誤差的基本性質(zhì)與處理

誤差的基本性質(zhì)與處理第1頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二本章分別詳細(xì)闡述隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測量和不等精度測量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進(jìn)行合理的數(shù)據(jù)處理。教學(xué)目標(biāo)第2頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對測量精度影響的措施掌握等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法掌握不等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法重點(diǎn)與難點(diǎn)第3頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

當(dāng)對同一測量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測量時(shí)，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列），每個(gè)測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測下一個(gè)數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：①測量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素③人為方面的因素零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理電路的隨機(jī)噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)?。第一?jié)隨機(jī)誤差一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因第4頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

隨機(jī)誤差的分布可以是正態(tài)分布，也有在非正態(tài)分布，而多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布。我們首先來分析服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的特性。設(shè)被測量值的真值為，一系列測得值為，則測量列的隨機(jī)誤差可表示為：(2-1)式中。正態(tài)分布的分布密度與分布函數(shù)為

(2-2)

(2-3)式中：σ——標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）

e——自然對數(shù)的底，基值為2.7182……。它的數(shù)學(xué)期望為(2-4)

它的方差為：(2-5)第一節(jié)隨機(jī)誤差二、正態(tài)分布第5頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二其平均誤差為：(2-6)此外由可解得或然誤差為：

(2-7)由式（2-2）可以推導(dǎo)出：①有,可推知分布具有對稱性，即絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對稱性；②當(dāng)δ=0時(shí)有，即，可推知單峰性，即絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；③雖然函數(shù)的存在區(qū)間是[-∞,+∞]，但實(shí)際上，隨機(jī)誤差δ只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即[-kσ,+kσ],稱為誤差的有界性；④隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零：這稱為誤差的補(bǔ)償性。返回本章目錄從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差都具有的四個(gè)特征：對稱性、單峰性、有界性、抵償性。由于多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。第一節(jié)隨機(jī)誤差第6頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。σ值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，θ值為曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)，ρ值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。

第一節(jié)隨機(jī)誤差第7頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二對某量進(jìn)行一系列等精度測量時(shí)，由于存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。

(一)算術(shù)平均值的意義設(shè)為n次測量所得的值，則算術(shù)平均值為:

(2-8)

第一節(jié)隨機(jī)誤差三、算術(shù)平均值第8頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二下面來證明當(dāng)測量次數(shù)無限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近于真值Lo。即由前面正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第四特征可知，因此

由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無限多次測量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當(dāng)測量次數(shù)無限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然值）被認(rèn)為是最接近于真值的理論依據(jù)。但由于實(shí)際上都是有限次測量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。第一節(jié)隨機(jī)誤差第9頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

一般情況下，被測量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為殘余誤差，簡稱殘差：(2-9)

此時(shí)可用更簡便算法來求算術(shù)平均值。任選一個(gè)接近所有測得值的數(shù)作為參考值，計(jì)算每個(gè)測得值與的差值：(2-10)

式中的為簡單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡單。

若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量，即滿足無偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。第一節(jié)隨機(jī)誤差第10頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二例2-1

測量某物理量10次，得到結(jié)果見表2-1，求算術(shù)平均值。解：任選參考值=1879.65，計(jì)算差值和列于表很容易求得算術(shù)平均值＝1879.64。

（二）算術(shù)平均值的計(jì)算校核算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來校核。由，式中的是根據(jù)（2-8）計(jì)算的，當(dāng)求得的為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則有：(2-11)殘余誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來校核算術(shù)平均值及其殘余誤差計(jì)算的正確性。但當(dāng)實(shí)際得到的為經(jīng)過湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存在序號123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

第一節(jié)隨機(jī)誤差第11頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二舍入誤差Δ，即有：成立。而經(jīng)過分析證明，用殘余誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為：①殘差代數(shù)和應(yīng)符合：當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為零；當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為正，其大小為求時(shí)的余數(shù)；當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為負(fù)，其大小為求時(shí)的虧數(shù)。②殘差代數(shù)和絕對值應(yīng)符合：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，。式中的A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個(gè)單位。以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實(shí)際運(yùn)算情況選擇一種進(jìn)行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測得值之和。第一節(jié)隨機(jī)誤差第12頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

例2-2用例2-1數(shù)據(jù)對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。解：因n為偶數(shù)，A＝0.01，由表2-1知

故計(jì)算結(jié)果正確。例2-3

測量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并進(jìn)行校核。

解：算術(shù)平均值為：取＝2000.067序號

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

第一節(jié)隨機(jī)誤差第13頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二用第一種規(guī)則校核，則有：用第二種規(guī)則校核，則有：故用兩種規(guī)則校核皆說明計(jì)算結(jié)果正確。第一節(jié)隨機(jī)誤差第14頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二（一）均方根誤差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）σ

為什么用σ來作為評定隨機(jī)誤差的尺度？可以從高斯（正態(tài)）分布的分布密度推知：令，則有：

高斯參數(shù)h為精密度。由于h值無法以實(shí)驗(yàn)中得到，故以σ值代之。

第一節(jié)隨機(jī)誤差四、測量的標(biāo)準(zhǔn)差第15頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

