二次函數(shù)教案

二次函數(shù)知識點一、 二次函數(shù)概念：1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如二/+bx+c〔a,,c是常數(shù)頊豐0〕的函數(shù)，叫做二次函數(shù).【注意】和一元二次方程類似，二次項系數(shù)aw0,而b,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).2.二次函數(shù)y二ax+bx+c的構(gòu)造特征：2⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.(2)a,b,c是常數(shù),a是二次項系數(shù),b是一次項系數(shù),c是常數(shù)項.例」-…是關(guān)于X的二次函數(shù)，那么m=()二、 二次函數(shù)的根本形式a<0向下〔0,0〕y軸Q0時,y隨尤的增大而減??；%<0時,y隨*的增大而增大；*=0時，y有最大值0?由此可知：a的絕對值越大，拋物線的開口越小2.丿=ax2+c的性質(zhì)：上加下減a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性 質(zhì)a>0向上(0,y軸x>0時,y隨x的增大而增大；X<0時,y隨x的增大而減?。籜=0時,y有最小值ca<0向下（0,C）y軸X>0時,y隨x的增大而減??；x<0時,y隨x的增大而增大；x=0時,y有最大值c.3.y=a（xh丿2的性質(zhì)：左加右減a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a>0向上(h,0)X二h>時，y隨的增大而增大；X<h時,y隨x的增大而減??；X=h時,y有最小值°?a<0向下(h,0)X二hx>h時,y隨X的增大而減小；X<h時,y隨x的增大而增大；X=h時,y有最大值0.4-y=a(x-h)2+k的性質(zhì)：〃的開口方頂點坐對稱性質(zhì)

符號向標(biāo)軸a>0向上(hk)JX二h%>時,？隨％的增大而增大；h -X<h時,y隨X的增大而減?。粁二h時,y有最小值k.a<0向下(hk)JX二hx>h時,y隨x的增大而減?。?lt;時,y隨的增大而增大；X h 丿 XX=h時,y有最大值k-專察二次函數(shù)的定乂、性質(zhì)，有關(guān)試題'吊出如今選擇題屮，例：以X為自變量的二次函數(shù)y=（m-2）x2+m2-m-2的圖像經(jīng)過原點，那么m的值是三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式尸。（％-h）2+心確定其頂點坐標(biāo)仏上）；⑵保持拋物線產(chǎn)0%2的形狀不變，將其頂點平移到（h,，處,詳細(xì)平移方法如下：

y=aXy=ax-J;向上刈［或向下VO)】平楸個單位y=aj2+k向右hy=aXy=ax-J;向上刈［或向下VO)】平楸個單位y=aj2+k向右h>0)［或左VO)］平移kl個單位向右h>0)［或左V0)］平移陽個單向上>0)f或下V0)】平移用個單位VO)］平移U個單位Ay=ax-h)2+k向上>0)［或下V0)】平楸個單位2.平移規(guī)律方法二:—+y_。工2bx^y-ax2+bx+c沿/軸平移:c向上〔下)平移m方法二:—+y_。工2bx^y-ax2+bx+c沿/軸平移:c向上〔下)平移m個單位,變成bxc+m〔或y~ax2+bx+c2+bx+cbxc+m〔或y~ax2+bx+c2+bx+c沿X軸平移：向左〔右〕平移m個單位，y=ax2+bx變成y二a(x+m)2+b(x+m)+c［或y二a(x~m)?+b(x~m)+c)例:將一拋物線向下向右各平移2個單位得到拋物線的解析式為一1,那么原拋物線的解析式是()A.口2〃-2B?)?,?2)：I2C.\I2四、二次函數(shù)y=o(x-h?+k與y(x-人?+k與D.V.2; 2=ax2+bx+c的比較式,后者通過配方可以得到前者，即y=ax2+bx+c是兩種不冋的表達形+4%一序，其中4a7b4 4ac~b2h— ,k.2a4a

