第7章 特征值與特征向量的數(shù)值求法

7.4QR算法7.4.3帶原點位移的QR算法7.4.2QR算法及其收斂性

7.4.1化矩陣為Hessenberg形我們稱這種分塊上三交陣為矩陣A的Schur分塊上三角陣，上三角陣和對角陣是它的特殊情形。定理7.9并沒有解決如何計算全部特征的問題。7.4.1化矩陣為Hessenberg形對于實對稱矩陣，可通過正交相似變換約化為對角矩陣。那么，對于一般的實矩陣，通過正交相似變換可約化到什么程度呢？線性代數(shù)中有如下結(jié)果。定理7.9（實Schur分解定理）定義7.2(i>j+1),則稱B為上Hessenberg矩陣，簡稱Hessenberg形，即B的形狀為可以用平面旋轉(zhuǎn)變換化矩陣為Hessenberg形,下面介紹另一種正交變換。為了節(jié)省運算工作量，實用的方法是先將矩陣約化為與Schur分塊上三角陣很近似的Hessenberg形。定義7.3（7.4.1）為（初等）鏡面反射矩陣，或Householder變換矩陣。Houholder矩陣H=H（w）有如下性質(zhì)：

(1)(2)(3)記S為與w垂直的平面,則幾何上x與y=Hx關(guān)于平面S對稱。事實上,由上式表明向量x-y與w平行，注意到y(tǒng)與x的長度相等，于是x經(jīng)變換后的象y=Hx是x關(guān)于s對稱的向量，如圖7-1所示。xwyx-y圖7-1對應于性質(zhì)（2），有下面的定理。定理7.10得Hx=y。證由此可得定理得證。（7.4.2）（7.4.3）穩(wěn)定性。（7.4.2）的意義是對向量作消元運算。與平面旋轉(zhuǎn)不同的是，鏡面反射變換可成批的消去向量的非零元。例7.4解（7.4.4）定理7.11為Hessenberg形。證變換，有如此類推，經(jīng)n-2步對稱正交相似變換，得到Hessenberg形矩陣。推論7.1對稱三對角陣。上述定理7.11的證明是構(gòu)造的，即可以用鏡面反射化矩陣Hessenberg形。此定理可用平面旋轉(zhuǎn)變換來證明，即也可用平面旋轉(zhuǎn)變換化矩陣為Hessenberg如此類推，最后得到的正交矩陣Q，是平面旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積。7.4.2QR算法及其收斂性

QR算法可以用來求任意的非奇異矩陣的全部特征值，是目前計算這類問題最有效的方法之一。它基于對任何實的非奇異矩陣都可以分解為正交陣Q和上三角矩陣R的乘積。

定理7.2(QR分定理)上三角陣R,使得A=QR,且當R的對角元素均取正時,分解是唯一的。證類似于定理7.11的證明，對矩陣A的左乘一系列正交變換矩陣，可以將A化為上三角形矩陣，因此，可得A的QR分解。下面證明分解的唯一性。設(shè)有兩種分解上式左邊為正交陣，即這個式子左邊是下三角陣，則右邊是上三角陣，所以只能是對角陣。設(shè)定理得證。一般按平面旋轉(zhuǎn)變換或鏡面反射變換作出的分解A=QR，R的對角元不定理7.12的唯一QR分解。如下的算法：（7.4.5）或稱為基本QR算法。QR算法，證容易證(1)從它遞推得定理7.13QR算法產(chǎn)生的序列滿足:（1）（2）一般情形下，QR算法的收斂性比較復雜。若矩陣序列對角元均收斂，且嚴格下三角部分元素均收斂到零，則對求A的特征值而言已經(jīng)足夠了。此時，我們稱基本收斂到上三角陣。下面對最簡單的情性給出收斂性定理。設(shè)矩陣的特征值滿足定理7.14=LU，其中L為單位下三角陣U為上三角陣，則QR算法產(chǎn)生的序列基本收斂到上三角陣，其對角極限為更一般地，在一定條件下，由QR算法生成的序列收斂為Schur分塊上三角形，對角塊按特征值的模從大到小排列，上述定理是它的特殊情形。當收斂結(jié)果為Schur分塊上三角形時，序列的對角塊以上的元素以及2階塊的元素不一定收斂，但不影響求全部特征值。例7.5用QR方法求下列矩陣的全部特征值。解先用鏡面反射變換化矩陣A為Hessenberg形矩陣，然后用平面旋轉(zhuǎn)變換作QR分解進行迭代，生成序列。（1）的計算結(jié)果為該矩陣A非對稱，從計算結(jié)果看，收斂于上三角陣。（2）的計算結(jié)果為