由于σ值反映了測量值或隨機(jī)誤差的散布程度，因此σ值可作為隨機(jī)誤差的評定尺度。σ值愈大，函數(shù)減小得越慢；σ值愈小，減小得愈快，即測量到的精密度愈高，如圖2-2所示。

標(biāo)準(zhǔn)差σ不是測量到中任何一個(gè)具體測量值的隨機(jī)誤差，σ的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機(jī)誤差δ，一般都不等于σ，但卻認(rèn)為這一系列測量列中所有測得值都屬于同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差σ的概率分布。在不同條件下，對同一被測量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。第一節(jié)隨機(jī)誤差第16頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二（二）或然誤差ρ

測量列的或然誤差ρ，它將整個(gè)測量列的n個(gè)隨機(jī)誤差分為個(gè)數(shù)相等的兩半。其中一半（n/2個(gè)）隨機(jī)誤差的數(shù)值落在-ρ—+ρ范圍內(nèi)，而另一半隨機(jī)誤差的數(shù)值落在-ρ—+ρ范圍以外：，查表，得到時(shí)，z=0.6745，故有其實(shí)際意義是：若有n個(gè)隨機(jī)誤差，則有n/2個(gè)落在區(qū)間[-ρ,+ρ]之內(nèi)，而另外n/2個(gè)隨機(jī)誤差則落在此區(qū)間之外。（三）算術(shù)平均誤差θ

測量列算術(shù)平均誤差θ的定義是：該測量列全部隨機(jī)誤差絕對值的算術(shù)平均值，用下式表示：由概率積分可以得到θ與σ的關(guān)系：

目前世界各國大多趨于采用σ作為評定隨機(jī)誤差的尺度。這是因?yàn)椋?/p>

①σ的平方恰好是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一（方差），σ本身又第一節(jié)隨機(jī)誤差第17頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二恰好是高斯誤差方程式中的一個(gè)參數(shù)，即，所以采用σ，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合；②σ對大的隨機(jī)誤差很敏感，能更準(zhǔn)確地說明測量列的精度；③極限誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系簡單：；④公式推導(dǎo)和計(jì)算比較簡單。五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法

（一）等精度測量到單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算1、貝塞爾(Bessel)公式

(2-13)

式中，稱為算術(shù)平均值誤差將它和代入上式，則有(2-14)第一節(jié)隨機(jī)誤差第18頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二將上式對應(yīng)相加得：，即(2-15)若將式(2-14)平方后再相加得：(2-16)將式(2-15)平方有：當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為趨近于零，并將代入式(2-16)得：(2-17)由于，代入式(2-17)得：，即(2-18)第一節(jié)隨機(jī)誤差第19頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二2、別捷爾斯法

由貝賽爾公式得：進(jìn)一步得：則平均誤差有：

由式2-6得：故有：

(2-26)

此式稱為別捷爾斯（Peters）公式，它可由殘余誤差的絕對值之和求出單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：(2-27)第一節(jié)隨機(jī)誤差第20頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

例2-4

用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。

解：計(jì)算得到的值分別填于表中，因此有3、極差法用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求殘余誤差，然后進(jìn)行其他運(yùn)算，計(jì)算過程比較復(fù)雜。當(dāng)要求簡便迅速序號1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

第一節(jié)隨機(jī)誤差第21頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二算出標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可用極差法。若等精度多次測量測得值服從正態(tài)分布，在其中選取最大值與最小值，則兩者之差稱為極差：(2-28)

根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學(xué)期望為(2-29)

因故可得的無偏估計(jì)值，若仍以表示，則有(2-30)

式中的數(shù)值見表2-4。n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74第一節(jié)隨機(jī)誤差第22頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

例2-5仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。解：4、最大誤差法在某些情況下，我們可以知道被測量的真值或滿足規(guī)定精度的用來代替真值使用的量值（稱為實(shí)際值或約定值），因而能夠算出隨機(jī)誤差，取其中絕對值最大的一個(gè)值，當(dāng)各個(gè)獨(dú)立測量值服從正態(tài)分布時(shí)，則可求得關(guān)系式：(2-31)

一般情況下，被測量的真值為未知，不能按（2-31）式求標(biāo)準(zhǔn)差，應(yīng)按最大殘余誤差進(jìn)行計(jì)算，其關(guān)系式為：(2-32)

式（2-31）和（2-32）中兩系數(shù)、的倒數(shù)見表2-5。第一節(jié)隨機(jī)誤差第23頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

最大誤差法簡單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。當(dāng)時(shí)，最大誤差法具有一定精度。例2-6

仍用表2-3的測量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差，則有，而故標(biāo)準(zhǔn)差為n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44第一節(jié)隨機(jī)誤差第24頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

例2-7

某激光管發(fā)出的激光波長經(jīng)檢定為，由于某些原因未對次檢定波長作誤差分析，但后來又用更精確的方法測得激光波長，試求原檢定波長的標(biāo)準(zhǔn)差。解：因后測得的波長是用更精確的方法，故可認(rèn)為其測得值為實(shí)際波長(或約定真值)，則原檢定波長的隨機(jī)誤差為：

故標(biāo)準(zhǔn)差為：

5、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)

①貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開方等，其計(jì)算速度難于滿足快速自動(dòng)化測量的需要；②別捷爾斯公式最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍；③用極差法計(jì)算σ，非常迅速方便，可用來作為校對公式，當(dāng)n<10時(shí)可第一節(jié)隨機(jī)誤差第25頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

