第二節(jié) 一階微分方程

第二節(jié)一階微分方程第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解法為微分方程的解.這種解法叫分離變量法1.分離變量:2.兩邊積分一、可分離變量的常微分方程第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例1求微分方程解分離變量兩端積分第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一注：上述形式的簡化過程，下面還常常用到，為此約定簡化寫法如下：例如：如果有第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解這是可分離變量方程，分離變量得：隱式通解例2兩端積分第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解這是可分離變量方程，分離變量得：例3兩端積分第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解練習第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解這是可分離變量方程，分離變量得：2兩端積分第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一3解分離變量兩端積分第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一二、齊次方程稱此方程為齊次微分方程.解法形如作變換分離變量，兩邊積分得求出上式通解后，第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例1求解微分方程代回原變量得方程的解為解此方程為齊次微分方程代入方程，分離變量兩邊積分第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例2解兩邊積分，得為所求通解.第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解練習第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一形如例如線性的;非線性的.上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.三、一階線性微分方程第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例1求微分方程的通解解由原方程，知代入通解公式，第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一2.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:解法第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.作變換,設(shè)是的解第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一常數(shù)變易法的求解步驟：要求大家熟練掌握第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例2解一:常數(shù)變易法,方程化為其對應(yīng)的齊次方程為兩邊積分，得第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解二公式法：第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解(用常數(shù)變易法)例3第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一一階線性方程的解法:1.常數(shù)變易法2.公式法所以滿足條件的特解為：第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例4解所求方程的通解為第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解分析例5第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解練習第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解第28頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解第29頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一小結(jié)1.可分離變量的微分方