液壓油和液壓流體力學基礎

液壓油和液壓流體力學基礎第1頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善第一節(jié)液壓油的性質(zhì)和選用液體的密度·密度對于均質(zhì)液體，密度為對于非均質(zhì)液體，單點的密度為第2頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善

·密度與溫度壓力的關系溫度↑密度↓溫度↓密度↑壓力↑壓力↓密度↑密度↓第3頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善液體的壓縮性·液體的壓縮性液體的壓縮性是指液體受壓后其體積變小的性能。在一般情況下，尤其只研究系統(tǒng)的靜態(tài)特性時，液體的壓縮性可以忽略不計，這時，認為液體的剛性無窮大，但在液壓伺服系統(tǒng)和考慮沖擊、抗振等現(xiàn)象時，應該考慮液體的壓縮性·液體壓縮性的表示方法①液體的壓縮性系數(shù)壓縮性系數(shù)：受壓液體在變化單位壓力時引起的液體體積的相對變化量第4頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善

液壓油的壓縮性系數(shù)一般?。?~7）x10-10m2/N第5頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善②液體的體積彈性模量體積彈性模量K：液體壓縮性系數(shù)的倒數(shù)液體的體積彈性模量越大，液體的壓縮性越小，其抗壓性能越強，反之越弱液壓油的體積彈性模量一般為（1.4~2.0）x109N/m2第6頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善液體的黏性和黏度·黏性定義：液體在外力作用下流動時，分子間的內(nèi)聚力阻礙相對運動而產(chǎn)生的一種內(nèi)摩擦力。液體的這種性質(zhì)，叫做液體黏性特點：只有在流動時才顯示，液體黏性大小的量度叫做黏度。黏度大油液稠，黏度小，油液稀。·黏度

黏度表示液體黏性大小的物理量，常用的黏度表示方式有三種：絕對黏度、運動黏度、相對黏度第7頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善黏性分析根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律（參見圖2-2）：流體流動時，摩擦力與接觸面積成正比，與速度梯度成正比，可得：第8頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善①絕對黏度把牛頓內(nèi)摩擦定律量化得，相鄰液層間的內(nèi)摩擦力為：單位面積上的摩擦力（切應力）：

絕對黏度單位：第9頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善②運動黏度

運動黏度的單位：

第10頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善③相對黏度液體的絕對黏度難以測定，所以常利用液體的黏性越大通過量孔越慢的特性來測量液體的黏度，我們稱之為相對黏度

第11頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善·黏度和溫度的關系溫度對油液黏度的影響很大，不同的油液有不同的黏度特性溫度↑→黏度↓溫度↓→黏度↑第12頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善·黏度和壓力的關系一般來說，液體所受壓力越大，其分子間距離越小，因此黏度越大壓力↑→黏度↑壓力↓→黏度↓第13頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善液壓油代號及選擇類別品種牌號（數(shù)字）L-HL32L----類別，潤滑劑類HL----品種，H液壓油液組，應用場合為液壓系統(tǒng)，L防銹、抗氧化型32----黏度等級，即VG32·代號命名第14頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善—黏溫性能好（黏度隨溫度的變化越小越好）·液壓油應滿足的要求—具有良好的潤滑性—具有良好的化學穩(wěn)定性—質(zhì)量應純凈，不含各種雜質(zhì)，有良好的抗泡沫性—閃點要高，凝固點要低·液壓油的使用維護—保持液壓系統(tǒng)清潔，防止水、灰塵、和其他雜質(zhì)侵入油中—油箱中的油液要保持一定的高度，正常工作時油箱溫度要在安全范圍內(nèi)—換油時必須將液壓系統(tǒng)的管路進行徹底清洗，新油必須過濾后才能注入第15頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善第二節(jié)靜止液體力學液體的壓力·液體的壓力及其性質(zhì)這里所說的靜止是指液體內(nèi)部質(zhì)點沒有相對運動，至于液體作為一個整體，則可以是靜止的，也可以隨容器做整體運動液體所受的力：質(zhì)量力、表面力—質(zhì)量力：重力、慣性力?！砻媪Γ和獠课矬w作用與液體上的力或液體內(nèi)部一部分液體作