用來計(jì)算σ，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏公式；④用最大誤差法計(jì)算σ更為簡捷，容易掌握，當(dāng)n<10時(shí)可用最大誤差法，計(jì)算精度大多高于貝氏公式，尤其是對于破壞性實(shí)驗(yàn)(n=1)只能應(yīng)用最大誤差法。（二）多次測量的測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

在多次測量的測量列中，是以算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評定標(biāo)準(zhǔn)。如果在相同條件下對同一量值作多組重復(fù)的系列測量，每一系列測量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，各個(gè)測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測量的各個(gè)獨(dú)立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)。由式(2-8)已知算術(shù)平均值為：取方差得因故有第一節(jié)隨機(jī)誤差第26頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

所以(2-21)

即在n次測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的，當(dāng)n愈大，算術(shù)平均值越接近被測量的真值，測量精度也愈高。增加測量次數(shù)，可以提高測量精度，但測量精度是與n的平方根成反比，因此要顯著提高測量精度，必須付出較大的勞動(dòng)。由圖2-3可知,σ一定時(shí)，當(dāng)n>10以后，的減小很慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜。總之，提高測量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。第一節(jié)隨機(jī)誤差第27頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

評定算術(shù)平均值的精度標(biāo)準(zhǔn)，也可用或然誤差R或平均誤差T，相應(yīng)公式為：(2-22)(2-23)

若用殘余誤差表示上述公式，則有：(2-24)(2-25)

例2-8用游標(biāo)卡尺對某一尺寸測量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。解：本例題中的測量數(shù)據(jù)與表2-3中的測量數(shù)據(jù)一樣，表中的算術(shù)平均值為。因?yàn)椋谝还?jié)隨機(jī)誤差第28頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

與表中的結(jié)果一致，故計(jì)算正確。根據(jù)上述各個(gè)誤差計(jì)算公式可得：六、測量的極限誤差

測量的極限誤差是極端誤差，測量結(jié)果（單次測量或測量列的算術(shù)平均值）的誤差不超過該極端誤差的概率為p，并使差值（1-p）可予忽略。（一）單次測量的極限誤差測量列的測量次數(shù)足夠多和單次測量誤差為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概第一節(jié)隨機(jī)誤差第29頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

率論知識，正態(tài)分布曲線和橫坐標(biāo)軸間所包含的面積等于其相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即：當(dāng)研究誤差落在區(qū)間（-δ,+δ）之間的概率時(shí)，則得：(2-33)

將上式進(jìn)行變量置換，設(shè)經(jīng)變換，上式成為：(2-34)

這樣我們就可以求出積分值p，為了應(yīng)用方便，其積分值一般列成表格形式，稱為概率函數(shù)積分值表。當(dāng)t給定時(shí)，φ(t)值可由該表查出?，F(xiàn)已查出t=1,2,3,4等幾個(gè)特殊值的積分值，并求出隨機(jī)誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=2φ(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率p’=1-2φ(t)，如表2-6所示（圖2－4）。由表可以看出，隨著t的增大，超出|δ|的概率減小得很快。當(dāng)?shù)谝还?jié)隨機(jī)誤差第30頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二t=2，即|δ|=2σ時(shí)，在22次測量中只有1次的誤差絕對值超出2σ范圍；而當(dāng)t=3，即

|δ|=3σ時(shí)，在370次測量中只有1次誤差絕對值超出3σ范圍。由于在一般測量中，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認(rèn)為絕對值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個(gè)誤差稱為單次測量的極限誤差，即

(2-35)

當(dāng)t＝3時(shí)，對應(yīng)的概率p＝99.73％。在實(shí)際測量中，有時(shí)也可取其它t值來表示單次測量的極限誤差。如第一節(jié)隨機(jī)誤差t不超出的概率超出的概率測量次數(shù)n超出的測量次數(shù)0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111第31頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

取t＝2.58，p＝99％；t＝2，p＝95.44％；t＝1.96，p＝95％等。因此一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示：(2-36)

若已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差σ，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測量的極限誤差。（二）算術(shù)平均值的極限誤差測量列的算術(shù)平均值與被測量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差，即。當(dāng)多個(gè)測量列的算術(shù)平均值誤差為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識，同樣可得測量列算術(shù)平均值的極限表達(dá)式為：(2-37)

式中的t為置信系數(shù)，為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通常取t＝3，則(2-38)

實(shí)際測量中有時(shí)也可取其它t值來表示算術(shù)平均值的極限誤差。但當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布(“student”distribution)或稱t分布來計(jì)算測量列算術(shù)平均值的極限誤差，即

(2-39)第一節(jié)隨機(jī)誤差第32頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

式中的為置信系數(shù)，它由給定的置信概率和自由度來確定，具體數(shù)值見附錄3；為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取=0.01或0.02,0.05；n為測量次數(shù)；為n次測量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。對于同一測量列，按正態(tài)分布和t分布分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。例2-9

對某量進(jìn)行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。解：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差

因測量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差。已知，取，則由附錄表3查得，則有：第一節(jié)隨機(jī)誤差第33頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

