第3講有限元梁單元

§2.3簡單梁單元一、離散化，節(jié)點位移與節(jié)點載荷對圖(a)直梁，根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷情況，分為3段，每段為一個單元。單元之間和端點是節(jié)點。梁單元節(jié)點的物理模型是“焊接”。梁上任一節(jié)點i處有2個位移分量：撓度及轉(zhuǎn)角?，F(xiàn)在是1頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元

一個節(jié)點位移用列陣表示為：稱為節(jié)點i的節(jié)點位移。對應節(jié)點位移分量，梁上任一節(jié)點i的載荷也有2項：橫向力和彎矩，稱為廣義力?，F(xiàn)在是2頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元梁上若有分布載荷，可近似地等效到節(jié)點上。稱為節(jié)點i的節(jié)點載荷。結(jié)構(gòu)上一個節(jié)點的載荷用列陣表示為：現(xiàn)在是3頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元二、單元特性分析——建立簡單梁單元的單元剛度方程單元有2個節(jié)點，節(jié)點局部編號：i，j。每節(jié)點有2個位移分量，單元共有4個位移分量——4個自由度；分析一個從上述離散梁結(jié)構(gòu)中取出的典型梁單元e。單元長度l，彈性模量E，截面慣性矩為J。1、單元的描述現(xiàn)在是4頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元稱為單元e的單元節(jié)點位移列陣（向量）。

單元節(jié)點位移：結(jié)構(gòu)中一個單元一般在節(jié)點處的截面上要受到結(jié)構(gòu)其它部分對該單元的作用力，稱為單元節(jié)點力。該單元每節(jié)點2個節(jié)點力分量：剪力q，彎矩m（分別與節(jié)點的2個位移分量對應）?，F(xiàn)在是5頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元注意：如圖所示，節(jié)點位移和節(jié)點力分量的正方向與單元局部坐標軸正方向一致。因此，節(jié)點力正方向與材料力學中內(nèi)力正方向的定義不同！節(jié)點力是梁中的內(nèi)力；節(jié)點載荷是梁結(jié)構(gòu)在節(jié)點上受到的外力。稱為單元e的單元節(jié)點力列陣（向量）。單元節(jié)點力：現(xiàn)在是6頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元

2、單元特性的建立與桿單元類似，一個梁單元的變形是由節(jié)點位移決定的，對于一個受力平衡的單元，一定的節(jié)點位移總是與一定節(jié)點力相聯(lián)系，這個關(guān)系就是單元的特性（剛度特性）。下面根據(jù)材料力學和單元剛度矩陣元素物理意義建立梁單元特性。在彈性、小變形前提下，顯然，單元保持平衡時節(jié)點力和節(jié)點位移之間有線性關(guān)系：簡記為：現(xiàn)在是7頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元上式就是梁單元的剛度方程。稱為單元剛度矩陣，其中每個元素都是常數(shù)。為了求剛度矩陣元素，在上式中假設(shè)：方便起見，節(jié)點力和節(jié)點位移分量用新的符號表示，剛度方程為：（這里1，2，3，4是單元自由度序號）第1列剛度元數(shù)就是第1個節(jié)點位移分量為1，其他位移分量皆為0時所有節(jié)點力分量。剛度方程現(xiàn)在是8頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元按上述物理意義求剛度矩陣元素：按材料力學懸臂梁變形公式求節(jié)點力如下：撓度：轉(zhuǎn)角：聯(lián)立解出：再由梁單元的靜力平衡條件得：梁單元位移至此已求出剛度矩陣的第1列元素?，F(xiàn)在是9頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元再設(shè)：同理，由梁的變形公式和平衡條件可求得剛度矩陣的第二列元素：梁單元變形由剛度方程可得：現(xiàn)在是10頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元同樣的方法可以求出其余2列元素，從而求出單元剛度矩陣：顯然，與彈簧和桿單元一樣，該梁單元的剛度矩陣具有如下性質(zhì)：1）對稱性；2）奇異性；3）主對角元素恒正。剛度矩陣求得后，單元特性就完全確定：現(xiàn)在是11頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元采用矩陣分塊方法和運算規(guī)則，對梁單元的剛度方程按節(jié)點進行分塊。單元節(jié)點力列陣分塊：單元節(jié)點位移列陣分塊：分塊形式的單元剛度矩陣：上面每一子塊均為2×1子列陣。每一子塊均為2×2子矩陣

