第二章多自由機械系統(tǒng)的動力學建模詳解演示文稿

第二章多自由度機械系統(tǒng)的動力學建模詳解演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有42頁\編輯于星期四優(yōu)選第二章多自由度機械系統(tǒng)的動力學建?，F(xiàn)在是2頁\一共有42頁\編輯于星期四2．1．1基于動能定理：引入廣義坐標得：記為將此式進一步展開：現(xiàn)在是3頁\一共有42頁\編輯于星期四注意到廣義坐標為是獨立無關的，得系統(tǒng)運動方程：表為矩陣形式：或：

現(xiàn)在是4頁\一共有42頁\編輯于星期四式中——廣義力——二階廣義慣量——三階廣義慣量2．1．2基于廣義可能位移原理的動力學普遍方程：現(xiàn)在是5頁\一共有42頁\編輯于星期四虛位移1.虛位移xyOBAMF

質點系在給定瞬時，為約束所允許的無限小位移—虛位移（1）虛位移是假定約束不改變而設想的位移；（2）虛位移不是任何隨便的位移，它必須為約束所允許；（3）虛位移是一個假想的位移，它與實位移不同；（4）在完整定常約束下，虛位移方向沿其速度方向?，F(xiàn)在是6頁\一共有42頁\編輯于星期四理想約束

質點或質點系的約束反力在虛位移上所作的元功等于零，我們把這種約束系統(tǒng)稱為理想約束?！艶Ni·

ri

=0式中：FNi

表示第i個質點的約束反力；δri

表示第i個質點的虛位移。常見理想約束包括:光滑支承面剛體的固定支點連接兩剛體的光滑鉸鏈連接兩個質點的無重剛桿不可伸長的繩索現(xiàn)在是7頁\一共有42頁\編輯于星期四2虛位移原理質點或質點系所受的力在虛位移上所作的功——虛功。W=F·

rW=M·

現(xiàn)在是8頁\一共有42頁\編輯于星期四虛位移原理FiFNim1m2miriFi——主動力FNi——約束反力ri——虛位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0對于具有理想約束的質點系，其平衡條件是：作用于質點系的主動力在任何虛位移中所作的虛功的和等于零——虛位移原理現(xiàn)在是9頁\一共有42頁\編輯于星期四

∑Fi·

ri=0上式稱為虛位移原理的解析表達式

應用虛位移原理解題時，主要是建立虛位移間的關系，通常采用以下方法：

（1）通過運動學關系，直接找出虛位移間的幾何關系；

（2）建立坐標系，選廣義坐標，然后仿照函數(shù)求微分的方法對坐標求變分，從而找出虛位移（坐標變分）間的關系?，F(xiàn)在是10頁\一共有42頁\編輯于星期四（一）虛功原理與達朗貝爾原理虛功原理是關于力學系統(tǒng)平衡的一個普通原理，解題方法一般歸納為：1、判別約束是否為理想約束；2、找出主動力及作用點；3、確定自由度，并選擇廣義坐標；4、由廣義坐標和變換式把虛位移用廣義坐標的變分來表示；5、由虛功原理寫出平衡方程，由于廣義坐標的變分相互獨立，所以可以較方便的求解。達朗貝爾原理是力學體系動力學的一個普通方程，它考慮的是運動而不是靜力學問題?，F(xiàn)在是11頁\一共有42頁\編輯于星期四由“運動”學（主動力；約束反力）變?yōu)槠胶忸愋瓦@樣把動力學的問題轉變?yōu)殪o力學問題處理，這就是著名的“動靜法”。由于變?yōu)槠胶夥匠?，所以完全可按虛功原理方法解決有關問題。虛功原理與達朗貝爾原理一起成為分析力學的最普遍原理的理論基礎?，F(xiàn)在是12頁\一共有42頁\編輯于星期四由

得：故運動方程：式中各項與前面的推導完全一致。2．2復雜機構系統(tǒng)的動力學建模方法之二（拉格朗日方程法）T——動能V——勢能L——拉氏函數(shù)（動勢）現(xiàn)在是13頁\一共有42頁\編輯于星期四(二)拉格朗日方程

作為力學系統(tǒng)的運動規(guī)律，利用廣義坐標從動力學普遍方程推導出來的拉格朗日方程，對整個力學體系的運動提供了一個統(tǒng)一而普遍的解法。拉氏方程是完整理想的力學體系的最普遍的動力學方程，它給解決動力學問題提供了一個高度統(tǒng)一而又概括的方法。這種表述及其方法，不僅在力學范疇有重要意義和實用價值，而且為研究近代物理提供了必須的物理思想和數(shù)學技巧。T——動能V——勢能L——拉氏函數(shù)（動勢）現(xiàn)在是14頁\一共有42頁\編輯于星期四

拉格朗日方程用高度統(tǒng)一規(guī)律描述了力學系統(tǒng)動力學的運動規(guī)律，反映在：①拉氏方程的形式不隨廣義坐標的選擇而發(fā)生變化；②對慣性系統(tǒng)和非慣性系，拉氏方程的形式都一樣；③拉氏方程中的廣義坐標、廣義速度、廣義動量、廣義動能都比牛頓力學中的坐標、速度、力、動量、動能具有更普遍的意義。拉氏方程概括了質點、質點組、剛體各種運動的動力學規(guī)律?，F(xiàn)在是15頁\一共有42頁\編輯于星期四④拉氏方程是從能的角度去研究問題。當系統(tǒng)的主動力為保守力系時，拉氏函數(shù)成為力學體系的特征函數(shù)；⑤拉氏方程的個數(shù)與力學體系的約束條件有關。約束越多，方程數(shù)就越少，所以與牛頓力學比較，對多約束的力學體系，拉氏方程就愈能顯示出它的優(yōu)越性。但是拉氏方程的物理圖象不如牛頓力學直觀，這是它的不足之處。在應用拉格朗日方程解題時一般方法是：