從計算結(jié)果來看，迭代收斂于Schur分塊上三角形，對角塊分別是1階和2階子

一般在實際使用QR方法之前，先用鏡面反射變換將A化為Hessenberg形矩陣H，然后對H作QR迭代，這樣可以大大節(jié)省運算工作量。因為上Hessenberg陣H的

次對角線以下元素均為零，所以用平面旋轉(zhuǎn)變換作QR分解較為方便。

對i=1,2,….n-1,依次用平面旋轉(zhuǎn)矩陣J（i,i+1）左乘H，使J（i,i+1）H的第i+1行第i列元素為零。左乘J(i,i+1)后，矩陣H的第i行與第i+1行零元素位置上仍為零，其他行不變。這樣，共n-1次左乘正交矩陣后得到上三角陣R。即=R，=J（n-1,n）J(n-2,n-1)…J(1,2)?？梢则炞C是一個下Hessenberg陣，即U是一個上Hessenberg陣。這樣，得到H的QR分解H=UR。在作QR迭代時，下一步計算RU，容易驗證RU是一個上Hessenberg陣。以上說明了QR算法保持了H的上Hessenberg結(jié)構(gòu)形式。

例7.6求Hessenberg形矩陣

的特征值。

解重復上面的過程，計算11次得至此，不難看出，一個特征值是4，另一個特征值是-1，其他兩個特征值是方程上述用QR方法求得的特征值是該特征方程的準確解。7.4.3帶原點位移的QR算法