用在另一部分液體上的力。它可以是切向力或法向力。第16頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善①液體壓力液體在單位面積上所受的法向作用力，統(tǒng)稱壓力（物理學中我們稱之為壓強）單點壓強：壓力的單位為Pa，工程上經(jīng)常使用MPa：其他單位換算：第17頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善②壓力的性質(zhì)—靜止液體的壓力永遠指向作用面的內(nèi)法線方向—靜止液體內(nèi)任意一點的壓力在各個方向上都相等·重力作用下靜止液體的壓力分布取圓柱垂直方向列平衡方程整理得公式2-16中中P即為淹深為h處m點的液體壓力第18頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善分析小結

—靜止液體內(nèi)部的壓力沿淹深呈線性分布—淹深相同處的各點壓力相等，由壓力相等的點組成的面叫做等壓面—液面壓力等值的傳遞到液體內(nèi)各處第19頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善·壓力的表示方法①絕對壓力以絕對真空為基準進行度量而得到的壓力值②相對壓力（表壓力）以大氣壓為基準進行度量而得到的壓力值，正表壓力③真空度絕對壓力不足大氣壓的部分，負表壓力絕對壓力=大氣壓+相對壓力相對壓力=絕對壓力－大氣壓真空度=大氣壓－絕對壓力第20頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善絕對真空大氣壓絕對壓力絕對壓力真空度表壓力（相對壓力）第21頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善靜止液體內(nèi)壓力的傳遞·帕斯卡定律在靜力學基本方程2-16中，重力形成的壓力ρgh與外界施加于液面的壓力相比小得多，因此液壓系統(tǒng)中一般忽略不計，所以靜止液體中壓力處處相等

以千斤頂?shù)墓ぷ髟韥碚f明帕斯卡定律的應用，這也是液壓系統(tǒng)中關于力的放大問題關鍵掌握主動施力方在液面上產(chǎn)生的壓強等值地傳遞到力的輸出方第22頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善①力的放大主動力在液面（忽略活塞自重）產(chǎn)生的壓強該壓力值等值地傳遞到了輸出方，產(chǎn)生推力為設：則：K放大系數(shù)第23頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善②液壓系統(tǒng)中壓力的形成根據(jù)公式2-17

當千斤頂平衡時，F(xiàn)2=G；所以當負載G等于零時，F(xiàn)2=0

由于F2=0，由上式可知，主動力F1為零。則系統(tǒng)的壓力p也等于零

說明液壓系統(tǒng)壓力的大小取決于負載第24頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善液體壓力作用于固體壁面上的力·作用于平面上的力作用于平面壁上的力等于液體的靜壓力與承壓面積的乘積，該力方向垂直于該平面·作用于曲面上的力液體作用在曲面某一方向上的力等于液體壓力與曲面在該方向投影面積的乘積第25頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善第26頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善第三節(jié)流動液體力學本節(jié)主要討論流動液體的有關力學特性，核心內(nèi)容有三個基本定律質(zhì)量守恒定律能量守恒定律動量守恒定律連續(xù)性方程伯努利方程動量方程基本概念·理想液體既沒有黏性又沒有壓縮性的假想液體稱為理想液體·穩(wěn)定流動流體在流動時，通過空間某一固定點的所有液體質(zhì)點的壓力、速度、

密度等運動參數(shù)不隨時間變化第27頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善·過流斷面、平均流速、流量①過流斷面液體流動時與液體質(zhì)點流動方向垂直的截面第28頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善②平均流速流量與過流斷面面積之比③流量單位時間內(nèi)流過過流斷面的液體體積第29頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善·液體流動時的壓力液體流動時呈現(xiàn)出黏性力和慣性力，對于假定液體我們認為它是理想液體，因此黏性和慣性力的影響都小，通常我們忽略不計，所以理想液體流動時的壓力（動壓力）與靜壓力就無差別流動液體的質(zhì)量守恒定律----連續(xù)性方程流入控制體積的質(zhì)量=流出控制體積的質(zhì)量第30頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善從斷面A1流入的質(zhì)量：從斷面A2流入的質(zhì)量：即假定液體為理想液體，則密度為常數(shù)，化簡得連續(xù)性方程的一般形式：歸納：在穩(wěn)定流動的情況下，當不考慮液體的壓縮性時，通過管道各過流斷面的流量都相等第31頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善推論：

