幾種定積分的數(shù)值計算方法

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摘要:本文歸納了定積分近似計算中的幾種常用方法,并著重分析了各種數(shù)值方法的計算思想,結合實例,對其優(yōu)劣性作了簡要說明.

關鍵詞:數(shù)值方法;矩形法;梯形法;拋物線法;類矩形;類梯形

SeveralNumericalMethodsforSolvingDefiniteIntegrals

Abstract:Severalcommonmethodsforsolvingdefiniteintegralsaresummarizedinthispaper.Meantime,theideaforeachmethodisemphaticallyanalyzed.Afterwards,anumericalexampleisillustratedtoshowthattheadvantagesanddisadvantagesofthesemethods.

Keywords:Numericalmethods,Rectanglemethod,Trapezoidalmethod,Parabolicmethod,Classrectangle,Classtrapezoid

1.引言

在科學研究和實際生產(chǎn)中,經(jīng)常遇到求積分的計算問題,由積分學知識可知,若函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)且原函數(shù)為F(x),則可用牛頓-萊布尼茨公式

?abf(x)?F(b)?F(a)

求得積分.這個公式不管在理論上還是在解決實際問題中都起到了很大的作用.在科學研究和實際生產(chǎn)中,經(jīng)常遇到求積分的計算問題,由積分學知識可知,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)且原函數(shù)為F(x),則可用牛頓-萊布尼茨公式?abf(x)?F(b)?F(a)

求得積分.這個公式不管在理論上還是在解決實際問題中都起到了很大的作用.另外,對于求導數(shù)也有一系列的求導公式和求導法則.但是,在實際問題中遇到求積分的計算,經(jīng)常會有這樣的狀況:

(1)函數(shù)f(x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)給出.例如積分?e01?x2dx,?1sinxx0dx

等,從而無法用牛頓-萊布尼茨公式計算出積分。

(2)函數(shù)f(x)使用表格形式或圖形給出,因而無法直接用積分公式或?qū)?shù)公式。(3)函數(shù)f(x)的原函數(shù)或?qū)?shù)值雖然能夠求出,但形式過于繁雜,不便使用.由此可見,利用原函數(shù)求積分或利用求導法則求導數(shù)有它的局限性,所以就有了求解數(shù)值積分的好多方法,目前有牛頓—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,拋物線法,隨機投點法,平均值法,高斯型求積法,龍貝格積分法,李查遜外推算法等等,本文對其中部分方法作一個比較．

2.幾何意義上的數(shù)值算法

s在幾何上表示以[a,b]為底,以曲線y?f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積A,因此,計

算s的近似值也就是A的近似值,如圖1所示.沿著積分區(qū)間[a,b],可以把大的曲邊梯形分割成大量小的曲邊梯形面積之和.常采用均勻分割,假設[a,b]上等分n的小區(qū)間

xi-1?xi?h,x0?a,xn?b,其中h?b?an表示小區(qū)間的長度.

2.1矩形法

1

矩形法就是用小矩形面積近似代替各個小曲邊梯形面積,從面積得到S的近似值.若取小區(qū)間左端點的函數(shù)值為小矩形的高,如圖1中所示,則A?圖1分割曲邊矩形近似積分

b?ann?i?1f(xi).

2.2梯形法

梯形法則用小直邊梯形的面積近似代替小曲邊梯形面積,見圖2,從而得到S的近似

b?a?f(a)?f(b)值,即A???n?2n?1?i?1?f(xi)?.

?圖2分割曲邊梯形近似積分

2.3拋物線法

拋物線法以拋物線為曲邊梯形的曲邊,曲邊梯形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,如圖3所示.

圖3拋物線積分

2

x0,x1,x2對應的曲線上的點P0,P1,P2可以唯一地確定一條拋物線y?ax?bx?c,這

2條拋物線將作將代替從x0至x2的曲線段,此時積分可以轉(zhuǎn)化為對拋物線積分,而拋物線的積分可以利用牛頓—萊布尼玆公式.第1、2個小區(qū)邊梯形的面積:A1??（ax2?bx?c)dx?[f(x0)?4f(x1)?f(x2)]

x0x2h3上面利用了條件P0,P1,P2是拋物線上的點以及等式x2?x0?2x1.同理可證：A2?h3[f(x2)?4f(x3)?f(x4)]

??An/2?h3[f(xn?2)?4f(xn?1)?f(xn)]

n/2n/2?1所以,S?A1?A2???An/2?b?a3n{[f(a)?f(b)]?4?f(x2i?1)?2i?1?i?1f(x2i)}

3.概率意義上的數(shù)值算法

概率算法是定積分問題數(shù)值求解的一類常用方法,其設計思想簡單,易于實現(xiàn).盡管算法要花費較多計算時間,但是往往能得到問題的近似解,并且近似程度能隨計算時間的增加而不斷提高.概率算法可用于計算定積分的近似值.

3.1平均值法

考慮定積分I??baf(x)dx的近似計算,其中f(x)在?a,b?內(nèi)可積,用平均值法計算該積

分,首先隨機產(chǎn)生n個獨立的隨機變量,且聽從在?a,b?上均勻分布,即?i(i?1,2,?n);其次,計算I的近似值I,I?b?ann?i?1f(?i).

由中心極限定理知,若??i?(i?1,2,?n)相互獨立、同分布,且數(shù)學期望及標準差??0存在,則當n充分大時,隨機變量Y?I?I?n漸近聽從正態(tài)分布N(0,1),即對任意的t??0,

P{Y?t?}?P{I-I?t??n}

3

這說明,用平均值法計算定積分的收斂速度較慢,在概率意義下的誤差階僅為

O(1n).

3.2“類矩形〞Monte-Carlo方法

由于平均值法計算定積分的收斂速度較慢,且在概率意義下的誤差階僅為O(1n),

就有對平均值法的改進，“類矩形〞Monte-Carlo方法,改進過程為：先將積分區(qū)間?a,b?n等分,隨機產(chǎn)生n個相互獨立且聽從?0,1?上均勻分布的隨機變量序列{?i},(i?1,2,?n)；然后由這n個隨機點類似于矩形公式構造計算公式,即作變換?i?a?將{?i}映射到子區(qū)間{a?i?1n(b?a),a?innb?an(?i?i?1),i?1,2,?n

(b?a)}??a,b?,i?1,2,?,n

~~b?a最終,計算I的近似值I,I?n?i?1f(?i)．

下面用兩個命題證明“類矩陣〞方法的可行性.命題1設f(x)?C1?a,b?,記M?maxf?(x),?x0??a,b?,有

x??a,b?

?baf(x)dx?f(x0)(b?a)?(b?a)22M

證明:由Lagrange中值定理得f(x)?f(x0)?f?(?)(x?x0)上式兩邊在?a,b?積分,得?f(x)dx?f(x0)(b?a)?ab(?介于x與x0之間)

?baf?(?)(x?x0)dx