全國通用版講義第3章 3-2 函數(shù)模型及其應(yīng)用3-2-1

§3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異.2.會根據(jù)函數(shù)的增長差異選擇函數(shù)模型．知識點(diǎn)一函數(shù)模型一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．知識點(diǎn)二三種常見函數(shù)模型的增長差異比較三種函數(shù)模型的性質(zhì)，填寫下表.函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定隨n值而不同增長速度ax的增長快于xn的增長，xn的增長快于logax的增長增長后果會存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>xn>logax1．先有實(shí)際問題，后有模型．(√)2．一個(gè)好的函數(shù)模型，既能與現(xiàn)有數(shù)據(jù)高度符合，又能很好地推演和預(yù)測．(√)3．增長速度越來越快的一定是指數(shù)函數(shù)模型．(×)4．由于指數(shù)函數(shù)模型增長速度最快，所以對于任意x∈R恒有ax>x2(a>1)．(×)類型一幾類函數(shù)模型的增長差異例1(1)下列函數(shù)中，隨x的增大，增長速度最快的是()A．y＝50xB．y＝x50C．y＝50xD．y＝log50x(x∈N*)考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案C解析四個(gè)函數(shù)中，增長速度由慢到快依次是y＝log50x，y＝50x，y＝x50，y＝50x.(2)函數(shù)y＝2x－x2的大致圖象為()考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案A解析在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝2x，y2＝x2的圖象(圖略)．易知在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，2x＞x2，即此時(shí)y＞0；當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，2x＜x2，即y＜0；當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，2x＞x2，即y＞0；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝2－1－1＜0.據(jù)此可知只有選項(xiàng)A中的圖象符合條件．反思與感悟在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢．因此，總會存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就有l(wèi)ogax＜xn＜ax.跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x)＝eq\f(lg|x|,x2)的大致圖象為()考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案D解析f(x)為偶函數(shù)，排除A，B.當(dāng)x＞1時(shí)，y＝lg|x|＝lgx＞0，且增長速度小于y＝x2，所以當(dāng)x→＋∞時(shí)，eq\f(lg|x|,x2)→0且函數(shù)值為正數(shù)，故選D.類型二函數(shù)模型的增長差異在函數(shù)圖象上的體現(xiàn)例2高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時(shí)水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象是()考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案B解析v＝f(h)是增函數(shù)，且曲線的斜率應(yīng)該是先變大后變小，故選B.反思與感悟一般來說，函數(shù)模型的增長速度與圖象關(guān)系如下表：增長速度越來越快不變越來越慢圖象/跟蹤訓(xùn)練2某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年的年產(chǎn)量保持不變，將該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示，則正確的是()考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案A類型三函數(shù)模型的應(yīng)用命題角度1選擇函數(shù)模型例3某大型超市為了滿足顧客對商品的購物需求，對超市的商品種類做了一定的調(diào)整，結(jié)果調(diào)整初期利潤增長迅速，隨著時(shí)間的推移，增長速度越來越慢，如果建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該超市調(diào)整后利潤y與售出商品的數(shù)量x的關(guān)系，則可選用()A．一次函數(shù)B．二次函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù)D．對數(shù)型函數(shù)考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案D解析四個(gè)函數(shù)中，A的增長速度不變，B，C增長速度越來越快，其中C增長速度比B更快，D增長速度越來越慢，故只有D能反映y與x的關(guān)系．反思與感悟根據(jù)實(shí)際問題提供的兩個(gè)變量的數(shù)量關(guān)系可構(gòu)建和選擇正確的函數(shù)模型．同時(shí)，要注意利用函數(shù)圖象的直觀性來確定適合題意的函數(shù)模型．跟蹤訓(xùn)練3(2017·河南安陽檢測)四人賽跑，假設(shè)其跑過的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案D解析四個(gè)函數(shù)模型中，增長速度最快的為f4(x)＝2x.存在x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有2x>x2>4x>log2x.即時(shí)間足夠長時(shí)，f4(x)路程最遠(yuǎn)．故選D.命題角度2用函數(shù)模型決策例4某公司預(yù)投資100萬元，有兩種投資可供選擇：甲方案年利率10%，按單利計(jì)算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后收回本金和利息．哪種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？(結(jié)果精確到0.01萬元)考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題解按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合計(jì)150萬元；按乙，第一年本息合計(jì)100×1.09，第二年本息合計(jì)100×1.092，…，5年后本息合計(jì)100×1.095≈153.86(萬元)．故按乙方案投資5年可多得利3.86萬元，乙方案投資更有利．反思與感悟建立函數(shù)模型是為了預(yù)測和決策，預(yù)測過程就是依據(jù)模型研究相應(yīng)性質(zhì)，得到結(jié)論后再返回實(shí)際問題給出決策．跟蹤訓(xùn)練4一家庭(父親、母親和孩子們)去某地旅游，甲旅行社說：“如果父親買全票一張，其余人可享受半票優(yōu)惠．”乙旅行社說：“家庭旅行為集體票，按原價(jià)eq\f(2,3)優(yōu)惠．”