圓錐曲線的基本概念與性質(zhì)

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本章主要從圓錐曲線的概念和性質(zhì)入手，分為焦三角形的周長(zhǎng)，面積中位線等結(jié)論，離心率的求值和范圍的求解，

一橢圓與雙曲線

知識(shí)點(diǎn)一：軸長(zhǎng)問(wèn)題

1、將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b（a≠b）同時(shí)增加m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為e2的雙曲線C2，e1與e2的大小關(guān)系為（）

2、將離心率為e1的橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)a和短軸長(zhǎng)b（a≠b）同時(shí)增加m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為e2的雙曲線C2，e1與e2的大小關(guān)系為（）牛刀小試

x2y2??1的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心將橢圓C1:

169率為e2的橢圓C2，則（）A．e1＞e2B．e1＜e2C．e1?e2D．e1?e2

知識(shí)點(diǎn)二：焦三角

x2y21.橢圓2?2?1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)

ab?F1PF2??，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.

S?F1PF2?btan,S?F1PF22x2y22.雙曲線2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)

ab?F1PF2??，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S?F1PF2?b2cotS?F1PF22?2b21?PF1PF2sin?F1PF2?cyP.|PF1||PF2|?21?cos??22b21?PF1PF2sin?F1PF2?cyP。|PF1||PF2|?21?cos?.

上述三個(gè)面積公式可以相互轉(zhuǎn)換，求解未知值。

例1.已知點(diǎn)P為雙曲線

的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線的左、

右焦點(diǎn)，若

線的半焦距），則雙曲線的離心率為（）A．

+1B．

+1C．

+1D．

+1

，且△PF1F2的面積為2ac（c為雙曲

例2．已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上除長(zhǎng)

軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，△F1PF2的重心為G，內(nèi)心I，且有圓C的離心率e=（）A．

B．

C．

D．

（其中λ為實(shí)數(shù)），橢

牛刀小試：

x2y2??1上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若1.已知P是橢圓

259PF1?PF2|PF1|?|PF2|?1，則△F1PF2的面積為（）233

A.33B.23C.3D.

x2y2??1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上.若P、F1、F2是一2.已知橢圓

169個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為（）

A.

9799997B.C.D.或

77544參考答案：1.A2.D

知識(shí)點(diǎn)三：斜率問(wèn)題

b21、kABkOM??2其中M為AB中點(diǎn)ab22、kMA1KMA2??2其中A1A2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱a2b3、kOPkl??2其中P為切點(diǎn)a???b24、kOAkOB??2其中OM??OA??OB，M在曲線上，?2??2?1a

例1．（2023?興國(guó)縣一模）橢圓ax+by=1與直線y=1﹣x交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為

，則的值為（）

2

2

A．B．C．D．

=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上

例2．（2023?XX校級(jí)二模）橢圓C：

且直線PA2的斜率的取值范圍是[﹣2，﹣1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．

牛刀小試：

1．（2023?興國(guó)縣一模）橢圓ax+by=1與直線y=1﹣2x交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為

，則的值為（）

2

2

2．（2023?XX校級(jí)二模）橢圓C：=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且

直線PA2的斜率的取值范圍是[﹣3，﹣1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．?,?

44?13???

知識(shí)點(diǎn)四：共線問(wèn)題

已知點(diǎn)F是離心率為e的圓錐曲線C的焦點(diǎn)，過(guò)F的弦AB與C的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為?，??????????1?(??(0,))且AF??FB(??0),則有ecos????12????????x2y2AF?4FB,例1.雙曲線2?2?1，AB過(guò)右焦點(diǎn)F交雙曲線于A，B，若直線AB的斜率為2，ab則雙曲線離心率e=。

x2y23例2.已知橢圓C:2?2?1(a?b?0)，離心率為e?，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為k(k?0)的直

2ab????????線與C相交于A、B兩點(diǎn)，AF?3FB,則k=。

牛刀小試

????????x2y2雙曲線2?2?1，AB過(guò)右焦點(diǎn)F交雙曲線于A，B，若直線AB的斜率為3，AF?4FB,

ab則雙曲線離心率e=。

知識(shí)點(diǎn)五：張角問(wèn)題

x2y2橢圓2?2?1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)

ab?F1PF2??當(dāng)p點(diǎn)位于橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，角γ取得最大值。

例1.已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF1?PF2,則橢圓的離心率的取值范圍是（）

?5??2???5?2?,1,10,0,???B．?2??C．??5?D．??2?5???????A．?例2.已知橢圓

的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P使得∠

F1PF2是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．A．

B．B．

C．C．

D．D．

牛刀小試

1、已知橢圓

的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P使得

?F1PF2?60?，則橢圓離心率的取值范圍是（）

x22、已知橢圓C:2?y2?1(a?1)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，張角?F1PF2?90?，則橢圓離心

a率的取值范圍是（）

作業(yè)

1.雙曲線C：

﹣

=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2的斜率的取值

范圍是（，1），那么直線PA1斜率的取值范圍是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）

x2y2??1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍2.橢圓C：43是[-2，-1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是______3.設(shè)雙曲線C：（b＞a＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．若在雙曲線的右支上

存在一點(diǎn)P，使得|PF1|=3|PF2|，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為（）A．（1，2]B．

C．

D．（1，2）

4．（2023?成都模擬）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，

F2，若E上存在點(diǎn)P使△F1F2P為等腰三角形，且其頂角為，則的值是（）

A．B．C．D．

5.將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b（a≠b）同時(shí)增加m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則（）A．對(duì)任意的a，b，e1＞e2

B．當(dāng)a＞b時(shí)，e1＞e2；當(dāng)a＜b時(shí)，e1＜e2C．對(duì)任意的a，b，e1＜e2

D．當(dāng)a＞b時(shí)，e1＜e2；當(dāng)a＜b時(shí)，e1＞e2

x2y2

6．(2023·滕州第五中學(xué)上學(xué)期第三次階段性考試)已知橢圓2＋2＝1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于

abππ

原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF＝α，且α∈[，]，則該橢圓

64離心率e的取值范圍為()A．[

2

，3－1]2

23

，]22

B．[

2

，1)236，]33

C．[D．[

x2y22227.已知橢圓C1:2?2?1(a?b?0)與圓C2:x?y?b，若在橢圓C1上存在點(diǎn)P，

ab過(guò)P作圓的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,．B使得?BPA?（）

?3，則橢圓C1的離心率的取值范圍是

223?3?1[,1)[,][,1)B．C．D．A?,1??22222???

x2y2??1上一點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則cos?F1PF2的最小值8.設(shè)P是橢圓94是（）

111B.C.D.?1?A.929

9.若橢圓上存在一點(diǎn)P，使?F1PF2為鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是_________

x2y210.已知橢圓E:2?2?1(a?b?0)的右焦點(diǎn)為F．短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線

abl:3x?4y?0交橢圓E于A,B兩點(diǎn)．若AF?BF?4，點(diǎn)M到直線的距離不小于

則橢圓E的離心率的取值范圍是（）A．(0,4，53333]B．(0,]C．[,1)D．[,1)

4422?????????22211.已知F1(?c,0),F2(c,0)為橢圓x2?y2?1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上且滿足PF1?PF2?c，則

ab此橢圓離心率