自動控制原理-5-3穩(wěn)定裕度

（1）幅值裕度h：令相角為180時(shí)對應(yīng)的頻率為g（相角穿越頻率），頻率為g時(shí)對應(yīng)的幅值A(chǔ)(g)的倒數(shù)，定義為幅值裕度h，即或20lgh=20lgA(g)

（2）相角裕度

：令幅頻特性過零分貝時(shí)的頻率為c（幅值穿越頻率），則定義相角裕度

為=180+(c)第一頁，共37頁。第一頁，共37頁。ReIm0-1A(g)h具有如下含義：如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)的開環(huán)增益增大到原來的h倍時(shí)，則系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定了。

具有如下含義：如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性變化角度時(shí)，則系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定了。c第二頁，共37頁。第二頁，共37頁。

180()/(°)0L()/dBcgh(dB)第三頁，共37頁。第三頁，共37頁。

解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為c=3.16L()/dB140dB/dec1020dB/dec60dB/dec3.16例5-16已知單位負(fù)反饋的最小相位系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖示，試求開環(huán)傳遞函數(shù)；計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。k=c=3.16第四頁，共37頁。第四頁，共37頁。()=arctan

180

2arctan0.1=180+(c)=arctan3.162arctan0.316=37.4當(dāng)(g)=180時(shí)180=arctang

180

2arctan0.1g

arctang=2arctan0.1g

求得g=8.94因?yàn)?/p>

>0，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第五頁，共37頁。第五頁，共37頁。例5-17L()/dB02015105040dB/dec20dB/dec60dB/dec()015105090180270140.7219.3第六頁，共37頁。第六頁，共37頁。()=90arctan0.2arctan0.02=180+(c)=90arctan0.2carctan0.02ccarctan0.2g

arctan0.02g=90第七頁，共37頁。第七頁，共37頁。最小相位系統(tǒng)中頻段的斜率與相對應(yīng)：中頻段的斜率為20dB/dec時(shí)，>0。中頻段的斜率為40dB/dec時(shí)，可正可負(fù)，如果為正，其值比較小。中頻段的斜率為60dB/dec時(shí)，一定為負(fù)。>0，系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。第八頁，共37頁。第八頁，共37頁。例5-18T1>T2L()/dB02040dB/dec20dB/dec1=1/T12=1/T240dB/dec()090180第九頁，共37頁。第九頁，共37頁。=180+()=180+arctancT1

180arctancT2

=arctan(c

/1

)arctan(c

/2

)(1)c

、2保持不變，1(2)c

、1保持不變，2

(3)1、2保持不變，h=2/1

中頻段寬度

h

與中頻段的斜率有關(guān)，而且還與中頻段寬度有關(guān)：中頻段寬度

第十頁，共37頁。第十頁，共37頁。5.6閉環(huán)頻率特性

一.開環(huán)和閉環(huán)頻率特性的關(guān)系對于單位反饋控制系統(tǒng)，閉環(huán)頻率特性與開環(huán)頻率特性的關(guān)系為AGk(j)P01第十一頁，共37頁。第十一頁，共37頁。br0.707M0M0Mm（1）零頻幅值特性M0：=0時(shí)的閉環(huán)幅頻特性值。（4）系統(tǒng)帶寬b：閉環(huán)幅頻特性值減小到0.707M0時(shí)的頻率，稱為帶寬頻率，用b表示。頻率范圍0

b稱為系統(tǒng)帶寬。（3）諧振頻率r：出現(xiàn)諧振峰值時(shí)的頻率。（2）諧振峰值Mr：幅頻特性極大值與零頻幅值之比Mr=Mm/M0。二.閉環(huán)頻率特性第十二頁，共37頁。第十二頁，共37頁。5.7頻率特性分析5.7.1用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能1.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和開環(huán)頻率特性的關(guān)系系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)的數(shù)目（系統(tǒng)類型）確定了開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線的斜率，而低頻漸近線的高度，則決定于開環(huán)系數(shù)的大小。所以，穩(wěn)態(tài)誤差由開環(huán)對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線確定。N=０N=1N=220dB/dec40dB/dec第十三頁，共37頁。第十三頁，共37頁。系統(tǒng)的暫態(tài)性能和開環(huán)頻率特性的關(guān)系

