并按利率r累計利息)，那么x

年末資金的總額是多少?如果每時每刻都計算復(fù)利，那么x

年末資金的總額是多少?

解由于年利率為r，故月利率為，

從而有

第一個月末資金變?yōu)椋?/p>

第二個月末資金變?yōu)椋?/p>

第三個月末資金變?yōu)椋?/p>

第一年末資金變?yōu)椋?/p>

于是第x年末資金變?yōu)椋?/p>

現(xiàn)在若以天為單位計算復(fù)利，則x年末資金變?yōu)椋?/p>

；；；；。；若以年為單位計算復(fù)利，則x年末末資金變?yōu)椋?/p>

若令，即每時每刻計算復(fù)利（稱為連續(xù)復(fù)利）則x年末末資金為：

；1.5無窮小與無窮大1.5.1無窮小1.無窮小的定義定義1.5.1如果當(dāng)時，函數(shù)

的極限為0，那么就稱函數(shù)

為時的無窮小，記作例如，因為，所以函數(shù)

是當(dāng)時的無窮小。上述時無窮小的定義，很容易推廣到，

時的情形。

性質(zhì)1有限個無窮小之和仍是無窮小。

性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小之積仍是無窮小。推論1常數(shù)與無窮小之積仍是無窮小。

推論2有限個無窮小之積仍是無窮小。2.無窮小的性質(zhì)解因為，所以x是x→0時的無窮小。而

所以

是有界函數(shù)。根據(jù)無窮小的性質(zhì)2，可知

例1.5.1求。解因為，令，則，

根據(jù)第一個重要極限，可知。

例1.5.2求。解因為，而是當(dāng)時的無窮小，

是有界函數(shù)。根據(jù)無窮小的性質(zhì)2，可知。

例1.5.3求。3.函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系定理1.5.1

其中。

即當(dāng)時以A為極限的充分必要條件是能表示為A與一個時的無窮小之和。1.5.2無窮大

定義1.5.2

如果當(dāng)時，函數(shù)的絕對值無限增

大，那么稱函數(shù)為當(dāng)時的無窮大

。注意式中的“”是一個記號而不是確定的數(shù)，記號的含義僅表示“的絕對值無限增大”例如,當(dāng)時，

無限增大，所以是當(dāng)時的無窮大,

記作。上述時的無窮大的定義，很容易推廣到時的情形。

1.5.3無窮大與無窮小的關(guān)系定理1.5.2

在自變量的同一變化過程中，若則；若則。

解因為，即是當(dāng)時的無窮小，

根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系可知，它的倒數(shù)是當(dāng)

時的無窮大，即。

例1.5.4求。解因為，所以。

例1.5.5求。自變量趨向于無窮大時有理分式函數(shù)求極限的法則:

(1)若分式中分子和分母是同次的，則其極限等于分子和分母的最高次項的系數(shù)之比。

(2)若分式中分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則該分式的極限為無窮大。

(3)若分式中分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，則該分式的極限為零。1.5.4無窮小的比較我們已經(jīng)知道，自變量同一變化過程的兩個無窮小的和及乘積仍然是這個過程的無窮小。但是兩個無窮小的商卻會出現(xiàn)不同的結(jié)果。例如

都是當(dāng)時的無窮小，而

產(chǎn)生這種不同結(jié)果的原因，是因為當(dāng)時三個無窮小趨于0的速度是有差別的。定義1.5.3

設(shè)是當(dāng)自變量(可以是有限數(shù)

，可以是

或)

時的兩個無窮小，且。

(1)如果，則稱當(dāng)時

是

的高階無窮小，或稱

是的低階無窮小，記作；

(2)如果則稱當(dāng)時

與

是同階無窮??；(3)如果，則稱當(dāng)時

與

是等價無窮小，記作。例如，因為所以當(dāng)時，

是

的高階無窮小,所以；因為所以當(dāng)時，是的同階無窮??；

因為，

與

是時的等價無窮小，所以；定理1.5.3(等價無窮小的替換原理)設(shè)是時的無窮小，且則當(dāng)極限

存在時，極限也存在，且這個定理表明，在計算極限時，可將分子或分母中的因式換成其等價無窮小。例1.5.6求。解因為，所以。

解因為所以。

例1.5.7求。解因為所以。

例1.5.8用等價無窮小的代換，求。注意：

若在本例中以，代入分子，將得到下面的錯誤結(jié)果：

因為只有當(dāng)用等價無窮小代換因式時極限才保持不變，而這樣的代換，分子與不是等價無窮小。注意：在用等價無窮小代換求極限時，只能代換其中的因式，而不能代換用加減號聯(lián)結(jié)的項。1.6函數(shù)的連續(xù)性1.6.1函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)在一點處連續(xù)定義1.6.1設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在處的增量

