橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

優(yōu)選橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程現(xiàn)在是1頁\一共有35頁\編輯于星期三如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？生活中的橢圓一.課題引入：橢圓的畫法現(xiàn)在是2頁\一共有35頁\編輯于星期三橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程F1F2現(xiàn)在是3頁\一共有35頁\編輯于星期三一、橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.問題1：當(dāng)常數(shù)等于|F1F2|時，點M的軌跡是什么？問題2：當(dāng)常數(shù)小于|F1F2|時，點M的軌跡是什么？線段F1F2軌跡不存在現(xiàn)在是4頁\一共有35頁\編輯于星期三1、橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。M幾點說明：1、F1、F2是兩個不同的定點；2、M是橢圓上任意一點，且|MF1|+|MF2|=常數(shù)；3、通常這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c（？）；4、如果2a=2c，則M點的軌跡是線段F1F2.5、如果2a<2c，則M點的軌跡不存在.（由三角形的性質(zhì)知）

下面我們來求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.現(xiàn)在是5頁\一共有35頁\編輯于星期三?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy2.求橢圓的方程：原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)(對稱、“簡潔”)現(xiàn)在是6頁\一共有35頁\編輯于星期三OXYF1F2M如圖所示：F1、F2為兩定點,且|F1F2|=2c,求平面內(nèi)到兩定點F1、F2距離之和為定值2a（2a>2c)的動點M的軌跡方程。解：以F1F2所在直線為X軸,F1F2的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系,則焦點F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)

設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點，則:|MF1|+|MF2|=2a現(xiàn)在是7頁\一共有35頁\編輯于星期三OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以a2b2得：(a>b>0)這個方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點在x軸上。現(xiàn)在是8頁\一共有35頁\編輯于星期三aA1yOF1F2xB2B1A2cb三、①橢圓方程的幾何意義：現(xiàn)在是9頁\一共有35頁\編輯于星期三如果橢圓的焦點在y軸上，焦點是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎樣呢？②橢圓的第二種形式：1oFyx2FM現(xiàn)在是10頁\一共有35頁\編輯于星期三

圖形方程焦點F(±c，0)在Ｘ軸上F(0，±c)在Ｙ軸上a,b,c之間的關(guān)系c2=a2-b2P={M||MF1|+|MF2|=2a｝(2a>2c>0)定義12yoFFMx1oFyx2FM四、兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對照表：（2）哪個分母大,焦點就在相應(yīng)的哪條坐標(biāo)軸上！（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個分式的平方和,右邊是1（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（4）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。注意：現(xiàn)在是11頁\一共有35頁\編輯于星期三543(3,0)、(-3,0)6定義的簡單應(yīng)用716填空(1)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標(biāo)為：____________焦距等于______;曲線上一點P到左焦點F1的距離為3，則點P到另一個焦點F2的距離等于_______，則三角形F1PF2的周長為___________F1F2XYPo現(xiàn)在是12頁\一共有35頁\編輯于星期三(2)已知橢圓的方程為：，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標(biāo)為：___________焦距等于__________;若CD為過上焦點F2的弦，則F1CD的周長為________21(0,-1)、(0,1)2XYOF2F1CD(3)已知橢圓的焦點在軸上，且過的直線交橢圓于兩點,且的周長為16，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.現(xiàn)在是13頁\一共有35頁\編輯于星期三例１寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a=4，b=1，焦點在x軸上；(2)a=4，b=1，焦點在坐標(biāo)軸上；

或五、應(yīng)用舉例：例2、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩焦點的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0),橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10。(2)兩焦點的坐標(biāo)分別是(-2,0)、(2,0),且橢圓經(jīng)過點P?，F(xiàn)在是14頁\一共有35頁\編輯于星期三(1)兩焦點的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于10。解：因為橢圓的焦點在X軸上，所以可設(shè)它的方程為：2a=10，2c=8即a=5，c=4故b2=a2-c2=52-42=9所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：現(xiàn)在是15頁\一共有35頁\編輯于星期三(2)兩焦點的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），且橢圓經(jīng)過點P。解：因為橢圓的焦點在X軸上，所以可設(shè)它的方程為：由橢圓的定義可知：又因c=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故b2=a2-c2=10-22=6現(xiàn)在是16頁\一共有35頁\編輯于星期三課堂練習(xí)1：1.口答：下列方程哪些表示橢圓？

