多項(xiàng)式的帶余除法及同余問(wèn)題

PAGEPAGE1多項(xiàng)式的帶余除法及同余問(wèn)題一、多項(xiàng)式的帶余除法帶余除法是一種基礎(chǔ)的多項(xiàng)式運(yùn)算，它可以用來(lái)確定兩個(gè)多項(xiàng)式之間的整除關(guān)系。帶余除法的核心思想是，用一個(gè)已知的多項(xiàng)式去除另一個(gè)多項(xiàng)式，然后求出余數(shù)和商。下面我們就來(lái)介紹一下多項(xiàng)式的帶余除法及其應(yīng)用。1.多項(xiàng)式的定義在代數(shù)中，多項(xiàng)式是由常數(shù)、變量和運(yùn)算符號(hào)構(gòu)成的表達(dá)式。多項(xiàng)式的一般形式如下：P(x)=a0+a1x+a2x^2+…+anxn其中，a0,a1,a2…an是常數(shù)項(xiàng)，n是該多項(xiàng)式的最高次數(shù)。2.多項(xiàng)式的帶余除法設(shè)P(x)和Q(x)是兩個(gè)多項(xiàng)式，其中Q(x)≠0，且Q(x)的最高次數(shù)不小于P(x)的最高次數(shù)。那么，多項(xiàng)式P(x)除以Q(x)所得的商多項(xiàng)式為R(x)，余數(shù)多項(xiàng)式為S(x)。帶余除法的表示如下：P(x）=Q(x)×R(x)+S(x)其中，余數(shù)多項(xiàng)式S(x)的次數(shù)小于除式Q(x)的次數(shù)。帶余除法的流程如下：（1）將被除式P(x)和除式Q(x)按照它們的次數(shù)從高到低排列；（2）將P(x)中的最高次數(shù)項(xiàng)除以Q(x)中的最高次數(shù)項(xiàng)，得到商式的首項(xiàng)；（3）用得到的商式的首項(xiàng)乘以Q(x)，并從P(x)中減去這個(gè)積，得到一個(gè)新的多項(xiàng)式；（4）重復(fù)以上操作，直到得到的新多項(xiàng)式的次數(shù)小于除式Q(x)的次數(shù)為止，最后所得的新多項(xiàng)式就是余數(shù)多項(xiàng)式S(x)。3.例子說(shuō)明我們以P(x)=x^4+2x^3-3x^2+x+1和Q(x)=x^2-x-2為例，來(lái)說(shuō)明多項(xiàng)式的帶余除法的具體操作。首先，將P(x)和Q(x)按照從高到低的次數(shù)排列：P(x)=x^4+2x^3-3x^2+x+1Q(x)=x^2-x-2其次，將P(x)中的最高次數(shù)項(xiàng)除以Q(x)中的最高次數(shù)項(xiàng)，得到商式的首項(xiàng)為：x^2接著，用得到的商式的首項(xiàng)乘以Q(x)，并從P(x)中減去這個(gè)積，得到一個(gè)新的多項(xiàng)式：P(x)-x^2Q(x)=(x^4+2x^3-3x^2+x+1)-(x^2-x-2)x^2=3x^3-2x^2+3x+1重復(fù)以上操作，將新的多項(xiàng)式3x^3-2x^2+3x+1除以Q(x)，得到商式的首項(xiàng)為：3x然后，用得到的商式的首項(xiàng)乘以Q(x)，并從3x^3-2x^2+3x+1中減去這個(gè)積，得到一個(gè)新的多項(xiàng)式：3x^3-2x^2+3x+1-3x(x^2-x-2)=-5x^2+9x+1繼續(xù)重復(fù)以上操作，將新的多項(xiàng)式-5x^2+9x+1除以Q(x)，得到商式的首項(xiàng)為：-5最后，用得到的商式的首項(xiàng)乘以Q(x)，并從-5x^2+9x+1中減去這個(gè)積，得到余數(shù)多項(xiàng)式：-5x^2+9x+1-(-5)(x^2-x-2)=4x+11因此，P(x)除以Q(x)所得的商多項(xiàng)式為x^2+3x-5，余數(shù)多項(xiàng)式為4x+11。二、同余問(wèn)題同余問(wèn)題是在數(shù)論中常見(jiàn)的一個(gè)問(wèn)題。當(dāng)兩個(gè)數(shù)之間的差是某個(gè)整數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)就是“同余”的。同樣，當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式之間的差是某個(gè)多項(xiàng)式的倍數(shù)時(shí)，這兩個(gè)多項(xiàng)式就是“同余”的。下面我們就來(lái)介紹一下同余問(wèn)題的具體內(nèi)容。1.同余關(guān)系的定義設(shè)a,b,m是三個(gè)整數(shù)，如果a-b能夠被m整除，即a-b=km，其中k是整數(shù)，那么我們就稱(chēng)a與b關(guān)于m“同余”，記作a≡b(modm)。同樣，設(shè)f(x)和g(x)是兩個(gè)多項(xiàng)式，如果f(x)-g(x)能夠被另一個(gè)多項(xiàng)式h(x)整除，即f(x)-g(x)=h(x)k(x)，其中k(x)是多項(xiàng)式，那么我們就稱(chēng)f(x)與g(x)關(guān)于h(x)“同余”，記作f(x)≡g(x)(modh(x))。2.同余關(guān)系的性質(zhì)（1）反身性：對(duì)于整數(shù)a而言，a≡a(modm)。對(duì)于多項(xiàng)式f(x)而言，f(x)≡f(x)(modh(x))。（2）對(duì)稱(chēng)性：如果a≡b(modm)，那么b≡a(modm)。如果f(x)≡g(x)(modh(x))，那么g(x)≡f(x)(modh(x))。（3）傳遞性：如果a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)。如果f(x)≡g(x)(modh(x))，g(x)≡p(x)(modh(x))，那么f(x)≡p(x)(modh(x))。（4）加減性：如果a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a±c≡b±d(modm)。如果f(x)≡g(x)(modh(x))，p(x)≡q(x)(modh(x))，那么f(x)±p(x)≡g(x)±q(x)(modh(x))。（5）乘法性：如果a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)。如果f(x)≡g(x)(modh(x))，p(x)≡q(x)(modh(x))，那么f(x)p(x)≡g(x)q(x)(modh(x))。3.例子說(shuō)明我們以整數(shù)的同余問(wèn)題為例，來(lái)說(shuō)明同余關(guān)系的應(yīng)用。假設(shè)我們需要求出10001,10004和10007模9的余數(shù)。由于10001,10004和10007與9的差都是9的倍數(shù)，因此它們是“同余”的。我們來(lái)計(jì)算10007模9的余數(shù)。根據(jù)同余關(guān)系的加減性質(zhì)，我們有：10007≡1(mod9)因此，10007模9的余數(shù)是1。再來(lái)計(jì)算10001和10004模9的余數(shù)。根據(jù)同余關(guān)系的加減性質(zhì)，我們有：10004≡(10007-3)≡1-3≡-2(mod9)10001≡(10004-3)≡(1-3)-3≡-5(mod9)因此，10004模9的余數(shù)是-2，10001模9的余數(shù)是-5。由于-2和-5都不是非負(fù)整數(shù)，我們需要將它們轉(zhuǎn)換成正整數(shù)。根據(jù)同余關(guān)系的定義，-2與7關(guān)于9同余，-5與4關(guān)于9同余。因此，10004模9的余數(shù)是7，10001模9的余數(shù)是