（1）根據(jù)公式2-21得結論：當流量一定時，管子細的地方流速大，管子粗的地方流速小。（2）在具有分支的管路中第32頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善流動液體的能量守恒定律----伯努利方程·理想液體的伯努利方程能量守恒的形式：外力做的功等于動能的增量h1h2第33頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善1、伯努利方程式的推導①外力對控制體積作的功當控制體積從AB段運動到A′B′段時，F(xiàn)1和F2所做的功為：②能量變化當控制體積從AB段運動到A′B′段時，僅是AA′段液體與BB′段液體的位置高度和流速有變化，相應的勢能和動能都有變化第34頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善

重力功：當控制體積從AB段運動到A′B′段時，AA′段液體與BB′段液體的質(zhì)量相等，重力做的功為（勢能變化）

動能變化：當控制體積從AB段運動到A′B′段時，AA′段液體與BB′段液體的動能分別為動能增量：機械能變化：外力所做的功等于動能的增量第35頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善整理得：可以寫為：可以寫為單位重量液體的能量公式：

公式（2-30）稱為伯努利方程第36頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善2、伯努利方程式的討論

②它的物理意義是：理想流體任一斷面的總機械能守恒，但三種形式的能量在流動過程中可以互相轉化③伯努利方程每一項都具有長度的量綱，所以三項又稱為壓力頭、速度頭和位置頭（和水力學有關），三者之和為一常量H，為總水頭

第37頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善H第38頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善·實際液體的伯努利方程實際流體是具有粘性的流體，所以在流動中必然會產(chǎn)生能量損失；在流體各點的實際流速被近似為平均流速中，也會產(chǎn)生動能的誤差，所以，實際流體的伯努力方程為：

------單位重量液體從一個過流斷面流向另一個過流斷面的總的能

量損失

------

動能修正系數(shù)=某過流斷面上各點都以其真實速度流動時的實際動能

同一過流斷面上各質(zhì)點都以平均速度流動時的平均動能第39頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善流動液體的動量方程式動量方程的目的研究流體流動時動量的變化與作用在液體上外力之間的關系，計算流體作用在固體表面上的力剛體的動量定律當一質(zhì)點系運動時，在時間間隔dt內(nèi)其動量向量的增量等于同一時間間隔內(nèi)作用于該質(zhì)點系的外力的總沖量，即：第40頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善·動量方程式的推導當液柱1-2在dt時段內(nèi)流到1′-2′的位置時，在1′-2段液柱沒有變化，它的體積和質(zhì)量不變，它的動量也沒有變化；所以在dt時段內(nèi)，1-2液柱的動量變化等于2-2′液柱段的動量與1-1′液柱段動量之差。也等于在同一時段內(nèi)經(jīng)過1-2段液柱流出與流入的液體的動量的差值。第41頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善各部參數(shù)的計算①在dt時段內(nèi)流入的動量，或者說液柱1-1′的動量②在dt時段內(nèi)流出的動量，或者說液柱2-2′的動量③在dt時段內(nèi)，動量的變化為：④根據(jù)定義，可得理想流體的動量方程為：第42頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善·動量方程式的討論①在方程2-34中，力和速度均為向量，在具體應用上應將上式向某指定方向投影，再列出該方向上動量方程②在方程2-34中的F是液體所受的固體壁面的作用力，其中固體壁面作用于液體的作用力和液體作用于固體壁面上的力，大小相等，方向相反③由于質(zhì)點速度和平均流速之間的誤差，必然在計算動量時產(chǎn)生誤差，所以應用動量修正系數(shù)來調(diào)整這個誤差。實際流體的動量方程為：第43頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善R實例分析管內(nèi)流動如右圖取出控制體（脫離體）分析外力管壁對液體的作用力截面上的液壓作用力第44頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善R選取坐標系A、建立坐標系1B、建立坐標系2寫出X方向的動量方程第45頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善實例分析建立X方向的動量方程第46頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善第四節(jié)液體在管道中的流動實際液體在流動過程中，由于流體的黏性以及固體邊界的突然改變等等因素，都會使流體產(chǎn)生能量損失。在一個液壓系統(tǒng)中，這種能量表現(xiàn)為系統(tǒng)的壓力損失，最終以熱量的形式散發(fā)，使系統(tǒng)出現(xiàn)溫度升高、黏度降低、泄漏增加等等不利因素