五、二次函數(shù)y —ax+bx+C圖象的畫法2五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y-ax+bx+c化為頂點式2y-a成一h〕2+如確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè),左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點〔0,疽、以及〔0,c）關(guān)于對稱軸對稱的點〔2h,c〕、與x軸的交點， ，八、、〔x,0）,〔x,0）〔假設(shè)與x軸沒有交點,那么取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點〕?2畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.例:二次函數(shù)I 『o'［的圖像如圖，那么以下說法：①c=0;②該拋物線的對稱軸是直線x=-1;③當(dāng)x=l時,y=2a④ \hm-.> /1〕?解；獨物線與F解；獨物線與F軸交于原點.?，故①正醮E該抽㈱輔的對襁由是I二14廠-1,直箕A-L故②正確彳留產(chǎn)1時,j留產(chǎn)1時,jFm■升口丁對稱抽杲直線4-L△-或?二-L麗面〃%、c=Ob-」j匚4a,故&紀(jì)層口廠#二對廢的陰數(shù)匿內(nèi)尸■口加時L，時應(yīng)的函數(shù)值為尸科己，又,1時函數(shù)取得最小葩,2口，:;口公-虹廣口>0〔出H-1）,故④正瑜應(yīng)選rC..練習(xí)：⑴二次函數(shù)y-ax+bx+c的圖像如圖1，那么點,在〔）aA.第一象限B.第二象限C第三象限 D.第四象限〔2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔aW0）的圖象如圖2所示，那么以下結(jié)論：①a、b同號；②當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時,x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是〔丨C.A.1個B.2個3個D.4個1.當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，對稱軸為亠上，頂點坐標(biāo)為2ay隨尤的增大而減??；當(dāng)x〉_b時,y隨尤的增大而2。厶時， 有最小值4ac—b2b y 22.當(dāng).<o時，拋物分開口向下，對稱軸加_上，頂點坐標(biāo)為2a?當(dāng)x〈―8時,y隨*的增大而增大；當(dāng)工>丿時,y隨*xVyx x>>, y%2a 2a的增大而減??；當(dāng)戶_b時，y有最大值4aC一b2例:假設(shè)二次函數(shù)v必?心」的圖像與x4444兩個公共點，那么元二次方程s?二I0T.H有兩個不相等的實數(shù)根,請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面的問題:假設(shè)m,n(m<n)是關(guān)于x的方程1-?g[x切U的范根，且，:“A,那么a,b,m,n的大小關(guān)系是C.斛儂題意，畫出國數(shù)尸1K-口)解丿的圖象，如下圖.國魏圖象為拋㈱輔，開口向上，與M軸兩個交點的相坐標(biāo)分別為W<b).方翟i_im)=.轉(zhuǎn)化為口-口)7...)或方程的兩根是拋物統(tǒng)片<口”圮與直線廠［拍兩■個；■:點 由eO,可知時稱軸左側(cè)交點橙坐標(biāo)為也右側(cè)為0,由遺物線開口向上，那么在時稱軸左例，產(chǎn)隨M增大而減少?那么有由之重在對熟軸右祖hv隨邸增大而增大?那么有綜上所述,可知mVY&Cm應(yīng)選人七、二次函數(shù)解析亂旳衣小力法七、二次函數(shù)解析亂旳衣小力法.般式:)=ax2+bx+caa，b.頂點式： (小+厶〔八 y=a(x_h)〒k兩根式： ( 、( )］豐oy=a(x-x)(x-x)1a 0橫坐標(biāo)).y( )( )c為常數(shù)，“0)；淡為常數(shù),a豐0)；x，x是拋物線與x軸兩交點的1 2注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與尤軸有交點即b2-4ac>0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示?二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.考察用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高,習(xí)題類型有中檔解做題和選拔性的綜合題，如：例:一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點，對稱軸為X=5,求這條拋3物線的解析式.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系二次項系數(shù)二次函數(shù)y=彼2+bx+c中,作為二次項系數(shù)，顯然。豐0.⑴當(dāng)0>0時,拋物線開口向上,a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；⑵當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越a a大，開口越大.總結(jié)起來,a決定了拋物線開口的大小和方向,a的正負(fù)決定開口方向,a的大小決定開口的大小.2.一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對稱軸.⑴在a>0的前提下，當(dāng)b>0時，.2a〈°，即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)b=0時,b=0,即拋物線的對稱軸就是y軸； 當(dāng)b<0時，2a即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè).⑵在a<0的前提下,結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b>0時，.2a〉0,即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)；當(dāng)b=0時,一2a二0,即拋物線的對稱軸就是y軸；當(dāng)b<0時，.2a<°，即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè).總結(jié)起來,在：確定的前提下,b決定了拋物線對稱軸的位置.ab的符號的斷定：對稱軸x=-2a在y軸左邊那么ab>0,的右側(cè)那么ab<0,概括的說就是“左同右異〃總結(jié)：.常數(shù)項c⑴當(dāng)c>0時，拋物線與y軸的交點在,軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為正;⑵當(dāng)c_0時，拋物線與y軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為°；⑶當(dāng)C<°時，拋物線與y軸的交點在,軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù).所以,c決定了拋物線與y軸交點的位置.從而我們就知道，只要a，b，C都確定，那么這條拋物線就是唯一確定,的.例：如圖，假設(shè)函數(shù)y二履+b的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y二履2+b,-1的圖像大致是〔 〕練習(xí)：二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(-2,O)、(x,0),且2 1161〈2,與y軸的正半軸的交點在點(O,2)的下方.以下結(jié)論：①a〈b〈O；②2a+c〉O；③4a+c〈O；④2a-b+l〉O,其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A.1個B.2個C.3個D.4個答案：D二次函數(shù)解析式確實定：根據(jù)條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大〔小〕值，一般選用頂點式；拋物線與％軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；拋物線上縱坐標(biāo)一樣的兩點，常選用頂點式.九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達.關(guān)于％軸對稱y=a%+bx+c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx—c；y=a(x-h)2+k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=-a(xF?~k；.關(guān)于y軸對稱y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=ax^-bx+cy=a(x-h+k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=a(x+h?+k；.關(guān)于原點對稱y=ax2+bx+c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y=_ax+bx-c2 ；y=a(x~h)2+k關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y=_a(x+h)2-k；.關(guān)于頂點對稱〔即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°)