若按正態(tài)分布計(jì)算，取，相應(yīng)的置信概率，由附錄表1查得t＝2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為：由此可見，當(dāng)測量次數(shù)較少時(shí)，按兩種分布計(jì)算的結(jié)果有明顯的差別。七、不等精度測量①在實(shí)際測量過程中，由于客觀條件的限制，測量條件是變動(dòng)的，得到了不等精度測量。②對于精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測量結(jié)果，需要在不同的實(shí)驗(yàn)室，用不同的測量方法和測量儀器，由不同的人進(jìn)行測量。如果這些測量結(jié)果是相互一致的。那么測量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測量條件而進(jìn)行的不等精度測量。③對于某一個(gè)未知量，歷史上或近年來有許多人進(jìn)行精心研究和精密測量，得到了不同的測量結(jié)果。我們就需要將這些測量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到一個(gè)最為滿意的準(zhǔn)確的測量結(jié)果。這也是不等精度測量。對于不等精度測量，計(jì)算最后測量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差），不第一節(jié)隨機(jī)誤差第34頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

能套用前面等精度測量的計(jì)算公式，需推導(dǎo)出新的計(jì)算公式。（一）權(quán)的概念在等精度測量中，各個(gè)測量值認(rèn)為同樣可靠，并取所有測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。在不等精度測量中，各個(gè)測量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡單地取各測量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測量結(jié)果在最后測量結(jié)果中占有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這數(shù)值即稱為該測量結(jié)果的“權(quán)”，記為，可以理解為當(dāng)它與另一些測量結(jié)果比較時(shí)，對該測量結(jié)果所給予信賴程度。（二）權(quán)的確定方法測量結(jié)果的權(quán)說明了測量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來確定權(quán)的大小。最簡單的方法可按測量的次數(shù)來確定權(quán)，即測量條件和測量者水平皆相同，則重復(fù)測量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數(shù)來確定權(quán)的大小，即。假定同一被測量有m組不等精度的測量結(jié)果，這m組測量結(jié)果是從單次測量精度相同而測量次數(shù)不同的一系列測量值求得的算術(shù)平均值。因第一節(jié)隨機(jī)誤差第35頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

為單次測量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為σ，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：(2-40)

由此得下列等式因?yàn)?，故上式又可寫?2-41)

或表示為(2-42)

即：每組測量結(jié)果的權(quán)（）與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差平方（）成反比，若已知（各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差），則可由（2-42）得到相應(yīng)的大小。測量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個(gè)無量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時(shí)增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)系不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再放簡的整數(shù)，以便用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)。例2-10

對一級鋼卷尺的長度進(jìn)行了三組不等精度測量，其結(jié)果為第一節(jié)隨機(jī)誤差第36頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

求各測量結(jié)果的權(quán)。解：由式(2-42)得因此各組的權(quán)可取為（三）加權(quán)算術(shù)平均值若對同一被測量進(jìn)行m組不等精度測量，得到m個(gè)測量結(jié)果為：，設(shè)相應(yīng)的測量次數(shù)為n1,n2,…,nm，即：

(2-43)

根據(jù)等精度測量算術(shù)平均值原理，全部測量的算術(shù)平均值應(yīng)為：第一節(jié)隨機(jī)誤差第37頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

將式(2-43)代入上式得：或簡寫為(2-44)

當(dāng)各組的權(quán)相等，即時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值可簡化為：(2-45)

由上式求得得結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見等精度測量是不等精度測量得特殊情況。為簡化計(jì)算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為：(2-46)

式中的為接近的任選參考值。第一節(jié)隨機(jī)誤差第38頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

例2-11

工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為999.9425mm(三次測量的)，999.9416mm(兩次測量的)，999.9419mm(五次測量的)，求最后測量結(jié)果。解：按測量次數(shù)來確定權(quán)：，選，則有

(四)單位權(quán)的概念由式（2-41）知，此式又可表示為

(2-47)

式中為某精度單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，具有同一方差的等精度單次測量值的權(quán)數(shù)為1。若已知，只要確定，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方差。由于測得值的方差的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，而為具有單位權(quán)的測得值方差，為具有單位權(quán)的測得值標(biāo)準(zhǔn)差。利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測量問題化為等權(quán)測量問題來處理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)，是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。第一節(jié)隨機(jī)誤差第39頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

例如，將不等精確測量的各組測量結(jié)果皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，此時(shí)得到的新值z的權(quán)數(shù)就為1。證明之：設(shè)取方差

以權(quán)數(shù)字表示上式中的方差，則

由此可知，單位權(quán)化以后得到的新值的權(quán)數(shù)為1，用這種方法可以把不等精度的各組測量結(jié)果皆進(jìn)行了單位權(quán)化，使該測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列。不等精度測量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測量列來處理。第一節(jié)隨機(jī)誤差第40頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差對同一個(gè)被測量進(jìn)行m組不等精度測量，得到m個(gè)測量結(jié)果為：若已知單位權(quán)測得值的標(biāo)準(zhǔn)差σ，則由式（2-40）知

全部（m×n個(gè)）測得值的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：比較上面兩式可得：(2-48)

因?yàn)榇胧剑?-48）得(2-49)第一節(jié)隨機(jī)誤差第41頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