能量損失的大小和液體的流動狀態(tài)有關液體的流動狀態(tài)·層流和紊流層流和紊流的基本形態(tài)可以通過雷諾實驗加以說明第47頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善水箱透明玻璃管水龍頭層流狀態(tài)過渡狀態(tài)紊流狀態(tài)紅色液體容器第48頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善第49頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善層流：液體質(zhì)點相互不混雜，流線基本和固體邊界平行的流動狀態(tài)。在這種流動中粘性起主導作用，慣性力對流動的影響不大紊流：液體質(zhì)點混雜，在這種流動中，慣性力起主導作用流動狀態(tài)的判別：根據(jù)實際流動的雷諾數(shù)和臨界雷諾數(shù)的比較來判別流動狀態(tài)·雷諾數(shù)圓管雷諾數(shù)其中：v----管內(nèi)平均流速d----圓管直徑（水力直徑）----液體運動黏度第50頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善臨界雷諾數(shù)：流動液體由層流轉化為紊流或由紊流轉化為層流的雷諾數(shù)流動狀態(tài)的判斷：—當實際Re＜Recr時，為層流—當實際Re＞Recr時，為紊流·非圓斷面管道雷諾數(shù)的計算其中：v----管內(nèi)平均流速dH----過流斷面水力直徑V----液體運動黏度第51頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善dH定義：

濕周：有效過流斷面上液體與固體相接觸的周長第52頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善液體在圓管中的層流流動及其沿程能量損失·過流斷面上的速度分布規(guī)律rdr圓柱體軸線方向上的力平衡方程式為

由內(nèi)摩擦定律得

又令

得

（2-39）第53頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善對式（2-39）積分，并考慮r=R時，u=0，故得

（2-40）最大流速發(fā)生在軸線上，其值為

·流量rdr在半徑r處，取出厚為dr的微小圓環(huán)面積，通過該圓環(huán)面積的流量為

（2-41）第54頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善或者寫為

（2-42）由上式可知，流量與管徑的四次方成正比;壓差（壓力損失)則與管徑的四次方成反比，所以，管徑對壓力損失、流量的的影響是很大的?！て骄魉?/p>

即層流時圓管中的平均流速等于其軸線上的最大流速之半第55頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善·沿程能量損失液體流經(jīng)等直徑d的直管道時，在管長l段上的沿程能量損失hl為（高度形式）

（2-44）

（2-45）

第56頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善液體在圓管中的紊流流動及其沿程能量損失流體的紊流流動是一種相當復雜的流動，這種流動的流動狀態(tài)和它的能量損失不但和流體的雷諾數(shù)有關，而且和其它邊界條件有關，目前還沒有完整的理論能描述這種流動的整個物理過程現(xiàn)在一般都是像本書一樣，在各種不同的應用場合，整理一些半理論半經(jīng)驗公式滿足實際計算的需要

第57頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善局部能量損失液體在流經(jīng)閥口、彎頭、突然變化的過流斷面等處時，由于流速的大小或方向發(fā)生急劇變化所造成的一部分能量損失·過流斷面突然擴大處的局部損失第58頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善列出斷面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ處的伯努利方程，推導得過流斷面忽然擴大處的局部能量損失為：

（2-47）

·其他形式的局部損失通用公式

（2-48）

（2-48）或第59頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善

管路總能量損失管路系統(tǒng)中，總能量損失等于系統(tǒng)中所有直管沿程損失之和與局部能量損失之和的疊加。公式表示為：

（2-49）（2-50）第60頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善例題求液壓泵吸油口處的真空度？

分析：假設液壓泵吸油口處的壓力為p，油池液面的壓力為pa（大氣壓），則真空度=pa－p第61頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善首先判別流動狀態(tài)，即要計算出雷諾數(shù)①要雷諾數(shù)計算，需要首先計算流速②計算雷諾數(shù)并判別流態(tài)③列寫伯努利方程正確的列寫伯努利方程首先正確地選擇截面，按圖2-18第一個截面選擇油箱液面，這樣，沒有未知數(shù)，最為方便。但要注意，油泵吸油口并不在這個截面內(nèi)。第二個截面應該包括所求的未知數(shù)，所以選擇在油泵的進油口第62頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善列出斷面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ處的伯努利方程：

