數(shù)學(xué)建模2011年題網(wǎng)評(píng)卷子

第八屆研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)題 小麥發(fā)育后期莖稈抗倒性的數(shù)學(xué)模 要，合通狀指程比較2008年不同品種的倒伏性。對(duì)于問題四，首先從小麥秸稈的各向異性入手，利用Brazier屈曲分析研究小題重小麥倒伏從形式上可分為“根倒”和“莖倒都發(fā)生在小麥發(fā)育后期。、穗重等。各方面的專家通過分析影響小麥倒伏的各種因素，目前已經(jīng)得到了一些結(jié)果，但是對(duì)抗倒伏能力最佳的莖稈性狀還沒有定論。我們已經(jīng)收集到了一批各個(gè)品種小麥的莖稈性狀、產(chǎn)量、倒伏情況的數(shù)據(jù)。 中判斷莖稈抗倒性的抗倒伏指數(shù)：五應(yīng)用力學(xué)模型中的抗彎剛度EI，麥穗自重下和風(fēng)載作用下的對(duì)20072012

xi1i12345：穗下第i節(jié)莖的長(zhǎng)度xi3i12345：穗下第i節(jié)莖的壁厚xi4i1,2,3,4,5：穗下第i節(jié)莖的鮮重x1/2：穗下第一節(jié)長(zhǎng)度與穗下第二節(jié)的比x2/3：穗下第二節(jié)長(zhǎng)度與穗下第三節(jié)的比x4/5x61：穗長(zhǎng) x62：穗鮮重 x72：莖重心高度（去穗） x8：小麥鮮重 x9：小麥株高題分2012年制定完整的試驗(yàn)方案及數(shù)據(jù)分析方法，并給小麥育種家在育2012年收成與倒伏情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，并提出意見和建，選擇自己需要的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。問題一依據(jù)有關(guān) 中判斷莖稈抗倒性的抗倒伏指數(shù)：對(duì)于2008年和2011年給出的測(cè)量數(shù)據(jù)，均不能直接得到，需要利用已有的數(shù)據(jù)問題二研究抗倒伏指數(shù)與莖稈外部形態(tài)特征之間的關(guān)系。即給出抗倒伏指并對(duì)2008年國(guó)信1號(hào)與智9998此問可以利用SPSS軟件來進(jìn)行分析，以抗倒伏指數(shù)為因變量，各個(gè)性狀為自2008年國(guó)信1號(hào)與智9998品種的小麥都問題三探討單穗重分別是問題四將莖稈按照剛/彈性材料處理，研究小麥莖稈在麥穗自重和風(fēng)載作我們可以根據(jù)給出材料中附件三的各個(gè)，對(duì)小麥在沒風(fēng)載和有風(fēng)載的情問題五應(yīng)用力學(xué)模型中的抗彎剛度EI，麥穗自重下和風(fēng)載作用下的2007年臘熟期各品種數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，有些參數(shù)依據(jù)需要作某些假設(shè)。200720112007（L）約等于小麥的果實(shí)位置的高（h。問題六總結(jié)所建模型及分析結(jié)果，提出值得考慮的問題。同時(shí)為2012年制個(gè)性狀對(duì)小麥抗倒伏的影響，從而對(duì)育種專家在以后的育種過程中起到指導(dǎo)作四模型的建立與首先要確定、年機(jī)械強(qiáng)度，本文選擇利用2007年已給數(shù)據(jù)，用多元線性回歸數(shù)學(xué)模型確定機(jī)械強(qiáng)度函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而利用、年已知數(shù)據(jù)確定、年機(jī)械強(qiáng)度與小麥抗倒伏指數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)【8】知小麥莖基部第二節(jié)莖稈干物質(zhì)對(duì)小麥機(jī)械強(qiáng)度的貢獻(xiàn)最大因此我們選用小麥基部第二節(jié)莖稈的機(jī)械強(qiáng)度來代替小麥整體的機(jī)械強(qiáng)度。 年機(jī)械強(qiáng)度x41x42和不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)因素的影響，多～N0,2

y y 1 2 2其中

.2.....、n互獨(dú)立且服從N0,2 ... ... ...y n n 則2yX～N0,2

模型參數(shù)的最小二乘法估計(jì)，即選擇使得誤差平方和為最小值，這時(shí)的?作為的點(diǎn)估計(jì)S()TyxTy 為求，由（4）式將S()對(duì)求導(dǎo)，并令其為零

dyxTy 0由（5）可解出? ?