當(dāng)各組測得的總權(quán)數(shù)為已知時(shí)，可由任一組的標(biāo)準(zhǔn)差和相應(yīng)的權(quán)，或者由單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差σ求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)各組測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為未知時(shí)，則不能直接用式（2-49），而必須由各測量結(jié)果的殘余誤差來計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。已知各組測量結(jié)果的殘余誤差為：將各組單位權(quán)比，則有：上式中各組新值已為等精度測量列的測量結(jié)果，相應(yīng)的殘差也成為等精度測量列的殘余誤差，則可用等精度測量時(shí)的Bessel公式推導(dǎo)得到：(2-50)

將式（2-50）代入式（2-49）得(2-51)第一節(jié)隨機(jī)誤差第42頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

用式（2-51）可由各組測量結(jié)果的殘余誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，但是只有組數(shù)m足夠多時(shí)，才能得到較為精確的值。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計(jì)值。例2-12

求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。解：由加權(quán)算術(shù)平均值，可得各組測量結(jié)果的殘余誤差為：，又已知

代入式(2-51)得八、隨機(jī)誤差的其他分布正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。(一)均勻分布

在測量實(shí)踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點(diǎn)是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形第一節(jié)隨機(jī)誤差第43頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二分布或等概率分布。均勻分布的分布密度（圖2-5）和分布函數(shù)分別為：（2-52）（2-53）它的數(shù)學(xué)期望為：（2-54）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：（2-55）（2-56）(二)反正弦分布反正弦分布實(shí)際上是一種隨機(jī)誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點(diǎn)是該隨機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的分布密度（圖2-6）和分布函數(shù)分別為：(2-57)第一節(jié)隨機(jī)誤差第44頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

（2-57）它的數(shù)學(xué)期望為：（2-58）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：（2-59）（2-60）（三）三角形分布

當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從均勻分布的隨機(jī)誤差求和時(shí)，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。實(shí)際測量中，若整個(gè)測量過程必須進(jìn)行兩次才能完成，而每次測量的隨機(jī)誤差服從相同的均勻分布，則總的測量誤差為三角形分布誤差。三角形分布的分布密度（圖2-7）和分布函數(shù)分別為：(2-61)第一節(jié)隨機(jī)誤差第45頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

（2-63）它的數(shù)學(xué)期望為：（2-64）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：（2-65）

（2-66）如果對兩個(gè)誤差限為不相等的均勻分布隨機(jī)誤差求和時(shí)，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點(diǎn)分布等，在此不做一一敘述。（四）分布令為個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。定義一個(gè)新的隨機(jī)變量

(2-67)

隨機(jī)變量稱為自由度為的卡埃平方變量。自由度表示上式中項(xiàng)數(shù)或第一節(jié)隨機(jī)誤差第46頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。分布的分布密度如圖2-8所示。

(2-68)

式中的函數(shù)。它的數(shù)學(xué)期望為：

(2-69)

它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：(2-70)(2-71)

在本書最小二乘法中要用到分布，此外它也是t分布和F分布的基礎(chǔ)。由圖2-8的兩條理論曲線看出，當(dāng)逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對稱?？梢宰C明當(dāng)足夠大時(shí)，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。（五）t分布 第一節(jié)隨機(jī)誤差第47頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

令和是獨(dú)立的隨機(jī)變量，具有自由度為的分布函數(shù)，具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為(2-72)

隨機(jī)變量t稱自由度為的學(xué)生氏t變量。

t分布的分布密度為（圖2-9）：

(2-73)

它的數(shù)學(xué)期望為：(2-74)

它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：(2-75)(2-76)

t分布的數(shù)學(xué)期望為零，分布曲線對稱于縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-9所示。可以證明，當(dāng)自由度較小時(shí)，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度時(shí)，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。第一節(jié)隨機(jī)誤差第48頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二（六）F分布若具有自由度為的卡埃平方分布函數(shù)，具有自由度為的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機(jī)變量為(2-77)

隨機(jī)變量F稱為自由度為、的F變量。

F分布的分布密度如圖2-10所示。

(2-78)

它的數(shù)學(xué)期望為：(2-79)

它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

(2-80)(2-81)

F分布也是一種重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。第一節(jié)隨機(jī)誤差第49頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

第二節(jié)系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差的特征與分類系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的減小和消除方法第50頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二研究系統(tǒng)誤差的重要意義第二節(jié)系統(tǒng)誤差實(shí)際上測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測量結(jié)果的精度，不僅取決于隨機(jī)誤差，還取決于系統(tǒng)誤差的影響。由于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重復(fù)測量又不能減小它對測量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。系統(tǒng)誤差是指在確定的測量條件下，某種測量方法和裝置，在測量之前就已存在誤差，并始終以必然性規(guī)律影響測量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。第51頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因

系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于：①測量裝置方面的因素②環(huán)境方面的因素③測量方法的因素④測量人員的因素第二節(jié)系統(tǒng)誤差計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時(shí)的實(shí)際溫度對標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習(xí)性引起的誤差等。第52頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二第二節(jié)系統(tǒng)誤差二、系統(tǒng)誤差的分類和特征系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下，多次測量同一測量值時(shí)，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。由系統(tǒng)誤差的特征可知，在多次重復(fù)測量同一值時(shí)，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差。從廣義上講，系統(tǒng)誤差是指服從某一確定規(guī)律變化的誤差。圖2-11為各種系統(tǒng)誤差⊿隨測量過程t變化而表現(xiàn)出不同特征。曲線a為不變的系統(tǒng)誤差，曲線b為線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線c為非線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線d為周期性變化的系統(tǒng)誤差，曲線e為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。根據(jù)系統(tǒng)誤差在測量過程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。第53頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二第二節(jié)系統(tǒng)誤差（一）不變系統(tǒng)誤差