現(xiàn)在是16頁\一共有42頁\編輯于星期四首先正確判斷力學體系的自由度，并選擇適當?shù)膹V義坐標；。判斷是否是保守力場，從而決定選用方程類別；是保守力場時采用：不是保守力場，或力場性質不明及不易判斷情況下要采用一般形式的拉格朗日方程：

現(xiàn)在是17頁\一共有42頁\編輯于星期四求出的速度一定要采用絕對速度。這是動能表達式中所需要的。按廣義坐標建立個方程后，馬上檢查是否存在循環(huán)坐標（拉氏函數(shù)中不顯含某一廣義坐標，此為循環(huán)坐標），馬上就可以寫出它的第一積分；若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求廣義力。廣義力的求法是：按定義求：現(xiàn)在是18頁\一共有42頁\編輯于星期四

其中是作用在力學體系的第個質點上的主動力，是第個質點的位矢。在完整系中，廣義力與廣義坐標相對應，它們的個數(shù)都等于自由度數(shù)。廣義力還可以寫成：將坐標變換式代入上式，計算后求得。按虛功求：虛功原理用廣義力與廣義位移表示為：故現(xiàn)在是19頁\一共有42頁\編輯于星期四

僅給廣義坐標中之一的變化，其余個獨立坐標不變，這樣可求得所有主動力在相應上所做元功之和。令則

同理，可求出，或在約束條件許可下，彼此獨立。當都不為零時，前的系數(shù)即為各廣義力。現(xiàn)在是20頁\一共有42頁\編輯于星期四如圖所示起升機構，已知馬達轉矩Mmotor,減速器傳動比i,馬達轉角，卷筒半徑R，滑輪組倍率a,求動力學方程現(xiàn)在是21頁\一共有42頁\編輯于星期四拉氏方程

設廣義坐標則:

起升機構現(xiàn)在是22頁\一共有42頁\編輯于星期四廣義力得到運動方程:現(xiàn)在是23頁\一共有42頁\編輯于星期四小車變幅機構的平面運動的動力學模型建立如圖所示的坐標系吊重的坐標為小車的坐標為現(xiàn)在是24頁\一共有42頁\編輯于星期四取廣義坐標

為x(t)和φ(t)非保守廣義力用

描述現(xiàn)在是25頁\一共有42頁\編輯于星期四則:廣義慣性力拉格朗日方程為:

、

其中是由于摩擦而消耗的能量,若忽略掉摩擦現(xiàn)在是26頁\一共有42頁\編輯于星期四計算出拉格朗日方程的各項具體內容系統(tǒng)移動時的動能：根據(jù)m、M的坐標計算得：現(xiàn)在是27頁\一共有42頁\編輯于星期四系統(tǒng)的勢能：得拉格朗日函數(shù)為：現(xiàn)在是28頁\一共有42頁\編輯于星期四由拉格朗日方程得到下面微分方程組：因此可以得出結論，通過控制小車加速度及驅動力就可以實現(xiàn)對工作裝置擺角的控制。

現(xiàn)在是29頁\一共有42頁\編輯于星期四小車變幅機構的綜合運動的動力學模型建立如圖所示的坐標系小車的坐標為吊重的坐標為

考慮小車變幅機構的綜合運動，建立水平運動和回轉運動相結合的動力學模型，吊重的擺角可以分解成兩個方向的擺角，同樣采用拉格朗日方程，塔式起重機的動力學模型簡圖如圖所示?，F(xiàn)在是30頁\一共有42頁\編輯于星期四設

——塔機轉動的角位移——吊重擺線與平面的夾角——吊重擺角在平面上的投影廣義坐標為：x(t),φ(t),θ(t),γ(t)非保守廣義力(即不包括重力)現(xiàn)在是31頁\一共有42頁\編輯于星期四廣義慣性力：

現(xiàn)在是32頁\一共有42頁\編輯于星期四得到拉格朗日方程為：是塔機的回轉機構總轉動慣量現(xiàn)在是33頁\一共有42頁\編輯于星期四由拉格朗日方程經(jīng)簡化得到下面方程組：投影在xz平面上的角與吊重的質量、小車的驅動力及加速度相關，同理可得與xz平面的夾角與塔機的回轉力矩、小車的水平位移、吊重質量和小車質量及回轉的角加速度有主要關系。

現(xiàn)在是34頁\一共有42頁\編輯于星期四設已知各構件質心速度（包含平動與轉動）、慣量（包含平動與轉動慣量）。則系統(tǒng)動能為：現(xiàn)在是35頁\一共有42頁\編輯于星期四例如，二自由度系統(tǒng)有：對三自由度系統(tǒng)有：對任意多自由度系統(tǒng)運用拉格朗日方程法：廣義力廣義質量系統(tǒng)動能現(xiàn)在是36頁\一共有42頁\編輯于星期四得運動方程：帶入拉式方程：（2-20）現(xiàn)在是37頁\一共有42頁\編輯于星期四以二自由度系統(tǒng)為例：現(xiàn)在是38頁\一共有42頁\編輯于星期四對三自由度系統(tǒng)有：

（2-22）現(xiàn)在是39頁\一共有42頁\編輯于星期四可以證明，系統(tǒng)動