y0.04680.074x41 們先用11年的數(shù)據(jù)求出干重與鮮重的比，得到莖的干濕 ：干重=0.1093干重 鮮 n ...莖稈重心高度=xn ...x ...x n ...2 n 1 2 1 n 2 l

x ...x

2 n 1 通常n表4.1.1 2007年各品種小麥不同時(shí)期抗倒伏指數(shù)18表 2008年以矮抗58、18、國(guó)信為例求出的抗倒伏指18抗倒伏指數(shù)優(yōu) FWSL：基部節(jié)間折斷部位到主莖頂端的距離cm，F(xiàn)W：基部節(jié)間折斷部位到主莖頂端的鮮重g折斷時(shí)的彎距Mgicm它表示基部節(jié)間的抗折強(qiáng)度，代表折斷一定長(zhǎng)度MLF/使基部被測(cè)節(jié)段折斷時(shí)所施加的力gF：兩支點(diǎn)間的距離cm斷面模數(shù)Z,mm31 2 Za3ba3b1 2 a1和a2表示短軸的外徑和內(nèi)徑，b1和b2表示長(zhǎng)軸的外徑和內(nèi)徑，單位mm彎曲應(yīng)力BS,gimm2是單位斷面模數(shù)的折斷彎矩，代表莖稈的強(qiáng)ZZ倒伏指數(shù)=基部節(jié)間彎矩WP/折斷彎矩M稈型指數(shù)=稈基部的外徑（長(zhǎng)短軸的平均值mm）/稈長(zhǎng) cm）×100 X11-X12X21X22X31X32X41X42X51X52c（c（---ModelRRStd.Errorofthe1,5粗(cm),2粗(cm),4粗(cm),4長(zhǎng)(cm),5長(zhǎng)(cm),3粗(cm),4/5,2長(zhǎng)(cm),3/4,2/3SumofMeanF PredictorsConstant),株高（cm）,穗長(zhǎng)3長(zhǎng)(cm1/2,1粗(cm),5粗(cm2粗(cm),4粗(cm),4長(zhǎng)(cm),5長(zhǎng)(cm),3粗(cm),4/5,2長(zhǎng)(cm),3/4,2/3DependentVariable:1粗2長(zhǎng)2粗3長(zhǎng)3粗4長(zhǎng)4粗5長(zhǎng)5粗2345）000000000600000000090000110004010000000200008500036000020009080146535100656665325860423 y0.350.055x411.1484x420.007x510.013x2/30.039x3/4

（9從排除多重共線性的擬合中，我們可以看到，穗下第四節(jié)莖稈的粗x42對(duì)2008年所給數(shù)據(jù)簡(jiǎn)答處理后，可得到：國(guó)信1號(hào)穗下第四節(jié)的粗平均值為0.42cm，智9998早0.40cm，而同年的周180.44580.49850.50，TM0.60。由此可以合理解釋在2008年國(guó)信1號(hào)智9998品種的小麥都發(fā)生倒伏，其他28個(gè)設(shè)計(jì)變量，選取穗重為狀態(tài)變量利用ANSYS優(yōu)化模型給出了目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。minf

(i1,2,?m1(i1,2,?m2(i1,2,?m3gi,hi,wi為包含設(shè)計(jì)變量的狀態(tài)變量·限下限m1m2m3為有不同上下限值的狀態(tài)變量約束數(shù)xi1(i=12345)、xi2(i=1、2、3、4、5)、xi3(i=1、2、3、4、5)xi4(i=1、2、3、4、5)、x61、x62、x71、x72x8、x9、x12、x23、x34、x4528個(gè)變量。xi1minxi1xi1max(i=1、2、3、4、xi3minxi4min

x1/2minx1/ x1/2x4/5

x3/x4/

x3/4X

,

TT化問題，約束條件主要考慮為穗重，即穗重x62的取值：x62（α1.19g，2.06g，2.46g，2.56g，2.75g，2.92g即：yf(x11, Xx11,

4/x62minf(x, ,..., 當(dāng)x62=1.19g時(shí)求得最佳株型結(jié)4/Reduced 當(dāng)x62倒伏是影響小麥高產(chǎn)的重要因一,在作物高產(chǎn)育種中,提高作物莖稈達(dá)式性。早在1928年，就把正交對(duì)稱原理應(yīng)用于木材，借以說明木材材料性3個(gè)對(duì)稱軸：平行于縱向的L軸、平行于徑向的R軸和平行于弦向的T軸。這3個(gè)軸大致是相互垂直的，但3個(gè)方向的彈性常數(shù)不同。雖然徑向軸在木材中可以把這3 C

S c s 66 669

0 0

CC

0

0 66木材TLR方向的彈性模量為主方向上的彈性模量，設(shè)ETE1ELE2ERE3，其定義為只有一個(gè)主方向上有正應(yīng)力作用時(shí)，正應(yīng)力與該方向應(yīng)變的iEi

(i泊松比ij為單獨(dú)在j方向作用正應(yīng)力j，而無其它應(yīng)力時(shí)，j方向應(yīng)變與 i 0

S

0 0 0

向同性，以工為對(duì)稱軸，TR平面為各向同性面。s

0 0

0 S

0

s 0

110 s 44橫觀各向同性材料的特性和，TR 到以L為對(duì)稱軸，TR平面為各向同性面的橫觀各向同性材料的柔度矩陣，如C2．11)所示。這樣便建立了小麥莖稈的柔度矩陣，確定了工程彈性常數(shù)之 0