固定系統(tǒng)誤差是指在整個(gè)測量過程中，誤差的大小和符號始終是不變的。如千分尺或測長儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差，量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等，均為不變系統(tǒng)誤差。它對每一測量值的影響均為一個(gè)常量，屬于最常見的一類系統(tǒng)誤差。（二）變化系統(tǒng)誤差

變化系統(tǒng)誤差指在整個(gè)測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個(gè)或某幾個(gè)因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，其種類較多，又可分為以下幾種：

①線性變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測量過程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差。例如，量塊中心長度隨溫度的變化：第54頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二第二節(jié)系統(tǒng)誤差

②周期變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測量過程中，隨某因素作周期變化的系統(tǒng)誤差。例如，儀表指針的回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心有一個(gè)偏心量e

，則指針在任一轉(zhuǎn)角處引起的讀數(shù)誤差為。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線規(guī)律，當(dāng)指針在0

和180時(shí)誤差為零，而在90和270

時(shí)誤差絕對值達(dá)最大。

③復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測量過程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為復(fù)雜的規(guī)律變化，稱其為復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。

例如，微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。這些復(fù)雜規(guī)律一般可用代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式或其它正交函數(shù)多項(xiàng)式來描述。第55頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二第二節(jié)系統(tǒng)誤差由于形成系統(tǒng)誤差的原因復(fù)雜，目前尚沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是……我們可針對不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識別：1、用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實(shí)驗(yàn)對比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法；2、用于發(fā)現(xiàn)各組測量這間的系統(tǒng)誤差，包括計(jì)算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗(yàn)法、和t

檢驗(yàn)法。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法第56頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二第二節(jié)系統(tǒng)誤差

1、實(shí)驗(yàn)對比法實(shí)驗(yàn)對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。

2、殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個(gè)殘余誤差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。（一）測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第57頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二故有(2-82)若系統(tǒng)誤差顯著大于隨機(jī)誤差，可予忽略，則得(2-83)

3、殘余誤差校核法(有兩種方法)

①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差：設(shè)有測量列，它們的系統(tǒng)誤差為，它們不含系統(tǒng)誤差之值為，有下式成立：第二節(jié)系統(tǒng)誤差它們的算術(shù)平均值為:因

由上式看出，顯著含有系統(tǒng)誤差的測量列，其任一測量值的殘余誤差約為系統(tǒng)誤差與測量列系統(tǒng)誤差平均值之差。第58頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)式(2-82)，若將測量列中前K個(gè)殘余誤差相加，后n-K個(gè)殘余誤差相加(當(dāng)n為偶數(shù)，取K=n/2；n為奇數(shù)，取K=(n+1)/2)，兩者相減得：

當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，有：第二節(jié)系統(tǒng)誤差所以得：(2-84)若上式的兩部分值Δ顯著不為O，則有理由認(rèn)為測量列存在線性系統(tǒng)誤差。這種校核法又稱“馬列科夫準(zhǔn)則”，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時(shí)按殘余誤差校核法求得差值Δ=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。第59頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二②用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差：若一等精度測量列，接測量先后順序?qū)堄嗾`差排列為，如果存在著按此順序呈周期性變化的系統(tǒng)誤差，則相鄰的殘余誤差的差值()符號也將出現(xiàn)周期性的正負(fù)號變化，因此由差值()可以判斷是否存在周期性系統(tǒng)誤差，但是這種方法只有當(dāng)周期性系統(tǒng)誤差是整個(gè)測量誤差的主要成分時(shí)，才有實(shí)用效果。否則，差值()符號變化將主要取決于隨機(jī)誤差，以致不能判斷出周期性系統(tǒng)誤差。在此情況下，可用統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行判斷，令

第二節(jié)系統(tǒng)誤差若(2-85)則認(rèn)為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫阿卑——赫梅特準(zhǔn)則（Abbe-Helmert準(zhǔn)則），它能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。

第60頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法對等精度測量，可用不同分式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式：按別捷爾斯公式：令若(2-86)則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。在判斷含有系統(tǒng)誤差時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。

第二節(jié)系統(tǒng)誤差第61頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二則任意兩組結(jié)果與間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是：若對同一量獨(dú)立測量得m組結(jié)果，并知它們的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：(二)測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差(2-87)而任意兩組結(jié)果之差為：其標(biāo)準(zhǔn)差為：1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法

對同一量進(jìn)行多組測量得到很多數(shù)據(jù)，通過多組數(shù)據(jù)計(jì)算比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機(jī)誤差條件，否則可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。第62頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二2、秩和檢驗(yàn)法——用于檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)間的系統(tǒng)誤差

對某量進(jìn)行兩組測量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗(yàn)法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。第二節(jié)系統(tǒng)誤差

