非正弦周期函數的傅里葉級數展開式

非正弦周期函數的傅里葉級數展開式第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

對于周期性的激勵與響應，可以利用傅里葉級數分解為一系列不同頻率的簡諧分量,再根據疊加定理。所以線性電路對非正弦周期性激勵的穩(wěn)態(tài)響應，等于組成激勵信號的各簡諧分量分別作用于電路時所產生的響應的疊加。而響應的每一簡諧分量可用正弦穩(wěn)態(tài)分析的相量法求得。

第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二1.非正弦周期電流的產生

引起的電流或電壓便是非正弦周期電流，解決方法是？1）當電路中有多個不同頻率的電源同時作用基本要求：初步了解非正弦信號產生的原因。根據疊加定理，分別計算不同頻率的響應，然后將瞬時值結果疊加。第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

1.非正弦周期電流的產生

2）非正弦周期電壓源或電流源（例如方波、鋸齒波）

引起的響應也是非正弦周期量，如何求響應？基本要求：初步了解非正弦信號產生的原因。第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二3）有非線性元件引起的非正弦周期電流或電壓。對非正弦周期電流電路的分析方法：諧波分析法這些非正弦周期函數首先分解為不同頻率的傅里葉級數，然后求解不同頻率的正弦激勵的響應，最后將瞬時值結果疊加

。響應也是非正弦周期量，如何求響應？

1.非正弦周期電流的產生

基本要求：初步了解非正弦信號產生的原因。第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二§71非正弦周期函數的傅里葉級數展開式

周期函數

f(t)=f(t+kT)(k=1,2,3,…)若滿足狄里赫利條件則f(t)可展開為傅里葉級數：(2)函數f(t)在任一周期內只有有限個極大值和極小值；

(3)函數f(t)在任一周期內只有有限個不連續(xù)點；(1)函數f(t)在任一周期內絕對可積，即對于任意時刻t0，積分存在；1．傅里葉級數

第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二是角頻率,T是f(t)的周期。其中：(7-1)積分區(qū)間也可以?。?T/2,T/2）和（-p,p）第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二將式（7－1）中頻率w相同的項合并成一項，則可變形為：在電路分析中，傅里葉級數的另一種形式；應用相量運算可得：(7-1)(7-2)第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二根據周期函數的某些對稱性，可以簡化傅里葉系數的求解，分別討論三種情況：（1）f(t)函數為奇函數，f(t)=-f(-t)第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二（2）f(t)函數為偶函數，f(t)=f(-t)第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二（3）f(t)函數為奇諧波函數：f(t)=－f(t+T/2)；即：相隔半個周期的函數值大小相等，符號相反；也稱為半波對稱（鏡對稱）函數；k為奇數k為偶數k為奇數k為奇數k為偶數k為奇數第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二恒定分量（直流分量）k

=1—基波；—基波振幅，—基波初相k

=2,3稱為高次諧波,收斂的，次數越高，振幅越小2．諧波分析:

將周期函數分解為恒定、基波和各次諧波的方法；豎線為幅值譜線（振幅頻譜）長度表示Akm的量值；相鄰兩譜線的間隔等于基波ω。同樣相位頻譜,表示各次諧波的初相隨角頻率kω變動的情形?！?1非正弦周期函數的傅里葉級數展開式

第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二求周期性方波的傅里葉展開式。

所給波形在一個周期內的表達式：

例7－1解：第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二因為ak=0，所以：第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二說明:式中引入新的正整數n以區(qū)別原來的正整數k。

周期性方波的波形分解直流分量基波分量3次諧波分量振幅頻譜和相位頻譜第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二本節(jié)小結：1、頻譜圖直觀而清晰地表示出一個信號包含有哪些諧波分量，以及各諧波分量所占的比重和其間的相角關系，便于分析周期信號通過電路后它的各諧波分量的幅值和初相發(fā)生的變化。這對于研究如何正確地傳送信號有重要的意義。2、奇，偶函數的對稱性可能因原點的移動而遭破壞，奇諧波函數的對稱性不受原點移動的影響。3、適當選擇時間起點，可使有些函數具有一種以上的對稱性。4、對波形的對稱性的判斷可直觀地判斷哪些諧波存在，哪些諧波不存在。減少付立葉級數展開的工作量。

第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二1．函數f(t)在一個周期內的表達式，直接代入上式。

例7-2：

計算方波的有效值解：有效值：周期量的有效值等于其瞬時值的方均根值基本要求：理解非正弦周期量的有效值和平均功率的定義。第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二2．正弦級數形式求有效值有效值：7.2．非正弦周期量的有效值平均功率第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二基波、二次諧波…的有效值

有效值等于恒定分量、基波分量與各諧波分量有效值的平方和的平方根。有效值：2．正弦級數形式求有效值7.2．非正弦周期量的有效值平均功率第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二已知周期電流，求其有效值。解：例7－3：■平均值

平均值：電工技術中經常遇到上下半周期對稱的波，如正、余弦波，奇諧波等，在橫軸上下的面積相等，其平均值為零，在電工實踐中，還用到均絕值的概念，其數學式為：

取絕對值是將負值部分反號，即“全波整流”，就是“全波整流”后的平均值。第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二例7-4:求正弦電壓的平均值，并有效值與平均值之比;·有效值為:或VaU=0.9U·有效值與平均值之比:解：已知：u(t)=Umsinωt·平均值為:第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

設一端口網絡的端口電壓、電流取關聯(lián)參考方向，則其輸入的瞬時功率為

p=ui平均功率就是瞬時功率在一周期內的平均值，即3.非正弦周期電流電路的平均功率7.2．非正弦周期量的有效值平均功率第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二

結論：非正弦周期電流電路的平均功率等于恒定分量、基波分量和各次諧波分量產生的平均功率之和。同時說明：不同頻率的電壓和電流不產生平均功率。Uk

、Ik為第

k

次諧波的有效值，為第

k次諧波電壓與電流間的相位差；第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二線性電路在非正弦周期激勵時的穩(wěn)態(tài)分析步驟：

1)把給定的非正弦周期性激勵分解為恒定分量和各諧波分量。

2)分別計算電路由上述恒定分量和各諧波分量單獨作用下的響應。求恒定分量響應要用計算直流電路的方法；求各次諧波分量的響應，則要應用計算正弦電流電路的方法（相量法）。其中，電感、電容對k次諧波的電抗分別為

XL1為基波感抗

XC1為基波容抗3)

根據疊加定理，把恒定分量和各諧波分量的響應相量轉化為瞬時表達式后進行疊加?；疽螅菏炀氄莆沼茂B加定理分析非正弦周期電流電路的方法。7.3非正弦周期電流電路的穩(wěn)態(tài)分析第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二圖示電路中.(1)求電流源的端電壓u及其有效值；(2)求電流源發(fā)出的平均功率。直流分量作用，電路模型如圖交流分量作用相量模型如圖(c)所示。節(jié)點法求電流源端電壓相量電流源的端電壓及其有效值分別為電流源發(fā)出的平均功率例7－5：圖b圖a圖c解：U0=10+2×2=14v=+第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二已知ω=314rad/s,R1=R2=10,

L1=0.106H，L2=0.0133H，C1=95.6μF，C2=159F

，，求i1(t)及i2(t)。例76：解：1.直流分量電壓第26頁，共27頁，2023年，2月20日，星期二已知ω=314rad