四年級(jí)奧數(shù)講義293學(xué)子教案庫第1講競賽班教師版

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速算與巧算

教學(xué)目標(biāo)

1.把握常用的運(yùn)算律并能熟練運(yùn)用；2.把握周期性數(shù)字的特征；

3.把握從簡單狀況找規(guī)律的思想方法。

經(jīng)典精講

巧用運(yùn)算律

在計(jì)算的過程中，運(yùn)算律的應(yīng)用是最常用的技巧。經(jīng)常用到的運(yùn)算律有：

⑴加法交換律：a?b?b?a

⑵加法結(jié)合律：(a?b)?c?a?(b?c)

⑶乘法交換律：a?b?b?a

⑷乘法結(jié)合律：(a?b)?c?a?(b?c)

⑸乘法分派律：a?(b?c)?a?b?a?c（反過來就是提取公因數(shù)）⑹減法的性質(zhì)：a?b?c?a?(b?c)⑺除法的性質(zhì)：a?(b?c)?a?b?c(a?b)?c?a?c?b?c(a?b)?c?a?c?b?c

上面的這些運(yùn)算律，既可以從左到右順著用，又可以從右到左逆著用。要注意添括號(hào)或者

去括號(hào)對運(yùn)算符號(hào)的影響：

⑴在“?〞號(hào)后面添括號(hào)或者去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)的“?〞、“?〞號(hào)都不變；⑵在“?〞號(hào)后面添括號(hào)或者去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)的“?〞、“?〞號(hào)都改變，其中“?〞號(hào)變成“?〞號(hào)，“?〞號(hào)變成“?〞號(hào)；

⑶在“?〞號(hào)后面添括號(hào)或者去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)的“?〞、“?〞號(hào)都不變，但此時(shí)括號(hào)內(nèi)不能有加減運(yùn)算，只能有乘除運(yùn)算；

⑷在“?〞號(hào)后面添括號(hào)或者去括號(hào)，括號(hào)內(nèi)的“?〞、“?〞號(hào)都改變，其中“?〞號(hào)變成“?〞號(hào)，“?〞號(hào)變成“?〞號(hào)，但此時(shí)括號(hào)內(nèi)不能有加減運(yùn)算，只能有乘除運(yùn)算。

此外，下面的三個(gè)結(jié)論也是很有用的：和不變性質(zhì)：假使一個(gè)加數(shù)增加一個(gè)數(shù)，另一個(gè)加數(shù)減少同一個(gè)數(shù)，它們的和不變；積不變性質(zhì)：假使一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大幾倍，另一個(gè)因數(shù)縮小一致的倍數(shù)，它們的積不變；商不變性質(zhì)：假使除數(shù)和被除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小一致的倍數(shù)，它們的商不變。

（2023年“走進(jìn)美好的數(shù)學(xué)花園〞初賽）計(jì)算：113?5?37?15

根據(jù)“一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍，另一個(gè)因數(shù)縮小一致的倍數(shù)，積不變〞的道理，進(jìn)行適

當(dāng)變換，再提取公因數(shù)，進(jìn)而湊整求和。原式?113?5?37?3?5

?113?5?111?5?(113?111)?5

?10

（2023年春武漢明心奧數(shù)挑戰(zhàn)賽）計(jì)算：12345679?81

原式?12345679?9?9?12345679?(10?1)?9?(123456790?12345679)?9

?111111111?9?999999999

[穩(wěn)定]計(jì)算：12345678987654321?9

[分析]原式?12345678987654321?(10?1)

?123456789876543210?12345678987654321

?111111110888888889

（2023年“走進(jìn)美好的數(shù)學(xué)花園〞決賽）計(jì)算：

223?7.5?22.3?12.5?230?4?0.7?2.5?1

原式?223?3?2.5?22.3?5?2.5?23?2.5?0.7?2.5?0.4?2.5?2.5?(223?3?22.3?5?23?0.7?0.4)?2.5?(669?111.5?23?0.7?0.4)

