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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-32.拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則()A. B. C.2 D.4.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且滿足,若在中,,則()A. B. C. D.5.向量,,且,則()A. B. C. D.6.若集合,則()A. B.C. D.7.如圖,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.8.如圖,在中,點(diǎn)是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線,于不同的兩點(diǎn),若,,則()A.1 B. C.2 D.39.已知復(fù)數(shù),則的虛部是()A. B. C. D.110.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.11.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:X01Pabc其中a,b,.若X的方差對(duì)所有都成立,則()A. B. C. D.12.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P,以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切,切點(diǎn)為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.等差數(shù)列(公差不為0),其中,,成等比數(shù)列,則這個(gè)等比數(shù)列的公比為_____.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足,則數(shù)列的通項(xiàng)_______.15.已知一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為,側(cè)面積為,則該棱錐的體積為__________.16.在如圖所示的三角形數(shù)陣中,用表示第行第個(gè)數(shù),已知,且當(dāng)時(shí),每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和,即,若,則正整數(shù)的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,上頂點(diǎn)為,離心率為,直線交軸于點(diǎn),交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交軸于點(diǎn),.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求證:為定值.18.(12分)已知直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn),與圓相交于兩點(diǎn).(I)求與的關(guān)系式;(II)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.若當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,求橢圓的離心率.19.(12分)如圖,在三棱柱中,,,,為的中點(diǎn),且.(1)求證:平面;(2)求銳二面角的余弦值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線(為參數(shù))通過(guò)伸縮變換,得到曲線,設(shè)直線(為參數(shù))與曲線相交于不同兩點(diǎn),.(1)若,求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn),若,求直線的斜率.21.(12分)如圖,在三棱柱中,平面ABC.(1)證明:平面平面(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題.2、B【解析】
通過(guò)拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過(guò)作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當(dāng)是拋物線的切線時(shí),有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設(shè)在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
把已知等式變形,然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解:,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式,設(shè),求導(dǎo),則,在上是增函數(shù),再根據(jù)在中,,得到,,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,得到,再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè),所以,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即,所以,在上是增函數(shù),在中,因?yàn)?,所以,,因?yàn)?,且,所以,即,所以,即故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.5、D【解析】
根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式,即可得出答案.【詳解】故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.6、A【解析】
先確定集合中的元素,然后由交集定義求解.【詳解】,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求集合的交集運(yùn)算,掌握交集定義是解題關(guān)鍵.7、D【解析】
先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
連接AO,因?yàn)镺為BC中點(diǎn),可由平行四邊形法則得,再將其用,表示.由M、O、N三點(diǎn)共線可知,其表達(dá)式中的系數(shù)和,即可求出的值.【詳解】連接AO,由O為BC中點(diǎn)可得,,、、三點(diǎn)共線,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算,由三點(diǎn)共線求參數(shù)的問(wèn)題,熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),分子分母同時(shí)乘以,進(jìn)而求得復(fù)數(shù),再求出,由此得到虛部.【詳解】,,所以的虛部為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的虛部,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
先通過(guò)降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)椋詅(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.11、D【解析】
根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值,又對(duì)所有成立,所以,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了隨機(jī)變量的期望?方差的求法,結(jié)合了概率?二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí),需要學(xué)生具備一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.12、A【解析】
在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問(wèn)題,處理雙曲線離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系,本題是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】
根據(jù)等差數(shù)列關(guān)系,用首項(xiàng)和公差表示出,解出首項(xiàng)和公差的關(guān)系,即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意得:,則整理得,,所以故答案為:4【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,涉及等比中項(xiàng),考查基本計(jì)算能力.14、【解析】
先求得時(shí);再由可得時(shí),兩式作差可得,進(jìn)而求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得;由,可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.15、【解析】
如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點(diǎn)為的中點(diǎn),則,設(shè),根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值,再利用勾股定理求得正四棱錐的高,代入體積公式,即可得到答案.【詳解】如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點(diǎn)為的中點(diǎn),則,設(shè),,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運(yùn)算求解能力.16、2022【解析】
根據(jù)條件先求出數(shù)列的通項(xiàng),利用累加法進(jìn)行求解即可.【詳解】,,,下面求數(shù)列的通項(xiàng),由題意知,,,,,,數(shù)列是遞增數(shù)列,且,的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用,結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ),證明見解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,易求直線的方程為:,令得,,同理可得,所以,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入上式,化簡(jiǎn)即可得到.【詳解】(Ⅰ)解:由題意可知:,解得,橢圓的方程為:;(Ⅱ)證:設(shè)點(diǎn),,點(diǎn),,聯(lián)立方程,消去得:,,①,點(diǎn),,,直線的方程為:,令得,,,,同理可得,,,把①式代入上式得:,為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、定值問(wèn)題的求解;關(guān)鍵是能夠通過(guò)直線與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)三角形面積得到定值;考查計(jì)算能力與推理能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ)(II)【解析】
(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)判別式等于0,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,可得的面積是的面積的兩倍,再由當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,可得,進(jìn)而可得原點(diǎn)到直線的距離,再由點(diǎn)到直線的距離公式,以及(I)的結(jié)果,即可求解.【詳解】(I)由,得,則化簡(jiǎn)整理,得;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,故的面積是的面積的兩倍.所以當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,此時(shí),從而原點(diǎn)到直線的距離,又,故.再由(I),得,則.又,故,即,從而,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等求解,屬于中檔試題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)證明后可得平面,從而得,結(jié)合已知得線面垂直;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸,為軸,為建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出二面角的面的法向量,由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)?,為中點(diǎn),所以,又,,所以平面,又平面,所以,又,,所以平面.(2)由已知及(1)可知,,兩兩垂直,所以以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸,為軸,為建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,.設(shè)平面的法向量,則,即,令,則;設(shè)平面的法向量,則,即,令,則,所以.故銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面垂直,解題時(shí)注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.考查求二面角,求空間角一般是建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法易得結(jié)論.20、(1);(2).【解析】
(1)由l參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點(diǎn)參數(shù)和,再利用M點(diǎn)的參數(shù)為A、B兩點(diǎn)參數(shù)和的一半即可求M的坐標(biāo);(2)利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到,再利用計(jì)算即可,但要注意判別式還要大于0.【詳解】(1)由已知,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其普通方程為,當(dāng)時(shí),將(為參數(shù))代入得,設(shè)直線l上A、B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,則,所以的坐標(biāo)為;(2)將代入得,則,因?yàn)榧?,所以,故,由得,所?【點(diǎn)睛】本題考查了伸縮變換、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識(shí),考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.21、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)證明平面即平面平面得證;(2)分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫鍭BC,所以因?yàn)?所以.即又.所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面(2)解:由題可得兩兩垂直,所以分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則,所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由.得令,
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