趨于零時，相應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即則稱函數(shù)在處連續(xù)，稱

為函數(shù)

的連續(xù)點。

由定義1.6.1可知，所以因而

，即?？梢?，，所以與等價。

定義1.6.2設(shè)函數(shù)在點

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)當(dāng)時的極限存在，且等于它在

處的函數(shù)值，即，則稱函數(shù)在

處連續(xù)。

注意：

從定義1.6.2可以看出，函數(shù)在

處連續(xù)必須同時滿足以下三個條件：函數(shù)在處及其附近有定義；

(2)極限存在；

(3)極限值等于函數(shù)值，即。

解函數(shù)在處及其附近有定義，且，而，所以。因此，函數(shù)在處連續(xù)。例1.6.1研究函數(shù)在處的連續(xù)性。定義1.6.3如果函數(shù)

在

及其左邊附近有定義，且，則稱函數(shù)在處左連續(xù)。

如果函數(shù)在及其右邊附近有定義，且，則稱函數(shù)在處右連續(xù)。由定義1.6.1和定義1.6.2可得：

在處連續(xù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)。

例1.6.2討論函數(shù)在處的連續(xù)性。解由于在

處的左、右表達(dá)式不同，所以先討論函數(shù)在處的左、右連續(xù)性。

由于，所以在

處的左、右連續(xù),因此在處連續(xù)。

2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)定義1.6.4如果函數(shù)

在開區(qū)間內(nèi)每一點都是連續(xù)的，則稱函數(shù)

在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或者說是

內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。如果函數(shù)在開區(qū)間

內(nèi)連續(xù)，且在區(qū)間的兩個端點與處分別是右連續(xù)和左連續(xù)，即，則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，或者說是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。例1.6.3[出租車費用]設(shè)某城市出租車白天的收費(單位：元)與路程(單位：km)之間的關(guān)系為(1)求;(2)函數(shù)在

處連續(xù)嗎？

在

處連續(xù)嗎？解

(1)因為

所以(2)因為

所以函數(shù)在

處連續(xù)。因為

是初等函數(shù)定義域內(nèi)的點，所以函數(shù)在處連續(xù)。1.6.2函數(shù)的間斷點及其分類1.間斷點的概念定義1.6.5設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有定義，如下列條件之一發(fā)生：

(1)函數(shù)在

處無定義；

(2)函數(shù)在處有定義，但極限不存在；

(3)函數(shù)在處有定義，極限存在，但，

則稱點為

的間斷點，或者說函數(shù)在

處不連續(xù)。

2.間斷點的分類由以上各種情況,我們可以將間斷點分成兩種類型：

①左右極限都存在的間斷點稱為第一類間斷點，如圖1-17(a)至圖1-17(c)所示；

②凡不是第一類的間斷點都稱為第二類間斷點，如圖1-17(d)至圖1-17(f)所示。選學(xué)內(nèi)容

第一類間斷點又可分為可去間斷點和跳躍間斷點。①如果左、右極限存在且相等，由于

在

無定義(如圖1-17所示)或者雖有定義但是極限值與函數(shù)值不等(如圖1-17(b)所示)所造成的間斷，則稱

為的可去間斷點。之所以稱為可去間斷點，是因為這時我們可以通過補(bǔ)充定義或改變函數(shù)在

的值使得

在

變成連續(xù)；②如果左、右極限存在但不相等時，的值在

產(chǎn)生跳躍(如圖1-17(c)所示)，這時稱

為

的跳躍間斷點。

第二類間斷點又可分為無窮間斷點和振蕩間斷點。①若當(dāng)或時，

至少在

的一側(cè)無限趨大，則稱

為

的無窮間斷點(如圖1-17(d)和圖1-17(e)所示)；②當(dāng)時至少在

的一側(cè)無限次振蕩且振幅不衰減為0，則稱

為

的振蕩間斷點(如圖1-17(f)所示)。例1.6.4函數(shù)在處無定義，故是間斷點。又由于，即左右極限存在且相等，所以是第一類（可去）間斷點。例1.6.5函數(shù)在處有定義。且，但是，即極限存在但不等于函數(shù)值，所以是第一類（可去）間斷點。例1.6.6函數(shù)。由于，即左、右極限不相等，所以不存在，因此是

的第一類(跳躍)間斷點。，例1.6.7函數(shù)，在處沒有定義，所以是間斷點。在

處，因為，所以

是的第二類（無窮）間斷點。在處，因為，所以

是的第一類（可去）間斷點。例1.6.8[冰融化所需要的熱量]設(shè)1g冰從-40℃升到100℃所需要的熱量(單位：焦耳)為試問當(dāng)