第63頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善

分別求出各項

因為紊流，則

第64頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善

局部損失已知

最后得到

第65頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善第五節(jié)液流流經(jīng)小孔時的流量計算液流流經(jīng)小孔時的流量計算·薄壁小孔的流量

液壓系統(tǒng)中一些液壓閥閥口的流量計算、液壓元件泄漏的計算，以及節(jié)流調(diào)速、伺服系統(tǒng)的工作原理等都建立在小孔和縫隙流量的基礎上。重點是薄壁小孔的流量計算［Q=f(A,Δp）］，這是整個調(diào)速原理的基礎。

所謂薄壁小孔是指小孔的長度和孔徑之比小于0.5的孔，孔口一般為刃口形式第66頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善①流量公式推導列出斷面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ處的伯努利方程

取

得

第67頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善

其中

突然縮小能量損失突然擴大能量損失

第68頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善收縮斷面的流速將以上各變量代入關系式中可得得其中稱小孔流速系數(shù)第69頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善小孔流量第70頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善②公式討論A、流量系數(shù)一般是一個實驗值，在各種不同的閥口結構中，這個數(shù)值在一定的范圍內(nèi)變化。在具體應用中，可以查閱產(chǎn)品的使用說明書。B、從公式中可以看出，流量和小孔前后壓差的平方根成正比，和通流截面積成正比。這三者之間的關系，在整個液壓系統(tǒng)中隨著應用的方向不一樣，有時是已知壓差和面積求流量，有時是已知流量、面積求壓差，這時的壓差可能是壓力損失，可能是一種人工負載。C、應用公式計算通過控制閥口（如節(jié)流閥口）的流量時，公式中的壓差總是用閥的進出口壓力差代入的。第71頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善細長小孔的流量

細長小孔是指孔的長徑比L/d>4的小孔，在液壓技術中常用做阻尼孔，流態(tài)一般為層流，因此，其流量應用圓管層流的公式（2-41）注意點：在應用公式（2-41）計算流量時，沒有考慮層流起始段的問題，所以，當細長孔的長徑比越大，層流起始段的影響越小，結果越精確，反之，則誤差加大。第72頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善液流流經(jīng)縫隙時的流量計算

由于縫隙一般都非常?。◣孜⒚椎綆资⒚祝?，水力半徑也很小，因此，縫隙流動一般為層流。常見有三種形式：由壓差造成的流動稱壓差流動；由相對運動造成的流動稱剪切流動，最后一種就是在壓差和剪切同時作用下的流動平行平板間的縫隙流動①固定平板間的縫隙流動（壓差流動）第73頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善經(jīng)推導壓差流動的流量計算公式

上式表明，通過縫隙的流量與Δp和h的三次方成正比。間隙稍有增大，就會引起泄漏量的大量增加，可見，元件間隙的大小對泄漏量的影響是很大的。第74頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善②有相對運動的平行平板間的縫隙流動壓差Δp=0時在壓差Δp=0時，僅由于平行平板相對運動時，間隙中液體在剪切作用下引起的流動。其流量公式為：

從公式（2-54）可以看出，在剪切作用下，流量與間隙量、相對運動速度及間隙寬度的一次方成正比。第75頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善壓差Δp≠0時在壓差與剪切聯(lián)合作用下的流動左圖為液體流動方向和板的運動方向相同；右圖為板的運動方向和液體的流動方向相反。流量公式為：第76頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善圓柱環(huán)形間隙的流量①同心圓柱環(huán)形間隙的流量沒有相對運動的同心圓柱面間環(huán)形間隙的流量

（2-55）有相對運動，但壓差Δp=0的兩個同心圓柱面間環(huán)形間隙的流量

（2-55＇）有相對運動，但壓差Δp≠0的兩個同心圓柱面間環(huán)形間隙的流量

（2-55〃）第77頁/共87頁西南林業(yè)大學樹木樹人至真至善②偏心圓柱環(huán)形間隙的流量圓柱面間無相對運動時

（2-56