這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的．試就家庭里不同的孩子數(shù)，分別建立表達(dá)式，計(jì)算兩家旅行社的收費(fèi)，并討論哪家旅行社更優(yōu)惠．考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題解設(shè)家庭中孩子數(shù)為x(x≥1，x∈N*)，旅游收費(fèi)為y，旅游原價(jià)為a.甲旅行社收費(fèi)：y＝a＋eq\f(a,2)(x＋1)＝eq\f(a,2)(x＋3)；乙旅行社收費(fèi)：y＝eq\f(2a,3)(x＋2)．∵eq\f(2a,3)(x＋2)－eq\f(a,2)(x＋3)＝eq\f(a,6)(x－1)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，兩家旅行社收費(fèi)相等．當(dāng)x＞1時(shí)，甲旅行社更優(yōu)惠.1．下列函數(shù)中隨x的增長而增長最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝x100D．y＝2x考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案A2．能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值區(qū)間是()A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)D．(4，＋∞)考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案D3．某物體一天中的溫度T(單位：℃)是時(shí)間t(單位：h)的函數(shù)：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，則下午3時(shí)溫度為()A．8℃B．78℃C．112℃D．18℃考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)冪函數(shù)模型的應(yīng)用答案B4．下列選項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長遠(yuǎn)的角度看，更為有前途的生意是________．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題答案①5．(2017·臨沂期中)甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點(diǎn)出發(fā)，路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是________．(填序號)①甲比乙先出發(fā)；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙兩人的速度相同；④甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)．考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案④解析由圖知，甲、乙兩人S與t的關(guān)系均為直線上升，路程S的增長速度不變，即甲、乙均為勻速運(yùn)動(dòng)，但甲的速度快．又甲、乙的路程S取值范圍相同，即跑了相同的路程，故甲用時(shí)少，先到終點(diǎn)．1．四類不同增長的函數(shù)模型(1)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．(2)增長速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)模型．(3)增長速度較慢的函數(shù)模型是對數(shù)型函數(shù)模型．(4)增長速度平穩(wěn)的函數(shù)模型是冪函數(shù)模型．2．函數(shù)模型的應(yīng)用(1)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計(jì)算、推理，且能得出正確結(jié)論．(2)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題.一、選擇題1．下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案B解析D增長速度不變，A，C增長速度越來越快，只有B符合題意．2．以下四種說法中，正確的是()A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對任意的x＞0，xa＞logaxC．對任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，總有ax＞xa＞logax考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案D解析對于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度分別受冪指數(shù)及一次項(xiàng)系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長速度不能比較；對于B，C，顯然不成立；對于D，當(dāng)a＞1時(shí)，一定存在x0，使得當(dāng)x＞x0時(shí)，總有ax＞xa＞logax，但若去掉限制條件“a＞1”，則結(jié)論不成立．3．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案D解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的圖象大致為D中圖象．4．下面給出了紅豆生長時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么最能擬合詩句“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是()A．指數(shù)函數(shù)：y＝2tB．對數(shù)函數(shù)：y＝log2tC．冪函數(shù)：y＝t3D．二次函數(shù)：y＝2t2考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案A解析由題干中的圖象可知，該函數(shù)模型應(yīng)為指數(shù)函數(shù)．5．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時(shí)污染物的含量不得超過1%.已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P(單位：毫克/升)與過濾時(shí)間t(單位：時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為：P＝P0e－kt(k，P0均為正的常數(shù))．若在前5個(gè)小時(shí)的過濾過程中污染物被排除了90%，那么，至少還需要過濾的時(shí)間為()A.eq\f(1,2)小時(shí)B.eq\f(5,9)小時(shí)C．5小時(shí)D．10小時(shí)考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題答案C解析由題意知前5個(gè)小時(shí)消除了90%的污染物．∵P＝P0e－kt，∴(1－90%)P0＝P0e－5k，∴0.1＝e－5k，即－5k＝ln0.1，∴k＝－eq\f(1,5)ln0.1.由1%P0＝P0e－kt，即0.01＝e－kt，∴－kt＝ln0.01，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)ln0.1))t＝ln0.01，∴t＝10，∴至少還需要過濾5小時(shí)才可以排放．6．