3、單元剛度方程的分塊現(xiàn)在是12頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元將上式按分塊矩陣乘法展開，得兩個矢量方程（共4個代數(shù)方程）：因此，單元剛度方程分塊形式表示為：從上面方程可以看出梁單元剛度矩陣子塊的物理意義：相關(guān)節(jié)點位移對對應節(jié)點力的貢獻?，F(xiàn)在是13頁\一共有36頁\編輯于星期四上面按分塊形式表示的單元剛度方程——節(jié)點力～節(jié)點位移關(guān)系在整體分析中集成單元特性時更加簡潔，在有限元分析中廣泛采用。§2.3簡單梁單元現(xiàn)在是14頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元三、離散結(jié)構(gòu)的整體分析設(shè)已知分塊形式的各單元特性方程：現(xiàn)在是15頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元以離散結(jié)構(gòu)的各節(jié)點作為隔離體，以節(jié)點2為例，建立其平衡方程。單元節(jié)點力的反作用力外載荷單元節(jié)點力單元節(jié)點力節(jié)點2的受力分為兩類：1）外載荷：2）單元（1）、（2）上節(jié)點力的反作用力：現(xiàn)在是16頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元由節(jié)點2的靜力平衡條件得：單元節(jié)點力的反作用力外載荷單元節(jié)點力單元節(jié)點力節(jié)點2的外載荷=節(jié)點2對其所有相連單元的節(jié)點力之和（節(jié)點總內(nèi)力）也就是節(jié)點2所受外載荷要分配到相連的單元上?，F(xiàn)在是17頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元由前面給出的單元（1）、（2）分塊形式單元剛度方程代入節(jié)點2的平衡方程：現(xiàn)在是18頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元同理，由節(jié)點3的平衡可得：由節(jié)點1、4的平衡得：將上面4個節(jié)點的平衡方程合并，寫成矩陣形式得：現(xiàn)在是19頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元上式簡寫為：——結(jié)構(gòu)節(jié)點位移列陣（8×1）——結(jié)構(gòu)節(jié)點載荷列陣（8×1）——結(jié)構(gòu)總剛度矩陣（8×8）——結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）有限元平衡方程現(xiàn)在是20頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元結(jié)構(gòu)總剛度矩陣也可以由各單元剛度矩陣擴大到整體規(guī)模后疊加而成，方法同前面的彈簧單元和桿單元。由于單元剛度矩陣在擴大和疊加過程中，其具有的性質(zhì)（對稱、奇異、主對角元恒正）不變，因此結(jié)構(gòu)總剛度矩陣仍然保持這些性質(zhì)?？倓偠染仃囍杏写罅吭貫?，因此矩陣具有稀疏性非零元素沿主對角線呈帶狀分布（節(jié)點編號滿足一定條件）。結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的討論：現(xiàn)在是21頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元總之，從彈簧、直桿和梁結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的特點可以歸納出結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的性質(zhì)如下：

1）對稱性；2）奇異性；3）稀疏性；4）非零元素帶狀分布現(xiàn)在是22頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元結(jié)構(gòu)有限元平衡方程的討論：平衡方程左邊總剛度矩陣與位移列陣之積等于結(jié)構(gòu)中各節(jié)點的總節(jié)點力（各節(jié)點對相關(guān)單元作用力之疊加）；因此，總剛每行各子塊表征相應節(jié)點位移對該行對應總節(jié)點力的貢獻——總剛子塊的物理意義。現(xiàn)在是23頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元平衡方程右端是各節(jié)點外載荷，左端是由節(jié)點位移和單元剛度矩陣子塊疊加計算得到的總節(jié)點力。因此，有限元平衡方程表征了系統(tǒng)各節(jié)點所受外載荷與所受所有相關(guān)單元反作用總力（總節(jié)點力）之間的平衡。結(jié)構(gòu)有限元平衡方程可以敘述為：