[穩(wěn)定]計(jì)算：199.9?19.98?199.8?19.97

[分析]（法1）原式?199.9?19.98?19.98?199.7

?19.98?(199.9?199.7)?19.98?0.2?3.996?2.5?803.2?803.2?10?4

?8032?4?2023

（法2）也可以用湊整法來解決。

原式?(200?0.1)?19.98?(200?0.2)?19.97

?200?19.98?0.1?19.98?200?19.97?0.2?19.97?2?1.996?3.996

計(jì)算：(747?127?492)?(746?128?127)

原式?(746?127?127?492)?(746?127?746?127)

?(746?127?619)?(746?127?619)?1

（2023年香港圣公會(huì)數(shù)學(xué)競賽）計(jì)算：2023?20232023?2023?20232023

原式?2023?20232023?2023?(20232023?2)?2023?20232023?2023?20232023?2023?2?2?20232023?2023?2?2?(20232023?2023)?2?20230000?40140000

[拓展]計(jì)算：19981999?19991998?19981998?19991999

[分析]原式?(19981998?1)?19991998?19981998?(19991998?1)

?19981998?19991998?19991998?19981998?19991998?19981998?10000

（2023年“希望杯〞第一試）2023?2023?2023?2023?2023?2023?2023?2023

原式?2023?(2023?2023)?2023?(2023?2023)?2023?1?2023?1

?1

計(jì)算:123?234?345?456?567?678?789

（法1）原式

?(1?2?3?4?5?6?7)?100?(2?3?4?5?6?7?8)?10?(3?4?5?6?7?8?9)

?2800?350?42?3192

（法2）原式

?123?7?(111?222?L?666)?123?7?111?(1?2?3?4?5?6)?861?2331?3192

（法3）原式?456?7?3192

周期性數(shù)字周期性數(shù)字就是由一致的數(shù)重復(fù)寫幾遍而來，這些數(shù)字可以利用規(guī)律來巧妙分解。

如：123123123?123000000?123000?123?123?1000000?123?1000?123?123?1001001我們可以發(fā)現(xiàn)，上面的數(shù)字關(guān)鍵在于看有幾個(gè)周期，這樣原來的數(shù)就可以分解成一個(gè)周期數(shù)乘以1001001這種類型的數(shù)，兩個(gè)1之間的0的個(gè)數(shù)就是每個(gè)周期內(nèi)的數(shù)字個(gè)數(shù)減1。

也可以這樣理解，其實(shí)就是在每個(gè)周期數(shù)最終一位下填1，然后看1的中間隔幾個(gè)數(shù)就填幾個(gè)0。如456745674567的兩個(gè)7之間有3個(gè)數(shù)字，所以，456745674567?4567?100010001。

（2023年“走進(jìn)美好的數(shù)學(xué)花園〞初賽）計(jì)算：2023?20232023?2023?20232023

原式?2023?2023?10001?2023?2023?10001?0

[穩(wěn)定]（2023年春武漢明心奧數(shù)挑戰(zhàn)賽）計(jì)算：202320232023?22302230223

[分析]原式?(2023?100010001)?(223?100010001)?2023?223?9

（2023年“我愛數(shù)學(xué)夏令營〞）計(jì)算：333?332332333?332?333333332

原式?333?(332332332?1)?332?(333333333?1)

?333?(332?1001001?1)?332?(333?1001001?1)

?333?332?665

[前鋪]計(jì)算：2023?20232023?2023?20232023

[分析]觀測發(fā)現(xiàn)乘號(hào)后面的數(shù)字與周期性數(shù)字都相差1，所以可以先轉(zhuǎn)化成周期性數(shù)字。

原式?2023?(20232023?1)?2023?(20232023?1)

?2023?(2023?10001?1)?2023?(2023?10001?1)?2023?2023?10001?2023?2023?2023?10001?2023?4011

[穩(wěn)定]（2023年“陳省身杯〞數(shù)學(xué)邀請賽）計(jì)算：2023?20232023?2023?20232023

[分析]此題可以用以前學(xué)到的方法來計(jì)算，也可以轉(zhuǎn)化成周期性數(shù)字來計(jì)算。

（法1）原式?2023?(20232023?1)?2023?(20232023?1)

?2023?20232023?2023?2023?20232023?2023?(2023?2023)?20232023?2023?2023?2?20232023?2?2023?40060000

（法2）原式?(2023?2)?20232023?202