0S

0 0

1GG

E

G 單層Brazier屈曲模型首先介紹Brazier曲率理論。設(shè)薄壁圓柱殼的截面如圖3所示。分析截面變形時(shí)的位移變量，0時(shí)為中性層。cos為外層半徑， 么圓周方向的位移可以由確定。d于是得到：1sin2由于計(jì)算截面的慣性矩I，需要考慮從中性層開始圓周上各點(diǎn)的垂直位移，大的簡(jiǎn)化，在此種假定下的計(jì)算為sin1a(3sinsin3)asin34注意到，2截面慣性矩的計(jì)算為

2(asin)I(1352 ss U2 的計(jì)算為U3 的計(jì)算為U1 因此，應(yīng)變能UU1C2Ea3t(1352) 3 UBrazier在計(jì)算中省略了2項(xiàng)，經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，這種簡(jiǎn)化后理論值與實(shí)驗(yàn)值比較43c 232Ca2/ U2Eth2/a(c2c4)3對(duì)曲率c求導(dǎo)可得彎矩MM

dUdc

231/2

彎矩M當(dāng)(c2c3取最大值是達(dá)到最大，經(jīng)計(jì)算當(dāng)c61/20.048此時(shí)，2同時(shí)定義無量綱彎矩mM/ 這樣，無量綱彎矩m為：mMM2c12c2mM/

3(13)可得到m的最大值Karam和Gibson對(duì)帶有彈性芯的薄壁圓管在純彎曲時(shí)的屈曲響應(yīng)進(jìn)行了分析。KaramGibson5所示，外層殼的半徑是a，壁厚t，內(nèi)層芯的直徑是c，彈性模量和泊松比分別為Ec和vc。首先得到截面半徑方向和圓周cos

w 2sin rrEc(1c (1)12

cosc

cos

(1)12 Ecsin縱向的應(yīng)變表達(dá)式為：z 1w r 有rU

(2 20 r r b 22Er2sin2 2Er2 b 20 252c161c

1

c Brazier屈曲理論主要討論單層問題，karamGibson討論的是外層殼和 1 t為外層厚度，t1a,bU3Eth223Et 11 1 式中E為外層彈性模量，E1c為曲率。h和 111h111 和1U1 22 1 r r1 1 1b22Er2 1 2002111

EC24

4 b16111 整體應(yīng)變能U可以表示為：UU1U2U b3 2b 1a3/1 b E

t

h代入，對(duì)曲率求導(dǎo)之后得到彎矩M的計(jì)算

b 1bM

3E

a3 252

(12ab式中 (11)(121為了方便研究定義無量綱曲率c和無量綱彎矩m：cCa2hmM/Eath 4

1a3m1 c 2 1b令qcrpcr在臨界力qcr，pcr的作用下，在微彎狀態(tài)下處于不穩(wěn)定平衡。在以下討論中假設(shè)3EI2，莖稈的重力勢(shì)能為3q29242 15

16其中E---PaI---cm4它表示莖稈頂端處的水平位cmL---莖稈的高度，cmh---麥穗的高度cm。其中hL。 9242 15 U 根據(jù)勢(shì)能駐值定理

0

p5EI 在臨界力的作用下處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，此時(shí)的撓曲線近似方程為：v(x)a1cosl

al——距固定端距離l處的撓度EIl

l

U20

l

0

. . 外力勢(shì)能V

UV

即

lq0

l 9242 15

U 6LhLh5hPcr U 16qcr5LV (x UV 在這里al由勢(shì)能駐值定理0 q v v 其中w為風(fēng)v為風(fēng)1.25kg/m3為標(biāo)準(zhǔn)的空氣密度，0.012018kN/g9.8m/s2重力加速度。sab*

1彈性模量E假定彈性測(cè)定值和彈性模量值為線性關(guān)系。在臘熟期，彈性測(cè)定值：F:0.761,

355,1443，得出關(guān)系式E

FCC為常58-58-從而得出相應(yīng)的彈性模量E周新溫 2慣性矩I IπD4D2t4其中D---莖稈的粗，t---莖稈的壁厚。具體求法 其中D5t

5由此可得到慣性矩I

t,其中t---第i5 53 莖稈長(zhǎng)度L的結(jié)果：只需把每一節(jié)的長(zhǎng)度相5莖稈頂端處的水平位移設(shè)原點(diǎn)為梁在墻壁上的固定點(diǎn)，梁的中軸為x軸。根據(jù)彈性理論和定律，彈性曲線的曲率k與彎曲力矩M成正比。 為kM,其中E為梁的彈性模量,I為梁的橫截面對(duì)重心(水平)線的y'2往往可省略不計(jì),材料力學(xué)中梁的撓度的微分方程可簡(jiǎn)化為對(duì)長(zhǎng)為L(zhǎng),單位長(zhǎng)度重量為的均勻懸臂梁,位于水平 M(x)(Lx)Lx

x)2

初始y(0)0y'(