若是,則判定其焦點在何軸？并指明，寫出焦點坐標(biāo).?現(xiàn)在是17頁\一共有35頁\編輯于星期三1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；探究與互動：析：方程表示圓需要滿足的條件：現(xiàn)在是18頁\一共有35頁\編輯于星期三1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；②表示一個橢圓；探究與互動：析：方程表示一個橢圓需要滿足的條件：現(xiàn)在是19頁\一共有35頁\編輯于星期三1、方程，分別求方程滿足下列條件的m的取值范圍：①表示一個圓；②表示一個橢圓；③表示焦點在x軸上的橢圓。探究與互動：析：表示焦點在x軸上的橢圓需要滿足的條件：現(xiàn)在是20頁\一共有35頁\編輯于星期三解題感悟：方程表示橢圓時要看清楚限制條件,焦點在哪個軸上。例3已知橢圓經(jīng)過兩點求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。現(xiàn)在是21頁\一共有35頁\編輯于星期三練習(xí)2：若方程4x2+ky2=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，求k的取值范圍?！叻匠瘫硎镜那€是焦點在y軸上的橢圓解之得：0<k<4∴k的取值范圍為0<k<4?，F(xiàn)在是22頁\一共有35頁\編輯于星期三∵|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,∴|AB|+|AC|=12>|BC|,∴點A的軌跡是以B?C為焦點的橢圓(除去與x軸的交點).且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得a2=36,b2=20.故點A的軌跡方程是

(y≠0).例4:已知△ABC的一邊BC長為8,周長為20,求頂點A的軌跡方程.解:以BC邊所在直線為x軸,BC中點為原點,建立如右圖所示的直角坐標(biāo)系,則B?C兩點的坐標(biāo)分別為(-4,0)?(4,0).定義法現(xiàn)在是23頁\一共有35頁\編輯于星期三練習(xí)3：已知A(－1,0),B(1,0)，線段CA、AB、CB的長成等差數(shù)列，則點C的軌跡方程是_____________.x2/4+y2/3=1練習(xí)4：如圖，在圓C:(x+1)2+y2=25內(nèi)有一點A(1,0)，Q為圓C上一點，AQ的垂直平分線與C,D的連線交于點M,求點M的軌跡方程。練習(xí)5：在三角形ABC中,B(0,-3),C(0,3)且sinB+sinC=2sinA,求頂點A的軌跡方程。練習(xí)6：化簡方程現(xiàn)在是24頁\一共有35頁\編輯于星期三橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)現(xiàn)在是25頁\一共有35頁\編輯于星期三分母哪個大，焦點就在哪個軸上平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程不同點相同點圖形焦點坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系焦點位置的判斷xyF1F2POxyF1F2PO復(fù)習(xí)舊知現(xiàn)在是26頁\一共有35頁\編輯于星期三例1求焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。x2/15+y2/5=1分析一：當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)方程x2/a2+y2/b2=1當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)方程x2/b2+y2/a2=1分析二：設(shè)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)現(xiàn)在是27頁\一共有35頁\編輯于星期三(2)求與橢圓x2/5＋y2/4＝1有公共焦點，且過點(3,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。x2/9＋y2/8＝1(3)已知橢圓x2＋2y2＝a2(a＞0)的左焦點到直線l：x－y－2＝0的距離為，求橢圓方程。x2/8＋y2/4＝1現(xiàn)在是28頁\一共有35頁\編輯于星期三例2、在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足。當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？oxyPD相關(guān)點法(轉(zhuǎn)移法):即利用中間變量求曲線方程.現(xiàn)在是29頁\一共有35頁\編輯于星期三yxoPP’M現(xiàn)在是30頁\一共有35頁\編輯于星期三P現(xiàn)在是31頁\一共有35頁\編輯于星期三現(xiàn)在是32頁\一共有35頁\編輯于星期三現(xiàn)在是33頁\一共有35頁\編輯于星期三ABMxyo現(xiàn)在是34頁\一共有35頁\編輯于星期三練習(xí)：1.已知橢圓5x2+ky2=5的一個焦點坐標(biāo)是(0,2),則k=()A.B.1C.D.2.設(shè)且