若獨(dú)立測得兩組的數(shù)據(jù)為：

將它們混和以后，從1開始，按從小到大的順序重新排列，觀察測量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號，它的測得值在混合后的次序編號（即秩），再將所有測得值的次序相加，得到的序號號即為秩和T。

1）兩組的測量次數(shù)，可根據(jù)測量次數(shù)較少的組的次數(shù)n1

和測量次數(shù)較多的組的次數(shù)n2，由秩和檢驗(yàn)表2-10查得T-

和T+

（顯著度0.05），若(2-88)

則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。第63頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二243112531326414274162841829420210521336153471735720368223792438927391029310113144122445132746143047153348163649173941018425519365620405722435823475925505102654662820673054683258693363610356777396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127第二節(jié)系統(tǒng)誤差2）當(dāng)，秩和T近似服從正態(tài)分布括號中第一項(xiàng)為數(shù)學(xué)期望，第二項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí)T-

和T+

可由正態(tài)分布算出。根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值a和標(biāo)準(zhǔn)，則：選取概率，由正態(tài)分布分表（附錄表1）查得t，若，則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。（教材P40頁）第64頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表查表2-10得例2-16對某量測得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無系統(tǒng)誤差。

xi:14.7,14.8,15.2,15.6;yi：14.6,15.0,15.1i123456714.714.815.215.614.615.015.1第二節(jié)系統(tǒng)誤差

已知計(jì)算秩和T=1+4+5=10

因故無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。注意：若兩組數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按所排列的兩個(gè)次序的平均值計(jì)算。第65頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二令變量(2-89)

由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知，變量t是服從自由度為()的t分布變量。3、t檢驗(yàn)法第二節(jié)系統(tǒng)誤差當(dāng)兩組測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，或偏離正態(tài)不大但樣本數(shù)不是太少（最好不少于20）時(shí)，可用t檢驗(yàn)法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。

設(shè)獨(dú)立測得兩組數(shù)據(jù)為：

其中第66頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二注意:(2-89)式中使用的和,不是方差的無偏估計(jì)，若將貝塞爾計(jì)算的和用于上式，則該式應(yīng)作相應(yīng)的變動(dòng)。由及取，查t分布表(附錄表3)得，又因，故無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。則解：

取顯著性水平α，由t分布表（附錄表3）查出中的。若，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差例2-17對某量測得兩組數(shù)據(jù)為：

x：1.9，0.8，1.1，0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0第67頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）消誤差源法

用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。它要求測量人員，對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在正式測試前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于具體條件不同，在分析查找誤差源時(shí)，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應(yīng)予考慮的：①所用基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波容器等）是否準(zhǔn)確可靠；②所用量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書；③儀器的調(diào)整、測件的安裝定位和支承裝卡是否正確合理；④所采用的測量方法和計(jì)算方法是否正確，有無理論誤差；⑤測量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度、振動(dòng)、塵污、氣流等；⑥注意避免測量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。第二節(jié)系統(tǒng)誤差第68頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二（二）加修正值法這種方法是預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計(jì)算出來，取與誤差大小相同而符號相反的值作為修正值，將測得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。如量塊的實(shí)際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應(yīng)按經(jīng)過檢定的實(shí)際尺寸（即將量塊的公稱尺寸加上修正量）使用，就可避免此項(xiàng)系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生。采用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差，關(guān)鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律對恒定系統(tǒng)誤差，可采用檢定方法，對已知基準(zhǔn)量重復(fù)測量取其均值，即為其修正值。對可變系統(tǒng)誤差，按照某變化因素，依次取得已知基準(zhǔn)量的一系列測值，再計(jì)算其差值，按最小二乘法確定它隨該因素變化的函數(shù)關(guān)系式，取其負(fù)值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。關(guān)于最小二乘法將在本課程后面介紹。由于修正值本身也包含有一定的誤差，因此用這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，總要?dú)埩羯倭康南到y(tǒng)誤差。由于這些殘留的系統(tǒng)誤差相對隨機(jī)誤差而言已不明顯了，往往可以把它們統(tǒng)歸成偶然誤差來處理。第二節(jié)系統(tǒng)誤差第69頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二（三）改進(jìn)測量方法在測量過程中，根據(jù)具體的測量條件和系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，采取一定的技術(shù)措施，選擇適當(dāng)?shù)臏y量方法，使測得值中的系統(tǒng)誤差在測量過程中相互抵消而不帶入測量結(jié)果之中，從而實(shí)現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。

1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法

在沒有條件或無法獲之基準(zhǔn)測量的情況，難以用檢定法確定恒定系統(tǒng)誤差并加以消除。這時(shí)必須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臏y量方法，使恒定系統(tǒng)誤差在測量過程中予以消除，常用的方法有：①反向補(bǔ)償法：先在有恒定系統(tǒng)誤差的狀態(tài)下進(jìn)行一次測量，再在該恒定系統(tǒng)誤差影響相反的另一狀態(tài)下測一次，取兩次測量的平均值作為測量結(jié)果，這樣，大小相同但符號相反的兩恒定系統(tǒng)誤差就在相加后再平均的計(jì)算中互相抵消了。例如，在紅顯上測螺紋的螺距、半角等參數(shù)，就是采用抵消法來消除恒定系統(tǒng)誤差的典型例子。如測螺距，左右各測一次，得與（正確值為P）為：，Δ為儀器兩頂尖不同心使被測螺紋件偏斜而產(chǎn)生的恒定系統(tǒng)誤差。將平均后，Δ即可抵消：第二節(jié)系統(tǒng)誤差第70頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