y=ax2+bx+c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c2 2a尸aQ一仆+k關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y__aG_h）2+k5.關(guān)于點（m/對稱Jy二a仆+k關(guān)于點（m,/對稱后，得到的解析式是/ ）2y=-a（x+h-2m+2n-k〔1拋用配方法求它的頂點坐2標(biāo)和對稱軸.〔2）假設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,求線段AB的長.所以根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此laI永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達式時,可以根據(jù)題意或方便運算的原那么，選擇適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線〔或表達式的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系〔二次函數(shù)與x軸交點情況）：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函數(shù)的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù):y=ax2+bx+c當(dāng)函數(shù)值的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù):①當(dāng)A二b2-4ac)0時，圖象與％軸交于兩點A1A1,0),昨,0)(yx)，其中的',乂是一元二次方程ax2+bx+c=0(頑)的兩根?這兩點間的間隔AB二x-xI二五三?2 1a當(dāng)A：0時，圖象與x軸只有一個交點；當(dāng)A<0時，圖象與x軸沒有交點.1當(dāng)a〉0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有axxy〉0；2,當(dāng)。<0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y<0.拋物線y二ax2+bx+c的圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為(0，c)；.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：⑵求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；⑵求二次函數(shù)的最大〔小〕值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y二ax+bx+c中a，b，c的符號，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和一點對稱的點坐標(biāo)，或與x軸的一個交點坐標(biāo),可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo).與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式bx+c(a豐0)本身就是所含字母%的二次函數(shù)；下面以.〉0時為例，提醒二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)：

A>0拋物線與X軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個不相等實根A=0拋物線與軸X只有一個交點八、、八、、二次三項式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根A<0拋物線與軸X無交點二次三項式的值恒為正一兀二次方程無實數(shù)根.會用待正系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例?：關(guān)于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一個根為x=—2,且二次函2數(shù)y=ax+bx+c的對稱軸是直線x=2,那么拋物線的頂點坐標(biāo)為2A.(2,—3) B.(2,1) C.(2,3)D.(3,2)答案：C例：：二次函數(shù)y=ax—〔b+1)x—3a的圖象經(jīng)過點P〔4,10)，交x軸2于4x,0),B〔x,0)兩點〔x<xJ,交y軸負(fù)半軸于C點，且滿足3AO=OB.1 2 1⑴求二次函數(shù)的解析式；〔2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點虬使銳角NMCO〉NACO?假設(shè)存在，請你求出M點的橫坐標(biāo)的取值范圍；假設(shè)不存在，請你說明理由.⑴解:如圖:拋物線交x軸于點A〔x,0),B〔x2,1O),那么x-x=3<0,又<*TOC\o"1-5"\h\z1 2 ]6/???x〉O,x<O,V30A=OB,Ax=—3x.2 1 2 1.\