時，函數(shù)是否連續(xù)？若不連續(xù)，指出其間斷點的類型。并解釋其幾何意義。解∵

則得極限不存在，所以函數(shù)

在

處不連續(xù)。由于此時函數(shù)在

點的左、右極限都存在，所以為函

數(shù)的第一類間斷點。這說明冰化成水時需要的熱量會突然增加。1.7連續(xù)函數(shù)的四則運算與初等函數(shù)的連續(xù)性1.7.1連續(xù)函數(shù)的四則運算定理1.7.1

設(shè)函數(shù)和在點處連續(xù)，那么

(1)函數(shù)；

(2)函數(shù)；(3)函數(shù)都在點

處連續(xù)。

例1.7.1因為

與

都在(-∞,+∞)上連續(xù)，所以根據(jù)定理1.7.1的(3)，

與在各自定義域內(nèi)連續(xù)。1.7.2復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理1.7.2設(shè)函數(shù)

在點處連續(xù)，函數(shù)

在點

處連續(xù),且，則復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù)。解函數(shù)可看作由及

復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，在上是連續(xù)的，在和內(nèi)是連續(xù)的，

根據(jù)定理1.7.2知,函數(shù)

在區(qū)間和內(nèi)是連續(xù)的。例1.7.2討論函數(shù)的連續(xù)性。解函數(shù)

是由與復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因為，而函數(shù)在處連續(xù)，故極限符號可以與函數(shù)符號交換，從而有

例1.7.3求極限。解。例1.7.4求。解函數(shù)

可視為由函數(shù)

復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),盡管在點處

無定義，但由于

，

而在對應(yīng)點處連續(xù)，因此由復(fù)合函數(shù)的極限運算法則，得

例1.7.5求。

1.7.3初等函數(shù)的連續(xù)性我們已經(jīng)知道基本初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。

在上述三個定理的基礎(chǔ)上，又可得到下列的重要結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。例如,初等函數(shù)，，等都在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。利用初等函數(shù)的連續(xù)性的結(jié)論可得:

如果是初等函數(shù)，且點

在

的定義區(qū)間內(nèi)，那么

。因此計算當(dāng)時的極限，只要計算對應(yīng)的函數(shù)值就可以了。

例如，

是初等函數(shù)

的定義區(qū)間內(nèi)的點，所以

。又如，的定義區(qū)間是，則

。再如的定義區(qū)間是，所以

。例1.7.6設(shè)函數(shù)選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)a,使得成為在內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。解當(dāng)

時，

是初等函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性，連續(xù)；

當(dāng)時，

也是初等函數(shù)，所以也是連續(xù)的；

在處，又，

。故當(dāng)選擇，在

處連續(xù)。

綜上所述，在內(nèi)成為連續(xù)函數(shù)。1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1.7.1(最大值和最小值定理)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有最值。注意：定理的條件是充分的，也就是說，在滿足定理條件下，函數(shù)一定在閉區(qū)間上能取得最大值和最小值。

在不滿足定理條件下，有的函數(shù)也可能取得最大值和最小值，如圖1-19所示函數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)不連續(xù)，但在開區(qū)間上也存在最大值和最小值。定理1.7.2(零點定理)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，

則在開區(qū)間內(nèi)至少存在函數(shù)

的一個零點，即至少有一點使

。從幾何圖形上看，定理1.7.2表示：如果連續(xù)曲線弧的兩個端點位于

軸的不同側(cè)，那么這段曲線弧與

軸至少有一個交點

，如圖1-20所示。

零點定理表明，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程在開區(qū)間內(nèi)至少存在一個根，所以它稱為根的存在定理。例1.7.7證明方程

在內(nèi)至少有一個實根。

證方程等價于

。如上所說，要證明有實根，就是要證明函數(shù)有零點。

令，則在上連續(xù),且，。

由根的存在定理,在內(nèi)至少有一點，使

，即方程在內(nèi)至少有一個實根。

定理1.7.3(介值定理)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在此區(qū)間的端點處取不同的函數(shù)值，那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在閉區(qū)間上至少有一點

，使。定理1.7.3的幾何意義是：連續(xù)曲線

與水平直線至少相交一點，圖1-21所示中點都是曲線與直線的交點。推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定能取得介于最大值

和最小值

之間的任意值。設(shè)，

且，在閉區(qū)間上利用介值定理，就可以得到上述推論。1.8利用極限建模例1.8.1計算首先建立一個

文件，其方法是點擊“File”，然后點擊“new”，最后點擊“M-Fille”，即可建立

文件，如圖1-22所示進(jìn)入

文件窗口，在

文件窗口中輸入如下程序，如圖1-23所示：%給n賦一個值%給s賦予初值0%i從1循環(huán)到n%把i從1到n代入計算%循環(huán)結(jié)束