1)二階系統(tǒng)典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示開環(huán)傳遞函數(shù)為①

與p%之間的關(guān)系由A(c)=1，計(jì)算開環(huán)截止頻率c有G(s)R(s)C(s)﹣+第十四頁，共37頁。第十四頁，共37頁。則相角裕度為=180+(c)=18090arctan(c/2n)在時(shí)域分析中，知由圖明顯看出，越大，p%越??；越小，p%越大。為使二階系統(tǒng)不致于振蕩太厲害以及調(diào)節(jié)時(shí)間太長，一般希望307000.20.40.60.81.0()706050403020100p%

100806040200

p

第十五頁，共37頁。第十五頁，共37頁。②、c與ts之間的關(guān)系

在時(shí)域分析中，知可以看出，調(diào)節(jié)時(shí)間與相角裕度和幅值穿越頻率都有關(guān)系。如果兩個(gè)二階系統(tǒng)的相同，則它們的超調(diào)量也相同，這時(shí)比較大的系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時(shí)間較短。020406080121086420tsc第十六頁，共37頁。第十六頁，共37頁。例5-19一單位反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)試用相角裕度估算過渡過程指標(biāo)p%與ts。解：系統(tǒng)開環(huán)伯德圖如圖示由圖可得，c=7，

=58.7根據(jù)

=58.7，可得=0.592，則

p

%=9.95%ts=0.52(s)直接求解系統(tǒng)，得=0.64

p%=7.3%ts=0.522(s)兩者基本上是一致的。第十七頁，共37頁。第十七頁，共37頁。20200110

L()/dB901800

()/()11.520dB/dec40dB/dec第十八頁，共37頁。第十八頁，共37頁。2)高階系統(tǒng)近似的關(guān)系式

上式表明，高階系統(tǒng)的隨著的增大而減小，調(diào)節(jié)時(shí)間隨著的增大也減小，且隨增大而減小。第十九頁，共37頁。第十九頁，共37頁。3.開環(huán)頻率特性的高頻段對系統(tǒng)性能的影響高頻段是由小時(shí)間常數(shù)的環(huán)節(jié)決定的，由于其轉(zhuǎn)折頻率遠(yuǎn)離c

，所以對系統(tǒng)動態(tài)性能影響不大，然而從系統(tǒng)抗干擾的角度看，高頻段特性很有意義的。對于單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)和閉環(huán)傳函的關(guān)系為由于在高頻段，一般20lgG(j)<<0，即G(j)<<1，故有即閉環(huán)幅頻等于開環(huán)幅頻。第二十頁，共37頁。第二十頁，共37頁。

因此開環(huán)對數(shù)對頻特性高頻段的幅值，直接反映了系統(tǒng)對輸入端高頻信號的抑制能力，高頻段分貝值越低，系統(tǒng)抗干擾能力越強(qiáng)。通過以上分析，可以看出系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性表征了系統(tǒng)的性能。對于最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)的性能完全可以由開環(huán)對數(shù)幅頻特性反映出來。希望的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性歸納一下有以下幾個(gè)方面：第二十一頁，共37頁。第二十一頁，共37頁。（1）如果要求系統(tǒng)具有一階或二階無靜差特性，則開環(huán)對數(shù)幅頻特性的低頻段應(yīng)有20dB/dec或40dB/dec的斜率。為保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，低頻段應(yīng)有較高的增益。（2）開環(huán)對數(shù)幅頻特性以20dB/dec的斜率穿越0分貝線，且具有一定的中頻段寬度，這樣系統(tǒng)就有一定的穩(wěn)定裕度，以保證閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的平穩(wěn)性。（3）具有盡可能大的0分貝頻率，以提高閉環(huán)系統(tǒng)的快速性。（4）為了提高系統(tǒng)抗干擾能力，開環(huán)對數(shù)幅頻特性高頻段應(yīng)有較大的負(fù)斜率。第二十二頁，共37頁。第二十二頁，共37頁。3.7.2用閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的動態(tài)性能1.二階系統(tǒng)

其閉環(huán)傳函為其閉環(huán)頻率特性為①M(fèi)r與p%的關(guān)系第二十三頁，共37頁。第二十三頁，共37頁。當(dāng)>0.707時(shí)，不存在諧振峰值，幅頻特殊性單調(diào)衰減；當(dāng)<0.707時(shí)，Mr越小，系統(tǒng)阻尼性能越好越大，p%越小。00.20.40.60.81.0