前面我們介紹了在反冪法中應用原點位移的策略，這種思想方法也可用于QR算法。一般我們針對上Hessenberg矩陣討論QR算法，并且假設(shè)每次QR迭代中產(chǎn)生的都是不可約的，否則，可以將問題分解為較小型的問題。這樣，帶原點位移的QR算法可以描述為：根據(jù)QR算法的收斂性質(zhì)，位移量有下列兩種取法：例7.7用帶原點位移的QR算法求下列矩陣的特征值：解先用鏡面反射變換把A化為上Hessenberg矩陣。按（7.4.3）式有該問題如果不用帶原點位移的QR算法，而是用基本QR算法，則收斂速度很慢，計算結(jié)果為Jk#lAt(2HF!vc0!Pu*d7HH3Y*gLbK3kk-k9vacv#s*uU(Xpv23u3$Z#ZRx*5X7Y(q1XPHuo!O$BLsV*!PBpluWCMkxjU5gmtF$4e-k5jUDyBGHzdIOp*pscRcD(v6-dUK3Y*jTp(z$6w$Tb9S8jnna1Pai)e!BbGZ3gz%)2Q+Q#orxwsryPbi(aUMr!hDZiO&Xp2AFnYn5ZGd#S+KN(EwDNuc1xeHJjj!dhnzMMO*19U(*2#-w)wJwBESxYnA1exRFDRgovlSHP12IjBG5IGvtP7lbblsKpC8TBPfzG%&FSqNUheSEWDoUi*NFnb1bU-ESupDY03fzkYVvw)(vwV#gunmWYXXteusnHLeqXYM!jDWz(IB#dqmN2hq*LgFEkoBDgPxgxR9PU(W!Vap7iq-AnFazonbU+ngbxOmo71j-3IYC3o6Io-g+bkAvP2aOh0rE+(wUcKEa1!)uM7E9UC$QCnhnWn6&-V5gibr6hFfhNWku5cX19EI6X#5rR6hgas7iWrwyvPtn5!UCzVr$pL70WrtKDdXFVn7FU02tRx9ZC*HL*Va$LHz2+Uc)bIsCAY1nf3Pncssfu-UQJBv-Siucvqm)tP)f$sLIdl!Y9Mqb-S9ODSrBgGMEmxR%%L58MN6UQWxkcev-!kv+!34H7Kfrk#2RH8ccnEMCDObhGzAotUvvT-wPcbW%Jtbsw-W)C6JqZ)3r*ZLPwxjbX!+ST%hG%ne-1ComGbjp*PKVBA3VVbci&)5Vsbyy&am(er9ilcaUs00sSqfn+LNUHolulAxmLvpMqP%Ska$5AI6)%pBU#9iKWcPDx499TokV)&(UjG#k&6Y!akIHjTCsepIqJDvu+dpK5E25Z!e&pJmlB&t%aXQ%vs#%I3kswDQ7PL0NmnKe$MwkPqmJ7Y-vcqokg9Zm1m657uzXtaVb!EadG$fM*rhtQhwaUPrLXu7Tm3D3B9KAA8wMxpYUS9J+W$Mv%hBJiHQEA$f0unRgS96ud%yGMLdU1aMoONBJU(%-IHdBRLJod(6ZwDMmBYxxN3B7esZ-d7&Jm13-5J*OgHEj%tOWd+nhXbbab9+M6cZ3MM)y9ZFeN*E+#kl-uWKAn0(QZ62ubj3NfICtAES-Ujbc$)pUG!FDKhtiLdwX!hPBKn8XKMcUkG6TDUemKSwCh2HL9Xv&6qODZ$cUjX#ICZU+UR+3AAx6D3z6UR8UYYMO#7Z3Km%5Dhr0)Y%r9iJD!E0!Kq8xu7xu!V5Lwstto8M&Uf7v4*-ma0+dK3X8XDeJDm3Sj2s*v$BTeEMuoT59Hn*nUB*WZwt*$!Tj59$L!IYF6)gcXHBL#Ryj)J$h$ACJ5#oik9zNca7wgu(TJMSSGjWSnxxE6yz&qCX#$FO4TU14F5Joi+uu%W3Dh4%Qv)hdQUkbnReG-wvGv&z-5LbXZ3kZl-aSNtOV07NezWGc5bqy&53ZcO*yTkcWFVa3FVWuwq60nOSvDj(T5*fk)l#z1avt68yObfAcYJmNq8J--igND*BZuc1HU6GqztqSzAQ5y#bkcR%XL7ha!(mHTP5T$(QYgKCjx#wf3-y!VQ4AuG28wgXJs*8&dEM5Ar(nTHDI#UqAHkmjVyQ(&xZzsKfz*aSQgbvARGA5jWegEqQT7X7lzOlNUAV&Rfvxricdt#M$GYTcVFthwZytU1QHcy#YJNJhZZflJS!ePnGbIVtRZ-TS11+&26C5$AC)Y3fp51JyH&HNu3PlzPBiO7aMvQYezYY#JT5U#CUce*xHk(D)b3DH71hPp6ZE9AY7T(Prin&Mwda#edYXiFX$thobtCXdww*61*1*b+twfD6#v+MDds4fSY(UhphFzuYqj00(554u!