向高為H的水瓶內(nèi)注水，一直到注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)圖象如圖所示，那么水瓶的形狀大致是()考點(diǎn)三種函數(shù)模型增長的差異題點(diǎn)三種函數(shù)模型增長速度的差異答案B解析水深h為自變量，隨著h增大，A中V增長速度越來越快，C中先慢后快，D增長速度不變，只有B中V增長速度越來越慢．7．某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則本年5月份()A．甲食堂的營業(yè)額較高B．乙食堂的營業(yè)額較高C．甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D．不能確定甲、乙哪個(gè)食堂的營業(yè)額較高考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題答案A解析設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m，甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a＞0)，乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x，由題意可知，m＋8a＝m×(1＋x)8，則5月份甲食堂的營業(yè)額y1＝m＋4a，乙食堂的營業(yè)額y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a)，因?yàn)閥eq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高．8．我們處在一個(gè)有聲的世界里，不同場合人們對聲音的音量會有不同的要求．音量大小的單位是分貝(dB)．對于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計(jì)算：η＝10·lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強(qiáng)度)．設(shè)η1＝70dB的聲音強(qiáng)度為I1，η2＝60dB的聲音強(qiáng)度為I2，則I1是I2的()A.eq\f(7,6)倍B．10倍C．10eq\f(7,6)倍D．lneq\f(7,6)倍考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案B解析由題意，令70＝10lgeq\f(I1,I0)，則有I1＝I0×107.同理得I2＝I0×106，所以eq\f(I1,I2)＝10.二、填空題9．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(雙)的關(guān)系式為y＝5x＋4000，而手套出廠價(jià)格為每雙10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為________雙．考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題答案800解析要使該廠不虧本，只需10x－y≥0，即10x－(5x＋4000)≥0，解得x≥800.10．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度vm/s和燃料質(zhì)量Mkg，火箭(除燃料外)質(zhì)量mkg的關(guān)系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，則當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12km/s.考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案e6－1解析由題意可知2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝12000，∴l(xiāng)neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，從而eq\f(M,m)＝e6－1.11．某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系式為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第一年有100只，則到第7年這種動(dòng)物發(fā)展到________只．考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案300解析把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得a＝100，故函數(shù)關(guān)系式為y＝100log2(x＋1)，所以當(dāng)x＝7時(shí)，y＝100log2(7＋1)＝300，所以到第7年這種動(dòng)物發(fā)展到300只．三、解答題12．某種儲蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，求本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式．考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用解已知本金為a元，利率為r，則1期后本利和為y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和為y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和為y＝a(1＋r)3，…，x期后本利和為y＝a(1＋r)x，x∈N*.13．某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特修一條專用鐵路，用一列火車作為交通車，已知該車每次拖掛4節(jié)車廂，一天能來回16次，如果該車每次拖掛7節(jié)車廂，則每天能來回10次．(1)(2)在(1)的條件下，每節(jié)車廂能載乘客110人．問這列火車每天來回多少次才能使運(yùn)營人數(shù)最多？并求出每天最多運(yùn)營人數(shù)．考點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題題點(diǎn)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題解(1)設(shè)每天來回y次，每次拖掛x節(jié)車廂，由題意設(shè)y＝kx＋b(k≠0)，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝16，當(dāng)x＝7時(shí)，y＝10，得到16＝4k＋b,10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24，∴y＝－2x＋24.依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x∈N，,y＝－2x＋24≥0.))解得定義域?yàn)閧x∈N|0≤x≤12}．(2)設(shè)每天來回y次，每次拖掛x節(jié)車廂，由題意知，每天拖掛車廂最多時(shí)，運(yùn)營人數(shù)最多，設(shè)每天拖掛S節(jié)車廂，則S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，x∈[0,12]且x∈N.所以當(dāng)x＝6時(shí)，Smax＝72，此時(shí)y＝12，則每日最多運(yùn)營人數(shù)為110×72＝7920.故這列火車每天來回12次，才能使運(yùn)營人數(shù)最多，每天最多運(yùn)營人數(shù)為7920.四、探究與拓展14．一水池有2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口，進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一