()706050403020100p%

100806040200

p

Mr

Mr

87654321第二十四頁，共37頁。第二十四頁，共37頁。②Mr、b與ts的關(guān)系第二十五頁，共37頁。第二十五頁，共37頁。2.高階系統(tǒng)第二十六頁，共37頁。第二十六頁，共37頁。5.7.3開環(huán)頻域指標(biāo)與閉環(huán)頻域指標(biāo)的關(guān)系1.與Mr的關(guān)系c

G(jc)01B

A1+G(jc)一般，Mr出現(xiàn)在c附近，就是說用c代替r來計(jì)算Mr，并且較小，可近似認(rèn)為AB=∣1+G(jc)∣于是有第二十七頁，共37頁。第二十七頁，共37頁。可見，b與c的比值是的函數(shù)，有=0.4b=

1.6c=0.7b=

1.55c對于高階系統(tǒng)，初步設(shè)計(jì)時(shí)，可近似取b=

1.6c2.c與b的關(guān)系對于二階系統(tǒng)，有第二十八頁，共37頁。第二十八頁，共37頁。第5章小結(jié)一、頻率特性1.定義：指線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下穩(wěn)態(tài)輸出與輸入復(fù)數(shù)符號之比對頻率的關(guān)系特性用G(j)表示。

css(t)=A

G(j)

sin[t+G(j)]2.幅頻、相頻、實(shí)頻、虛頻特性的定義、關(guān)系G(j)=A()ej()=Re()+jIm()G(s)c(t)r(t)第二十九頁，共37頁。第二十九頁，共37頁。3.幾何表示：（1）幅相曲線（極坐標(biāo)圖）把頻率看成參變量，當(dāng)從0時(shí)，將幅頻特性和相頻特性表示在同一個(gè)復(fù)數(shù)平面上。（2）伯德圖

在半對數(shù)坐標(biāo)上繪制對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性比例、積分、微分、慣性、振蕩、一階比例微分環(huán)節(jié)、

二階比例微分環(huán)節(jié)。頻率特性曲線的繪制，特點(diǎn)等第三十頁，共37頁。第三十頁，共37頁。三、開環(huán)系統(tǒng)頻率特性1.開環(huán)幅相曲線的繪制

(1)根據(jù)開環(huán)零-極點(diǎn)圖確定起點(diǎn)(=0)：精確求出A(0)，(0)；

(2)確定終點(diǎn)(=)：求出A()，()；

(3)確定曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：G(j)=Re()+jIm()與實(shí)軸的交點(diǎn)：令I(lǐng)m()=0

求出x

代入Re(x)

(4)由起點(diǎn)出發(fā)，繪制曲線的大致形狀。第三十一頁，共37頁。第三十一頁，共37頁。2.開環(huán)對數(shù)頻率曲線（優(yōu)點(diǎn)，方法）

L()：①在半對數(shù)坐標(biāo)上標(biāo)出所有的轉(zhuǎn)折頻率；②確定低頻段的斜率和位置；③由低頻段開始向高頻段延伸，每經(jīng)過一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，曲線的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。

()：

首先確定低頻段的相位角，其次確定高頻段的相位角，再在中間選出一些插值點(diǎn)，計(jì)算出相應(yīng)的相位角，將上述特征點(diǎn)連線即得到對數(shù)相頻特性的草圖。第三十二頁，共37頁。第三十二頁，共37頁。四、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)內(nèi)容應(yīng)用（1）求P。（2）繪制從0時(shí)的開環(huán)幅相曲線。（3）求開環(huán)幅相曲線包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)R（逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）。（4）Z

=P

2R來確定閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)，如果Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，應(yīng)從=0+對應(yīng)的點(diǎn)開始，補(bǔ)作一個(gè)半徑為，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)v90的大圓弧增補(bǔ)線，把它視為奈氏曲線的一部分。第三十三頁，共37頁。第三十三頁，共37頁。五、穩(wěn)定裕量（開環(huán)頻域指標(biāo)）定義計(jì)算公式（1）幅值裕度h：20lgh=20lgA(g)（2）相角裕度

：=180+(c)閉環(huán)頻域指標(biāo)：Mr