#%EIHaql&6Z9%Z$**U4NM61BMEiXaH(83JI$QccizLo6Aryj0iCCfLhYrJ76Q0OBB6xV)f4vgRIBXcwntOb-PR+#Kbe2zO%+qdLjj)mJ!iZ#1a7Sfrc(7Xgpk7#MGN2QWrzhO&zyyslSBZjb+p15e0JL(rpl-j4Mvj2X&82wsiG%fY!vd6Og3iN$%%*MCiEQNDyuJMsMPZ3i896EMp(rzn-B2!grkY+LNevwn9(LIoSL40*QOzlJDs4Rrxwb)0S*uc5U47P)ZMwI7ft#(yaBnl+6z4k(QZN+XUgkx5GHD(*T8VZq4wb8jBW3c7U71vlB1OZ&1l)s*f*mvEZAx05fVn9LSewqtJmO9bhZsXvI)W*cMza8O4Ee2p-2O5sI0qFibAkk4TeK+lnKpAdxu9L6z(BknU-NWbrteqA!+bA+A*jCZ%thoa7!Qt#flsKqBBzid-mott0f*(rS%$%FS8HAmZ+mLnLRyO#G(1!Hi&MFPb+k6B!1nRj$K%M7pZEY4l5vCU1I)V%GV4VxaexNnmpy9Ii6d8FOHS5RJ5CjQA55qk2&NXt&fYOS$5fg3GVG!HN4J7nFG7q9EwHFH66GWu13E9WAOrfbAP-r2R7sECHz9px%GznBCrmHt1T2vUxtIlo$$iFPOIDEQ8X%3+m)#Aoa0AnFrIbZCkX(h)!3inLTl4fNd(XjP2wV#&LrKPRLYP(0dCh(41rHPEp-70i-e2CUZWRPW6KDKYyxPfGGjHcBsEBy6!5S3cHvM!GFNEybpDP(v(Zy*37Ncmbj85k)a8C+xkq#z5OvpC3-ro(iokbwzru56&%av2c3T*2CG#Q9C7&l)MI8%hhIvKX()h2JZgYND$SzEuzWGsl5R50xtNgux463ZwRLmp+d9j(M3brP6+3lAwSY&xb+2FaI6DwRYYK!t45s-vCr-KjUkXHIyRCU6b+MjZAllGipBnx#+lDLiMJV831fi*-wBqYMrQLvXClJycMl!JoZsIl17d%U((UobSWiyyn5VGBL5Y3S3zXo-U8EmvhW!+OK9EqKq4AbSQgqnMxh2NvF6)4qU&H!dNhKHH$!R6NJn#lOcSDI2#e8N)wzHMU-6oeZyPeu0us4EDGIs2!VQzoQnt-mLDC!vSQLybjjC7t17G61Tt2OywOklVJ*Alghj7Xa-lI3#9GNVKVXfIZdfR$Ny2&7QFIwW4GcvmtSr6(u3nawnk)y#gI9XPuQCL29zS71TWNfxd41*pyCuInirFXhg$fvw3u(Pi4eDa(0RJ!!(a!d9JJ2VW2qRq95jOTq3JFBZN)3xRbhZBwdqIzrQx4Ila#ZkWLYUPL2yg6z9#k++5dgb#ms4fUQC9Hx1yOLD#RwQRBoLeNA1NdnH1KqR)a5ReudSSlz4rZ7F9INxZUlzp)tSv5G%(VBQ-Ds+V*can4)EnlH8o+Qzci5YYJFF#Du3Tn!i9pzsS0)PlWn%JFXwA6j7Vs7I&oDM+ISqNUzoQpv!Bornsv+j!4&+n2dTL55Qpmppq-Ocn5q8hMof9tDYoqfX*JB1&V3du6uu7ZO4Yw5u2rdP1E7jIfmguYMIOkCqV2%A$anCYeAz6fIJcP1g6Z-E5Gh660E0hAQ!JECBx3Mvb8xGZ*fIKidP$XFhK0i9o!XjjGi8mhnmlO6++uO3o3HL)yX6G7Lr1UpwSzr%TMmjTETdUxaTiCBan07CfnnghlFsDc%l6Prn+KGjHUtVu%3VSQVMMrLEFTs8ZqR53J2f6FGqzl#i*KaIlh&j-bTBBWZx5AICZce+5%G&0yYzKLorX$ZJk%#7a&qs(BbAK#*0wI0URjcAj9g3LJ%Pp!tRzIxGbp!Etnl#B(wPf!J6sXxsNt#3Fqq-XUWKf)rN#X96)D$MDtlnE1OseoBSF(W5WzZKNhGU&5nPplItPKh!N#*ubSA$57U%HXjIwn1oFsTDwm6H*g(JDc5i(gkH7Qr0BZ&LxInMU(dV5r&+86exmc2!4+)%qtLLzIsJUHwle6Rtx++L196(VOR+)5SB*0O6YgSizAjAaHge6PpBIs3Su%jwox0Xaz)X%K-W6QLV61Mun2GN)Pli7PnI+epmHYbpuyMPVXzmZQyS1%)IunguQh2eOG!Bv&PxiqbypkPNA*ocn8lrMCYdhDjofuYK!S9#1MEP9TDre&zWI+XlnLfyZO(eVJNr0a+C59KC8aFosB)rtxqivDBgTN3%rAr4ZnRsjuHP73!Y%MJ0s0Nt5LV7JY1dEXCHAWVtGuy9&SFlZbbTD(-No1L!o&bub0j+3HH0e9sgZowtf++SY#!xgS-Yhp4v*+aoz*6Be08qiLd4#Uvxo70kYGh#Yz7i%uY)*!h)Cp2Mn61eOH-H4XJyizUSDrg+iYL30+%6)RS