總節(jié)點力（內(nèi)力）=節(jié)點外載荷?，F(xiàn)在是24頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.3簡單梁單元對于特定結(jié)構(gòu)，方程中必存在已知位移和相應的未知載荷（支反力），因此，平衡方程求解前必須進行約束處理，分離出關(guān)于未知位移的方程進行求解。然后再用求出的位移，通過剩余方程求出支反力?，F(xiàn)在是25頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.4平面內(nèi)一般梁單元拉伸、彎曲組合單元變形特征節(jié)點位移分量節(jié)點載荷分量平面梁單元整體節(jié)點位移整體節(jié)點載荷節(jié)點自由度：3一、單元與節(jié)點平面剛架模擬現(xiàn)在是26頁\一共有36頁\編輯于星期四單元有2個節(jié)點：i，j局部坐標系下節(jié)點位移分量：軸向位移：橫向撓度：轉(zhuǎn)角：局部坐標系下節(jié)點力分量：軸向力：橫向剪力：彎矩：§2.4平面內(nèi)一般梁單元單元描述：二、局部坐標系下平面梁單元剛度方程現(xiàn)在是27頁\一共有36頁\編輯于星期四單元有6個位移分量6個自由度單元節(jié)點位移列陣：單元節(jié)點力列陣：§2.4平面內(nèi)一般梁單元單元描述：現(xiàn)在是28頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.4平面內(nèi)一般梁單元

建立單元特性方程在小變形假設(shè)下，梁的軸向變形和彎曲變形互不偶合?？梢苑謩e研究兩種變形模式下的剛度特性。因此，組合變形下的平面梁單元剛度方程可以由該局部坐標系下的軸向變形剛度方程（相當于一維桿單元）和彎曲變形剛度方程（相當于簡單梁單元）疊加而成：現(xiàn)在是29頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.4平面內(nèi)一般梁單元上面剛度方程簡寫為：分塊形式：其中：剛度矩陣一個子塊：現(xiàn)在是30頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.4平面內(nèi)一般梁單元三、整體坐標系下剛度矩陣：坐標變換局部坐標系下節(jié)點位移：

整體坐標系下節(jié)點位移：節(jié)點位移矢量坐標變換：考慮到節(jié)點轉(zhuǎn)角不變簡寫節(jié)點向量變換矩陣：現(xiàn)在是31頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.4平面內(nèi)一般梁單元單元節(jié)點位移列陣的變換：簡寫單元坐標變換矩陣單元節(jié)點力列陣的變換：節(jié)點力矢量與節(jié)點位移矢量滿足相同的坐標變換關(guān)系。現(xiàn)在是32頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.4平面內(nèi)一般梁單元單元剛度矩陣的坐標變換：將節(jié)點位移和節(jié)點力矢量坐標變換式代入局部坐標系下單元剛度方程：現(xiàn)在是33頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.4平面內(nèi)一般梁單元四、平面剛架的有限元整體分析平面剛架整體分析的原理與彈簧系統(tǒng)、桁架、直梁的整體分析相同。根據(jù)每個節(jié)點外載荷與結(jié)構(gòu)的總節(jié)點力平衡得到系統(tǒng)的有限元平衡方程，再引入約束條件后求解?？倓偠染仃囉煽傮w坐標下各單元剛度矩陣疊加得到：系統(tǒng)平衡方程：現(xiàn)在是34頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.5三維空間梁單元簡介一、單元功能：模擬三維剛架二、單元特性分析基本思路與平面梁單元相同：先在局部坐標系下建立單元特性方程，再變換到總體坐標系下。局部坐標系下節(jié)點位移：單元有12個自由度總體坐標系下節(jié)點位移：現(xiàn)在是35頁\一共有36頁\編輯于星期四§2.5三維空