2023年北京市高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考試結(jié)束后，將本市卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，則（A）（B）（C）（D）（2）復(fù)數(shù)（A）i（B）1+i（C）（D）（3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）8（B）9（C）27（D）36（4）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（A）（B）（C）（D）（5）圓（x+1）2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為（A）1（B）2（C）（D）2（6）從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為（A）（B）（C）（D）（7）已知A（2，5），B（4，1）.若點(diǎn)P（x，y）在線段AB上，則2x?y的最大值為（A）?1（B）3（C）7（D）8（8）某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)，其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)（單位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩（單位：次）63a7560637270a?1b65在這10名學(xué)生中，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人，同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則（A）2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽（B）5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽（C）8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽（D）9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）已知向量，則a與b夾角的大小為_(kāi)________.（10）函數(shù)的最大值為_(kāi)________.（11）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_(kāi)__________.(12)已知雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線為2x+y=0，一個(gè)焦點(diǎn)為（,0），則a=_______；b=_____________.(13)在△ABC中，，a=c，則=_________.(14)某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網(wǎng)店①第一天售出但第二天未售出的商品有______種；②這三天售出的商品最少有_______種.三、解答題（共6題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）（15）（本小題13分）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.（16）（本小題13分）已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.（17）（本小題13分）某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人用水量中不超過(guò)w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：（I）如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米，w至少定為多少？（II）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w=3時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，（=1\*ROMANI）求證：；（=2\*ROMANII）求證：；(=3\*ROMANIII)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得?說(shuō)明理由.（19）（本小題14分）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn).（=1\*ROMANI）求橢圓C的方程及離心率；（=2\*ROMANII）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.（20）（本小題13分）設(shè)函數(shù)（=1\*ROMANI）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（=2\*ROMANII）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；（=3\*ROMANIII）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文)(北京卷)參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）D（5）C（6）B（7）C（8）B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）（10）2（11）（12）12（13）1（14）1629三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（I）等比數(shù)列的公比，所以，．設(shè)等差數(shù)列的公差為．因?yàn)?，，所以，即．所以（，，，）．（II）由（I）知，，．因此．從而數(shù)列的前項(xiàng)和．（16）（共13分）解：（I）因?yàn)?，所以的最小正周期．依題意，，解得．（II）由（I）知．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．由，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．（17）（共14分）解：（I）由用水量的頻率分布直方圖知，該市居民該月用水量在區(qū)間，，，，內(nèi)的頻率依次為，，，，．所以該月用水量不超過(guò)立方米的居民占%，用水量不超過(guò)立方米的居民占%．依題意，至少定為．（II）由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表：組號(hào)12345678分組頻率根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為：（元）．（18）（共13分）解：（I）因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)?，所以平面．（II）因?yàn)?，，所以．因?yàn)槠矫?，所以．所以平面．所以平面平面．（III）棱上存在點(diǎn)，使得平面．證明如下：取中點(diǎn)，連結(jié)，，．又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫?，所以平面．?9）（共14分）解：（I）由題意得，，．所以橢圓的方程為．又，所以離心率．（II）設(shè)（，），則．又，，所以，直線的方程為．令，得，從而．直線的方程為．令，得，從而．所以四邊形的面積．從而四邊形的面積為定值．（20）（共13分）解：（I）由，得．因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（II）當(dāng)時(shí)，，所以．令，得，解得或．與在區(qū)間上的情況如下：所以，當(dāng)且時(shí)，存在，，，使得．由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)．（III）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不