在使用絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)測微小位移時(shí)，為消除微絲杠與螺母間的配合間隙等因素引起的定回誤差，往往采用往返兩個(gè)方向的兩次讀數(shù)取均值作為測量結(jié)果，以補(bǔ)償定回誤差的影響。②代替法：代替法的實(shí)質(zhì)是在測量裝置上對被測量測量后不改變測量條件，立即用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量代替被測量，放到測量裝置上再次進(jìn)行測量，從而求出被測量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值，即：被測量＝標(biāo)準(zhǔn)差＋差值③抵消法：這種方法要求進(jìn)行兩次測量，以便使兩次讀數(shù)時(shí)出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號相反，取兩次測得值的平均值，作為測量結(jié)果，即可消除系統(tǒng)誤差。這種方法跟反向補(bǔ)償法相似。④交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。如圖2-18等臂天平稱重,先將被測量X放于天平一側(cè)，砝碼放于其另一側(cè)，調(diào)至天平平衡，則有。若將X與P交換位置，由于（存在恒定統(tǒng)誤差的緣故），天平將失去平衡。原砝碼P調(diào)整為砝碼才使天平再次平衡，于是有第二節(jié)系統(tǒng)誤差第71頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

，則取，即可消除天平兩臂不等造成的系統(tǒng)誤差。

2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法——對稱法

對稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方法，如圖2-19所示。隨著時(shí)間的變化，被測量作線性增加，若選定某時(shí)刻為對稱中點(diǎn)，則此對稱點(diǎn)的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆相等。即利用這一特點(diǎn)，可將測量對稱安排，取各對稱點(diǎn)兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。例如測定量塊平面平行性時(shí)（見圖2-20）,先以標(biāo)準(zhǔn)量塊A的中心0點(diǎn)對零，然后按圖中所示被檢量塊B上的順序逐點(diǎn)檢定，再按相反順序進(jìn)行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點(diǎn)的測得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差第72頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法——半周期法對周期性誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差一般可表示為：設(shè)時(shí)，誤差為：當(dāng)時(shí)，即相差半周期的誤差為：取兩次讀數(shù)平均值則有由此可知半周期法能消除周期性系統(tǒng)誤差。例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。

4、消除復(fù)雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差的方法通過構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)回歸統(tǒng)計(jì)，對復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償和修正。第二節(jié)系統(tǒng)誤差第73頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

采用組合測量等方法，使系統(tǒng)誤差以盡可能多的組合方式出現(xiàn)于被測量中，使之具有偶然誤差的抵償性，即以系統(tǒng)誤差隨機(jī)化的方式消除其影響，這種方法叫組合測量法。如用于檢定線紋尺的組合定標(biāo)法和度盤測量中的定角組合測量法以及力學(xué)計(jì)量中檢定砝碼的組合測量法等。第二節(jié)系統(tǒng)誤差第74頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二

在一系列重復(fù)測量數(shù)據(jù)中，如有個(gè)別數(shù)據(jù)與其它的有明顯差異，則它（或它們）很可能含有粗大誤差（簡稱粗差），稱其為可疑數(shù)據(jù)，記為。根據(jù)隨機(jī)誤差理論，出現(xiàn)大誤差的概率雖然小，但也是可能的。因此，如果不恰當(dāng)剔除含大誤差的數(shù)據(jù)，會造成測量精密度偏高的假象。反之如果對混有粗大誤差的數(shù)據(jù)，即異常值，未加剔除，必然會造成測量精密度偏低的后果。以上兩種情況還都嚴(yán)重影響對的估計(jì)。因此，對數(shù)據(jù)中異常值的正確判斷與處理，是獲得客觀的測量結(jié)果的一個(gè)重要方法。一、粗大誤差產(chǎn)生的原因產(chǎn)生粗大誤差的原因是多方面的，大致可歸納為：①測量人員的主觀原因②客觀外界條件的原因測量者工作責(zé)任感不強(qiáng)、工作過于疲勞、缺乏經(jīng)驗(yàn)操作不當(dāng)，或在測量時(shí)不小心、不耐心、不仔細(xì)等，造成錯(cuò)誤的讀書或記錄。測量條件意外地改變（如機(jī)械沖擊、外界振動(dòng)、電磁干擾等）。第三節(jié)粗大誤差第75頁，共89頁，2023年，2月20日，星期二二、判別粗大誤差的準(zhǔn)則在測量過程中，確實(shí)是因讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)，儀器的突然故障，或外界條件的突變等異常情況引起的異常值，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)在記錄中除去，但需注明原因。這種從技術(shù)上和物理上找出產(chǎn)生異常值的原因，是發(fā)現(xiàn)和剔除粗大誤差的首要方法。有時(shí)，在測量完成后也不能確知數(shù)據(jù)中是否含有粗大誤差，這時(shí)可采用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行判別。統(tǒng)計(jì)法的基本思想是：給定一個(gè)顯著性水平，按一定分布確定一個(gè)臨界值，凡超過這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。在判別某個(gè)測得值是否含有粗大誤差時(shí)，要特